2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 24 页） 2020 年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | (2)0Mx x x， 2N ，1，0，1，2，则(MN ) A0，1，2 B 2，1 C1 D 2，1，0，2 2 （5 分）已知复数z在复平面中对应的点( , )x y满足 22 (1)1xy，则|1| (z ) A0 B1 C2 D2

2、 3 （5 分）为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从 2001 年起就通过相关政策推动新能 源汽车产业发展下面的图表反映了该产业发展的相关信息： 中国新能源汽车产销情况一览表 新能源汽 车产量 新能源汽 车销量 产量 （万 辆） 比上 年同 期增 长 (%) 销量 （万 辆） 比上 年同 期增 长 (%) 2018 年 3 月 6.8 105 6.8 117.4 4 月 8.1 117.7 8.2 138.4 5 月 9.6 85.6 10.2 125.6 6 月 8.6 31.7 8.4 42.9 7 月 9 53.6 8.4 47.7 8 月 9.9 39 10.1 49.5 9 月 1

3、2.7 64.4 12.1 54.8 10 月 14.6 58.1 13.8 51 11 月 17.3 36.9 16.9 37.6 第 2 页（共 24 页） 112月 127 59.9 125.6 61.7 2019 年 1 月 9.1 113 9.6 138 2 月 5.9 50.9 5.3 53.6 根据上述图表信息，下列结论错误的是( ) A2017 年 3 月份我国新能源汽车的产量不超过 3.4 万辆 B2017 年我国新能源汽车总销量超过 70 万辆 C2018 年 8 月份我国新能源汽车的销量高于产量 D2019 年 1 月份我国插电式混合动力汽车的销量低于 2 万辆 4 （5

4、 分）已知正项等比数列 n a中， 35 4a a ，且 4 a， 6 1a ， 7 a成等差数列，则该数列 公比q为( ) A 1 4 B 1 2 C2 D4 5 （5 分）我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就哥德巴赫猜 想简述为“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” （注：如果一个大于 1 的整数除了 1 和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数） ，如40337在不超过 40 的素数，随 机选取 2 个不同的数，这两个数的和等于 40 的概率是( ) A 1 26 B 1 22 C 1 17 D 1 15 6 （5 分）圆 22 2410xyxy 关于直线3

5、0(0,0)axbyab对称，则 12 ab 的最 小值是( ) A1 B3 C5 D9 第 3 页（共 24 页） 7 （5 分）函数 2 () cos3 ( )( xx eex f xe x 为自然对数的底数）的大致图象为( ) A B C D 8 （5 分）正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为( ) A3 303 3 B3 309 C12 3 D 99 10 22 9 （5 分）已知点 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点，O为坐标 原点，点P在双曲线C的右支上，且满足 12 | 2|FFOP， 21 tan4PF F，

6、则双曲线C的离 心率为( ) A5 B5 C 17 3 D17 9 10 （5 分）设( )f x是定义在R上的函数，满足条件(1)(1)f xfx ，且当1x时， ( )3 x f xe，则 2 (log 7)af， 2 1.5 3 (3),(3)bfcf 的大小关系是( ) Aabc Bacb Cbac Dcba 11（5 分） 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 点E为棱 1 CC的中点 下列结论： 线段BD 上存在点F，使得/ /CF平面 1 AD E；线段BD上存在点F，使CF 得平面 1 AD E；平 第 4 页（共 24 页） 面 1 AD E把正方体分成两部分，

7、较小部分的体积为 7 24 ，其中所有正确的序号是( ) A B C D 12 （5 分）已知正项数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且 2 632 nnn Saa若对于任意 实数 2a ，2不等式 2*1 21() 1 n a tatnN n 恒成立，则实数t的取值范围为( ) A(，22，) B(，21，) C(， 12，) D 2，2 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）平面向量a与b的夹角为60，且(3,0)a ，| 1b ，则|2 |ab 14 （5 分）若实数x，y满足约束条件4

8、 3 y x xy y ，则2zxy的最小值是 15 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0), xy CabA ab 为右顶点过坐标原点O的直线交椭圆C于 P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于(2,0)N，椭圆C的离心率为 2 3 ，则 椭圆C的标准方程为 16 （5 分）已知函数 1 ( )2, ( )f xlnxax g xa x ，且( ) ( ) 0f x g x 在定义域内恒成立，则实 数a的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17在A

9、BC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c （1）若ABC的面积S满足 222 4 3,7,4Scab ca且bc，求b的值； （2）若3, 3 aA 且ABC为锐角三角形求ABC周长的范围 18如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF 平面ABCD， / /ADBC，1ADAB，60ABC （1）求证：平面CDE 平面BDEF； （2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围 第 5 页（共 24 页） 19过点(0,2)P的直线与抛物线 2 :4C xy相交于A，B两点 （1）若2APPB，且点A在第一象限，求直线AB的方程； （2） 若A

10、，B在直线2y 上的射影分别为 1 A， 1 B， 线段 11 AB的中点为Q， 求证 1 / /BQPA 20设函数 32 11 ( )(2) 32 x f xexkxkx （1）若1k ，求( )f x的单调区间； （2） 若( )f x存在三个极值点 1 x，2x，3x， 且 123 xxx， 求k的取值范围， 并证明：1 32 2xxx 21“公平正义” 是社会主义和谐社会的重要特征， 是社会主义法治理念的价值追求“考试” 作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用每次考试过后，考生最关心的问题 是： 自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试

11、（按照高分优先录取的原则）录用 300 名，其中 275 个高薪职位和 25 个普薪职位实际报 名人数为 2000 名，考试满分为 400 分 （一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服 从正态分布)考试后考试成绩的部分统计结果如下： 考试平均成绩是 180 分，360 分及其以上的高分考生 30 名 （1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数） （2）考生甲的成绩为 286 分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理 由 参考资料： （1）当 2 ( ,)XN 时，令 X Y ，则(0,1)YN （ 2 ） 当( 0,1)YN时 ，(2.17 )0.985P Y，(1.28

12、)0.900P Y，(1.09)0.863P Y， (1.04)0.85P Y 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用作答时，用 2B 铅笔在答题卡铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 第 6 页（共 24 页） 22在极坐标系中，已知圆的圆心(6,) 3 C ，半径3r ，Q点在圆C上运动，以极点为直角 坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系 （1）求圆C的参数方程； （2）若P点在线段OQ上，且|:| 2:3OPPQ ，求动点P轨迹的极

13、坐标方程 23设函数( ) |21|1|f xxx （1）画出( )yf x的图象； （2）若不等式( )|1|f xax 对xR成立，求实数a的取值范围 第 7 页（共 24 页） 2020 年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | (2)0Mx x x， 2N ，1，0，1，2，

14、则(MN ) A0，1，2 B 2，1 C1 D 2，1，0，2 【解答】解： |02Mxx， 2N ，1，0，1，2， 1MN 故选：C 2 （5 分）已知复数z在复平面中对应的点( , )x y满足 22 (1)1xy，则|1| (z ) A0 B1 C2 D2 【解答】解： 22 (1)1xy，表示以(1,0)C为圆心，1 为半径的圆 则|1| 1z 故选：B 3 （5 分）为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从 2001 年起就通过相关政策推动新能 源汽车产业发展下面的图表反映了该产业发展的相关信息： 中国新能源汽车产销情况一览表 新能源汽 车产量 新能源汽 车销量 产量 （万 辆）

15、比上 年同 期增 长 (%) 销量 （万 辆） 比上 年同 期增 长 (%) 2018 年 3 月 6.8 105 6.8 117.4 4 月 8.1 117.7 8.2 138.4 第 8 页（共 24 页） 5 月 9.6 85.6 10.2 125.6 6 月 8.6 31.7 8.4 42.9 7 月 9 53.6 8.4 47.7 8 月 9.9 39 10.1 49.5 9 月 12.7 64.4 12.1 54.8 10 月 14.6 58.1 13.8 51 11 月 17.3 36.9 16.9 37.6 112月 127 59.9 125.6 61.7 2019 年 1 月

16、 9.1 113 9.6 138 2 月 5.9 50.9 5.3 53.6 根据上述图表信息，下列结论错误的是( ) A2017 年 3 月份我国新能源汽车的产量不超过 3.4 万辆 B2017 年我国新能源汽车总销量超过 70 万辆 C2018 年 8 月份我国新能源汽车的销量高于产量 D2019 年 1 月份我国插电式混合动力汽车的销量低于 2 万辆 【解答】解：由图表信息可知，2017 年 3 月份我国新能源汽车的产量为： 6.8 3.32 1 1.05 ， 所以选项A正确； 由图表信息可知，2017 年我国新能源汽车总销量为： 125.6 77.67 10.617 ，所以选项B正确；

17、 由图表信息可知，2018 年 8 月份我国新能源汽车的销量为 10.1，产量为 9.9，所以选项C正 第 9 页（共 24 页） 确； 由图表信息可知，2019 年 1 月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.60.252.4，所以 选项D错误， 故选：D 4 （5 分）已知正项等比数列 n a中， 35 4a a ，且 4 a， 6 1a ， 7 a成等差数列，则该数列 公比q为( ) A 1 4 B 1 2 C2 D4 【解答】解：正项等比数列 n a中， 35 4a a ， 可得0q ， 2 435 4aa a，即 4 2a ， 4 a， 6 1a ， 7 a成等差数列，可得 476

18、22aaa， 即 32 2242qq，解得2q ， 故选：C 5 （5 分）我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就哥德巴赫猜 想简述为“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” （注：如果一个大于 1 的整数除了 1 和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数） ，如40337在不超过 40 的素数，随 机选取 2 个不同的数，这两个数的和等于 40 的概率是( ) A 1 26 B 1 22 C 1 17 D 1 15 【解答】解：不超过 40 的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共 12 个， 随机选取 2 个不同的数， 基本事件

19、总数 2 12 66nC， 这两个数的和等于 40 包含的基本事件有： (3,37)，(11,29)，(17,23)，共 3 个， 这两个数的和等于 40 的概率是 31 6622 p 故选：B 6 （5 分）圆 22 2410xyxy 关于直线30(0,0)axbyab对称，则 12 ab 的最 第 10 页（共 24 页） 小值是( ) A1 B3 C5 D9 【解答】解：圆 22 2410xyxy 的圆心坐标为(1, 2)， 由圆 22 2410xyxy 关于直线30(0,0)axbyab对称， 23ab，即 2 1 33 ab ， 则 1212252252254 ()()23 3333

20、333333 abbaba abababab 当且仅当 22 33 ba ab ，即 3 2 a ， 3 4 b 时上式取等号 12 ab 的最小值是 3 故选：B 7 （5 分）函数 2 () cos3 ( )( xx eex f xe x 为自然对数的底数）的大致图象为( ) A B C D 【解答】解：根据题意，函数 2 () cos3 ( ) xx eex f x x ，其定义域为 |0x x ， 有 () 22 () cos3()() cos3 ( )()( ) () xxxx eexeex f xf x xx ，即函数( )f x为奇函数，排除B、 D； 又由当0 6 x 时，(

21、)0f x ，排除A， 故选：C 8 （5 分）正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为( ) 第 11 页（共 24 页） A3 303 3 B3 309 C12 3 D 99 10 22 【解答】解：应用可知三棱锥的高为：3， 底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以 3 3 2 a ，解得2 3a 斜高为： 22 3110， 该三棱锥的表面积为： 2 13 32 310(2 3)3 303 3 24 故选：A 9 （5 分）已知点 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点，O为坐标 原点，点P在双曲线C的右支上，且

22、满足 12 | 2|FFOP， 21 tan4PF F，则双曲线C的离 心率为( ) A5 B5 C 17 3 D17 9 【解答】解：点P在双曲线C的右支上，且满足 12 | 2|FFOP， 即有O为 12 PFF外接圆的圆心， 即有 12 90FPF， 由双曲线的定义可得 12 | 2PFPFa， 21 tan4PF F，所以 12 | 4|PFPF， 则 1 8 | 3 a PFa， 2 2 | 3 a PFa， 第 12 页（共 24 页） 由 222 1212 |PFPFFF， 即 222 82 ()()4 33 aa c， 即有 22 17 9 ca， 17 3 e ， 故选：C

23、10 （5 分）设( )f x是定义在R上的函数，满足条件(1)(1)f xfx ，且当1x时， ( )3 x f xe，则 2 (log 7)af， 2 1.5 3 (3),(3)bfcf 的大小关系是( ) Aabc Bacb Cbac Dcba 【解答】解：由(1)(1)f xfx 可得函数的图象关于1x 对称， 又当1x时，( )3 x f xe单调递减，故1x 时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数 值越大， 2 log 7(2,3)， 2 3 1 1 3( , ) 3 2 ， 1.5 1 3 3 ， 故acb 故选：A 11（5 分） 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为

24、 1， 点E为棱 1 CC的中点 下列结论： 线段BD 上存在点F，使得/ /CF平面 1 AD E；线段BD上存在点F，使CF 得平面 1 AD E；平 面 1 AD E把正方体分成两部分，较小部分的体积为 7 24 ，其中所有正确的序号是( ) A B C D 【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系， (1A，0，0)， 1(0 D，0，1)，(0E，1， 1) 2 ，(0C，1，0)， 设(F t，t，0)(01)t剟， 则 1 ( 1,0,1)AD ， 1 ( 1,1, ) 2 AE ，(CFt，1t ，0) 设平面 1 AD E的一个法向量为( , , )nx y z， 由 1 0

25、1 0 2 n ADxz n AExyz ，取1z ，则 1 (1,1) 2 n 第 13 页（共 24 页） 由 1 (1)0 2 CF ntt ，解得 1 0 3 t ，1，故正确； 由(CFt，1t ，0)， 1 (1,1) 2 n ，知CF与n不共线，故错误； 平面 1 AD E把正方体分成两部分如图，正方体体积为 1， 三棱台 1 ECHD DA的体积 111117 1 () 3822824 V ， 平面 1 AD E把正方体分成两部分，较小部分的体积为 7 24 ，故正确 正确 故选：C 12 （5 分）已知正项数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且 2 632 nnn

26、 Saa若对于任意 实数 2a ，2不等式 2*1 21() 1 n a tatnN n 恒成立，则实数t的取值范围为( ) A(，22，) B(，21，) C(， 12，) D 2，2 【解答】解：由 2 632 nnn Saa， 当1n 时， 2 111 632aaa解得 1 2a ， 当2n时 ， 2 111 632 nnn Saa ， 两 式 相 减 得 22 11 63(3) nnnnn aaaaa ， 整 理 得 11 ()(3)0 nnnn aaaa ， 由0 n a ，所以 1 0 nn aa ，所以 1 3 nn aa ， 所以数列 n a是以 2 为首项，3 为公差的等差数

27、列，所以 1 23(1 1)32 n ann ， 第 14 页（共 24 页） 所以 1 321 33 111 n an nnn ， 因此原不等式转化为 2 21 3tat 对于任意的 2a ，2， * nN恒成立， 化为： 2 24 0tat ， 设f（a） 2 24tat， 2a ，2， 可得f（2）0且( 2) 0f ， 即有 2 2 2 0 2 0 tt tt ，即 12 21 tt tt 或 或 厔 厔 ， 可得2t或2t， 则实数t的取值范围是(，22，) 故选：A 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13

28、 （5 分）平面向量a与b的夹角为60，且(3,0)a ，| 1b ，则|2 |ab 19 【解答】解：(3,0)a ，| 3a ， 又a与b的夹角为60，| 1b ， 2222 |2 |(2 )44ababaa bb 943 1 cos60419 |2 |19ab 故答案为：19 14 （5 分）若实数x，y满足约束条件4 3 y x xy y ，则2zxy的最小值是 9 【解答】解：作出不等式组件4 3 y x xy y 所表示的平面区域， 作出直线20xy，对该直线进行平移， 结合Z最小，直线的截距最小； 可以发现经过点( 3, 3)C 时 第 15 页（共 24 页） Z取得最小值9；

29、 故答案为：9 15 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0), xy CabA ab 为右顶点过坐标原点O的直线交椭圆C于 P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于(2,0)N，椭圆C的离心率为 2 3 ，则 椭圆C的标准方程为 22 1 3620 xy 【解答】解：设( , )P x y，则由( ,0)A a； 线段AP的中点为M，则( 2 xa M ，) 2 y ； 由题意，Q，N，M三点共线， MNNQ kk； 即 1 0 0() 2 2() 2 2 y y xa x ； 可得42xax； 所以6a ，由椭圆C的离心率为 2 3 ，得4c ， 2 20b ； 故椭圆C的标准方

30、程为： 22 1 3620 xy 故答案为： 22 1 3620 xy 16 （5 分）已知函数 1 ( )2, ( )f xlnxax g xa x ，且( ) ( ) 0f x g x 在定义域内恒成立，则实 数a的取值范围为 1 2 a e 或 2 ae 第 16 页（共 24 页） 【解答】解：若( ) ( ) 0f x g x 在定义域内恒成立，考虑以下情形： 当( ) 0f x ，( ) 0g x 同时恒成立时， 由( )20f xlnxax，即2 lnx a x 恒成立，设( ) lnx h x x ， 2 1 ( ) lnx h x x ， 当xe时，( )0h x，( )h

31、x递减，当0xe时，( )0h x，( )h x递增， 可得xe处( )h x取得极大值，且为最大值 1 e ， 可得 1 2a e ，即 1 2 a e ； 由( ) 0g x ，即 1 0a x 恒成立得0a 1 2 a e ； 当( ) 0f x ，( ) 0g x 同时恒成立时，a不存在； 当0a 时，( )2f xlnxax为增函数， 1 ( )g xa x 为减函数， 若它们有共同零点，则( )( ) 0f x g x 恒成立， 由( )20f xlnxax， 1 ( )0g xa x ，联立方程组解得： 2 ae 综上可得 1 2 a e 或 2 ae 故答案为： 1 2 a e

32、 或 2 ae 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c （1）若ABC的面积S满足 222 4 3,7,4Scab ca且bc，求b的值； （2）若3, 3 aA 且ABC为锐角三角形求ABC周长的范围 【解答】解： （1） 222 4 3sabc， 所以 1 4 3sin2cos 2 abCabC， 即 3 tan 3 C ， 又因为0C， 所以 6 C ， 因为7c ，4a ， 第 17 页（共 24 页） 由余弦定理可得

33、 2 167 cos 68 b b ， 解可得，3 3b 或3b ， 因为7bc， 所以，3 3b ； （2）3, 3 aA ， 由正弦定理可得， 3 1 sinsin sin 3 bc BC ， 故2sinbB， 2 2sin2sin() 3 cCB ， 由题意可知， 1 0 2 21 0 32 B B ， 解可得， 1 62 B ， 则ABC周长为 2 32sin()2sin33cos3sin 3 BBBB ， 32 3sin() 6 B ， 因为 1 62 B ， 所以 12 363 B ， 故 3 sin() 1 26 B ， 因此三角形的周长的范围(33，3 3 18如图，已知四边形

34、ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF 平面ABCD， / /ADBC，1ADAB，60ABC （1）求证：平面CDE 平面BDEF； （2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围 第 18 页（共 24 页） 【解答】解： （1）等腰梯形ABCD，1ADAB， 由60ABC，120BAD， 22 2cos1203BDABADAB AD ， 11 12 22 BC ， 所以 222 BCCDBD，BDDC， 由平面BDEF 平面ABCD，BD 平面BDEF平面ABCD， 所以CD 平面BDEF， 又CD 平面CDE， 所以平面CDE 平面BDEF； （2）

35、根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设0EMm，3则( 3B，0，0)，(0C，1，0)，(0D，0，0)，(M m，0，3)， (3,0, 3)BMm，( 3,0,0)DB ， 设平面BMC的法向量为( , , )nx y z， 由 30 (3)30 n BCxy n BMmxz ， 令3x ，3y ，3zm， 故( 3,3, 3)nm， 设BD与平面BCM的夹角为， 所以 2 3 sin|cos,| (3)12 n BD m ，0m，3， 所以当0m 时取最小值 5 5 ，3m 取最大值 1 2 ， 第 19 页（共 24 页） 故BD与平面BC

36、M所成角正弦值的取值范围为 5 1 , 52 19过点(0,2)P的直线与抛物线 2 :4C xy相交于A，B两点 （1）若2APPB，且点A在第一象限，求直线AB的方程； （2） 若A，B在直线2y 上的射影分别为 1 A， 1 B， 线段 11 AB的中点为Q， 求证 1 / /BQPA 【解答】 （1）解：由题意，设过点(0,2)P的直线l的斜率为k，则:2l ykx 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 2APPB， 根据定比分点的知识，有 12 2 0 3 xx ， 12 2 2 3 yy ， 12 20xx 联立 2 2 4 ykx xy ， 消去y，整理得 2

37、 480xkx 解得 2 1 2(2)xkk， 2 2 2(2)xkk， 22 12 22(2)4(2)0xxkkkk， 整理，得 2 320kk， 解得 1 2 k 直线AB的方程为 1 2 2 yx 第 20 页（共 24 页） （2）证明：根据（1） ，联立直线l与抛物线方程，得 2 2 4 ykx xy ， 整理，得 2 480xkx 则 12 4xxk， 12 8x x 11 (A x，2)， 12 (B x，2) 12 ( 2 xx Q ，2) 12 2 ( 2 xx BQx ， 2 2)y ， 11 (PAx，4) 12 212 () ( 4)( 2) 2 xx xxy 21 1

38、221121212 4(2)2222 2 xx xyxxx yxxx y 2 22 21212 22 44 xx xxxx x 2 2 2( 8)0 4 x x 1 / /BQPA 20设函数 32 11 ( )(2) 32 x f xexkxkx （1）若1k ，求( )f x的单调区间； （2） 若( )f x存在三个极值点 1 x，2x，3x， 且 123 xxx， 求k的取值范围， 并证明：1 32 2xxx 【解答】解： （1）当1k 时， 32 11 ( )(2) 32 x f xexxx， ( )()(1) x fxex x 令( ) x h xex，则( )1 x h xe，

39、由( )0h x得0x ，( )0h x得0x ， ( )h x在(,0)上递减，在(0,)上递增 ( )(0)10h xh 即0 x ex， 解( )0fx得1x ，解( )0fx得1x ， ( )f x的单调减区间为(,1)，单调增区间为(1,) （2） 2 ( )(2)()(1) xxx fxexekxkxekx x， 第 21 页（共 24 页） ( )f x有三个极值点，方程0 x ekx有两个不等根，且都不是 1， 令( ) x g xekx，当0k时，( )g x单调递增，( )0g x 至多有一根， 当0k 时，解( )0g x得xlnk，解( )0g x得xlnk ( )g

40、x在(,)lnk上递减，在(,)lnk 上递增， ()(1)0 lnk g lnkeklnkklnk，ke， 此时，(0)10g ，1lnk ，g（1）0ek，x 时( )g x ke时，( )0fx有三个根 1 x， 2 x， 3 x，且 123 01xxx ， 由 1 1 x ekx得 11 xlnklnx，由 3 3 x ekx得 33 xlnklnx， 31 31 1 lnxlnx xx 下面证明： 31 3131 2lnxlnx xxxx ，可变形为 3 31 3 1 1 1 2 1 x xx ln x x x 令 3 1 1 x t x ， 2(1) ( ) 1 t xlnt t

41、， 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t x ttt t ，( ) x在(1,)上递增， ( ) t（1）0， 31 3131 2 1 lnxlnx xxxx ， 312 2xxx 21“公平正义” 是社会主义和谐社会的重要特征， 是社会主义法治理念的价值追求“考试” 作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用每次考试过后，考生最关心的问题 是： 自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试 （按照高分优先录取的原则）录用 300 名，其中 275 个高薪职位和 25 个普薪职位实际报 名人数为 2000 名，考试满分为 400 分 （一般地，

42、对于一次成功的考试来说，考试成绩应服 从正态分布)考试后考试成绩的部分统计结果如下： 考试平均成绩是 180 分，360 分及其以上的高分考生 30 名 （1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数） （2）考生甲的成绩为 286 分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理 由 第 22 页（共 24 页） 参考资料： （1）当 2 ( ,)XN 时，令 X Y ，则(0,1)YN （ 2 ） 当( 0,1)YN时 ，(2.17 )0.985P Y，(1.28)0.900P Y，(1.09)0.863P Y， (1.04)0.85P Y 【解答】解： （1）设考生的成绩为X，则由题

43、意可得X应服从正态分布， 即 2 (180,)XN，令 180X Y ，则(0,1)YN 由 360 分及以上高分考生 30 名可得 30 (360) 2000 P X，即 30 (360)10.985 2000 P X ， 即有 360180 ()0.985P X ，则 360180 2.17 ，可得83， 可得(180,832)N， 设最低录取分数线为 0 x，则 0 0 180300 ()() 832000 x P XxP Y 厖， 即有 0 180300 ()10.85 832000 x P Y ，即有 0 180 1.04 83 x ， 可得 0 266.32x ，即最低录取分数线为 266 到 267 分之间； （2）考生甲的成绩286267，所以能被录取， 286180 (286)()(1.28)0.90 83 P XP YP Y ，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为 总人数的10.900.10，20000.10200， 即考生甲大约排在第 200 名，排在前 275 名之前，所以能被录取为高薪职位 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用作答时，用 2B 铅笔在答题卡铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑上把所