2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：一、选择题： 1 （3 分）已知集合| 24AxZx ， 2 |230Bx xx，则(AB ) A( 2,1) B( 1,3) C 1，0 D0，1，2 2 （3 分）i为虚数单位，复数 2 1 i z i 在复平面内对应的点所在象限为( ) A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限 3 （3 分）记 n S为等差数列 n a的前n项和，已知 53 16Sa， 1 1a ，则 26 (aa ) A10 B11 C12 D13 4 （3 分）剪纸是我国的传统工艺

2、，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次 进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字( ) A B C D 5 （3 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 1 1a ， 3 7S ，则 35 (a a ) A64 B729 C64 或 729 D64 或 243 6 （3 分）公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积 求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 12，24，48， 192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的 面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，

3、这时候的近似值是 3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽这种想法的可贵之处 在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对 后世产生了巨大影响按照上面“割圆术” ，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值 是( )（精确到0.01) （参考数据sin150.2588) 第 2 页（共 20 页） A3.14 B3.11 C3.10 D3.05 7 （3 分）已知 1 F、 2 F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点

4、，点P在双曲线C 上，且线段 1 PF的中点坐标为(0, )b，则双曲线C的离心率为( ) A2 B3 C5 D2 8 （3 分）前进中学高二学生会体育部共有 5 人，现需从体育部派遣 4 人，分别担任拔河比 赛活动中的裁判、 记录结果、 核查人数、 维持纪律四项工作， 每个人只能担任其中一项工作， 其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有( )种派遣方法 A120 B96 C48 D60 9 （3 分）设函数( )sin()cos()(0f xxx ，|) 2 的最小正周期为，且过 点(0, 2)，则下列正确的为( ) ( )f x在(0,) 2 单调递减 ( )f x的一条对称轴为 2 x

5、 (|)fx的周期为 2 把 函 数( )f x的 图 象 向 左 平 移 6 个 长 度 单 位 得 到 函 数( )g x的 解 析 式 为 ( )2cos(2) 6 g xx A B C D 10 （3 分）下列函数图象中，函数 | | ( )() x f xx eZ 的图象不可能的是( ) A B C D 11 （3 分）已知(2,0)A ，( 2,0)B及抛物线方程为 2 8(1)xy，点P在抛物线上，则使 第 3 页（共 20 页） 得ABP为直角三角形的点P个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12 （3 分）已知函数 2 1,1 ( )() ,1 axaxx f

6、 xaR xalnx x ，若函数( )f x有四个零点，则a的取值 范围是( ) A(,0) B( ,)e C(4,) D 2 (4,)e 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分）已知实数x，y满足 5 21 0 22 0 xy xy xy ，则3zxy的最小值为 14（3 分） 在ABC中，60BC ，2AB ， 且点M满足2BMCM， 则A MB C 15 （3 分）点P为曲线 2 1 2(41)() 4 yxlnxx 图象上的一个动点，为曲线在点P处 的切线的倾斜角，则当取最小值时x的值为 16 （3 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为 同

7、一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于 三、解答题：三、解答题： 17 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知sin(sinsin )sinbBaABcC （）求角C的大小； （）求sinsinAB的取值范围 18如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC，D是AB的中点，BCAC， 22 2ABDC， 1 4AA （）求证： 1/ / BC平面 1 ACD； （）求平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值 第 4 页（共 20 页） 19当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进

8、行 体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某 地区 2019 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳 绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分 某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况， 随机抽取了 100 名学生 进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表： 每分钟跳 绳个数 165，175) 175，185) 185，195) 195，205) 205，215) 得分 16 17 18 19 20 （）现从样本的 100 名学生中，

9、任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 33 分的概率； （）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布 2 ( ,)N ，用样本数据的平均 值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数） ，已知样本方差 2 77.8S （各组数 据用中点值代替） 根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每 分钟跳绳个数都有明显进步， 假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时 个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型： （）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数 （结果四舍 五入到整数） （）若在该地区 2020 年所有初三毕业

10、生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个 以上的人数为，求随机变量的分布列和期望 附： 若随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，77.89， 则() 0 . 6 8 2 6PX， (22 )0.9544PX，(33 )0.9974PX 第 5 页（共 20 页） 20 设 函 数( ) x f xemxn， 曲 线( )yf x在 点( 2ln，( 2)f ln处 的 切 线 方 程 为 2 20xyln （）求m，n的值； （）当0x 时，若k为整数，且1() ( )1xkxf xx ，求k的最大值 21在圆 22 4xy上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当

11、点P在圆上 运动时，点M在线段PD上，且 1 2 DMDP，点M的轨迹为曲线 1 C （1）求曲线 1 C的方程； （2）过抛物线 2 2: 8Cyx的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过F且与直线l垂直 的直线交曲线 1 C于另一点C，求ABC面积的最小值，以及取得最小值时直线l的方程 22设A为椭圆 22 1: 1 424 xy C上任意一点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 10 cos240，B为 2 C上任意一点 （）写出 1 C参数方程和 2 C普通方程； （）求|AB最大值和最小值 23已知函数( ) |22 |()f xxaa

12、R，对xR ，( )f x满足( )(2)f xfx （）求a的值； （）若xR ，使不等式 2 1 ( )(2) 2 f xf xmm，求实数m的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020 年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题： 1 （3 分）已知集合| 24AxZx ， 2 |230Bx xx，则(AB ) A( 2,1) B( 1,3) C 1，0 D0，1，2 【解答】解： 1A ，0，1，2，3， | 13Bxx ， 0AB，1，2 故选：D 2 （3 分）i为虚数单位，复数 2

13、 1 i z i 在复平面内对应的点所在象限为( ) A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限 【解答】解： 22 (1) 1 1(1)(1) ii i zi iii ， 在复平面内对应的点为(1, 1)， 故选：C 3 （3 分）记 n S为等差数列 n a的前n项和，已知 53 16Sa， 1 1a ，则 26 (aa ) A10 B11 C12 D13 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 53 16Sa， 1 1a ， 54 51216 2 dd ，解得 3 2 d 则 26 3 2611 2 aa 故选：B 4 （3 分）剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将

14、一张长方形纸对折两次 进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字( ) 第 7 页（共 20 页） A B C D 【解答】解：如图“双喜”字，第一次对折后为； 第二次对折后为； 故选：D 5 （3 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 1 1a ， 3 7S ，则 35 (a a ) A64 B729 C64 或 729 D64 或 243 【解答】解：设等比数列 n a的公比为1q ， 1 1a ， 3 7S ， 2 17qq ，解得2q ，或3 则 6 35 64a aq或 729 故选：C 6 （3 分）公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼

15、近圆的面积 求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 12，24，48， 192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的 面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是 3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽这种想法的可贵之处 在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对 后世产生了巨大影响按照上面“割圆术” ，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值 是( )（精确到

16、0.01) （参考数据sin150.2588) A3.14 B3.11 C3.10 D3.05 【解答】解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了 24 个面积相等 第 8 页（共 20 页） 的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为 1，顶角为 0 0 360 15 24 ，所以每个等腰三角形的面 积 0 0 13601 1 1 sinsin15 2242 s ，所以正二十四边形的面积为 2412sin15120.25883.11s ， 故选：B 7 （3 分）已知 1 F、 2 F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且线段

17、 1 PF的中点坐标为(0, )b，则双曲线C的离心率为( ) A2 B3 C5 D2 【解答】 解： 1 F、 2 F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点， 点P在双曲线C上， 且线段 1 PF的中点坐标为(0, )b， 可得： 2 2 b b a ，可得2ab， 所以双曲线的离心率为： 22 2 5 cab e aa 故选：C 8 （3 分）前进中学高二学生会体育部共有 5 人，现需从体育部派遣 4 人，分别担任拔河比 赛活动中的裁判、 记录结果、 核查人数、 维持纪律四项工作， 每个人只能担任其中一项工作， 其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有(

18、)种派遣方法 A120 B96 C48 D60 【解答】解：根据题意，需要先在 5 人中选出 4 人，分 2 种情况讨论： ， 选出的 4 人中没有张三， 此时将选出的 4 人全排列， 对应 4 项工作即可， 此时有 4 4 24A 种情况， ，选出的 4 人中没有张三，需要在其他 4 人中选出 3 人，再让选出 4 人担任 4 项工作，张 三不担任裁判工作，有 33 43 372CA 种情况， 则一共有247296种安排方法； 故选：B 9 （3 分）设函数( )sin()cos()(0f xxx ，|) 2 的最小正周期为，且过 点(0, 2)，则下列正确的为( ) 第 9 页（共 20

19、页） ( )f x在(0,) 2 单调递减 ( )f x的一条对称轴为 2 x (|)fx的周期为 2 把 函 数( )f x的 图 象 向 左 平 移 6 个 长 度 单 位 得 到 函 数( )g x的 解 析 式 为 ( )2cos(2) 6 g xx A B C D 【解答】解：函数( )sin()cos()2sin()(0f xxxx ，|) 2 ， 由于函数的最小正周期为， 所以 2 2 ， 由于函数的图象经过点(0, 2)， 所以22sin， 所以 2 所以函数( )2sin(2)2cos2 2 f xxx ， 对于( )f x在(0,) 2 x 时，2(0, )x，所以函数单调

20、递减故正确 对于( )f x的一条对称轴为 2 x 当 2 x 时，函数取得最小值，故正确 (|)2cos2|fxx，所以函数的周期为故错误 把函数( )f x的图象向左平移 6 个长度单位得到函数( )2cos(2) 3 g xx ，故错误 故选：A 10 （3 分）下列函数图象中，函数 | | ( )() x f xx eZ 的图象不可能的是( ) A B 第 10 页（共 20 页） C D 【解答】解：A图象中函数的定义域为R，函数是偶函数，则为正偶数时，满足对应图 象， B图象中函数的定义域为 |0x x ，函数是偶函数，则为负偶数时，满足对应图象， C图象中函数的定义域为R，函数是

21、奇函数，则为正奇数，函数为增函数，且递增的速 度越来越快，故C不满足条件 D图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则为正奇数，函数为增函数，且递增的速 度越来越快，故D满足条件 故选：C 11 （3 分）已知(2,0)A ，( 2,0)B及抛物线方程为 2 8(1)xy，点P在抛物线上，则使 得ABP为直角三角形的点P个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：由题意如图所示，当PAB，PBA为直角时，即当PBAB，PAAB时有 两个点， 当PAPB，即0PA PB ，APB为直角时，设 2 ( ,1) 8 a P a， (2PA PBa， 2 1) (2 8 a a，

22、2 1)0 8 a ，即 2 2 (2)(2)(1)0 8 a aa， 整理： 42 80640aa，可得由两个根，即有两个P点关于y轴对称， 综上所述共有 4 个点P满足ABP为直角三角形， 故选：D 第 11 页（共 20 页） 12 （3 分）已知函数 2 1,1 ( )() ,1 axaxx f xaR xalnx x ，若函数( )f x有四个零点，则a的取值 范围是( ) A(,0) B( ,)e C(4,) D 2 (4,)e 【解答】解：当0a 时，显然不符合题意，舍去； 当0a 时，( )f xxalnx为(1,)上的增函数，在区间(1,)上至多有一个零点，与条 件矛盾，不合

23、题意，舍去； 当0a 时，则( )f x在(，1上有两个零点，在(1,)上有两个零点 当1x时， 22 14 ( )1() 24 a f xaxaxa x ， 由于对称轴是 1 2 x ，(0)ff（1）10 ， 故只要 1 ( )0 2 f，即4a ； 当1x 时，( )f xxalnx，( )1 axa fx xx ，令( )0fx，则xa， 当01a 时，( )0fx，( )f x在(1,)上单调递增，与条件矛盾，不符合题意，舍去； 当1a 时，(1, )xa时，( )0fx，( )f x单调递减；当( ,)xa时，( )0fx，( )f x单 调递增； 且根据不同函数的增长率的知识知，

24、必然存在 0 ( ,)xa，使得 000 ()0f xxalnx； 故xa时( )f x有极小值，要满足条件，只要f（a）0aalna，即ae； 综上所述，4a 且ae，故4a ； 故选：C 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分）已知实数x，y满足 5 21 0 22 0 xy xy xy ，则3zxy的最小值为 1 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：由实数x，y满足 5 21 0 22 0 xy xy xy ，作出可行域如图， 联立 210 220 xy xy ，解得(0,1)A， 化目标函数3zxy为3yxz ， 由图可知， 当直线3yxz 过A时， 直线在y轴上的截距最小，z

25、有最小值为3011 故答案为：1 14 （3 分）在ABC中，60BC ，2AB ，且点M满足2BMCM，则AM BC 6 【解答】解：因为在ABC中，60BC ，2AB ， 所以ABC是等边三角形 因为点M满足2BMCM，所以，点C是BM的中点， 2AMABBMABBC， 所以 2 2 (2)222 cos120226AM BCABBC BCAB BCBC ， 故答案为：6 15 （3 分）点P为曲线 2 1 2(41)() 4 yxlnxx 图象上的一个动点，为曲线在点P处 第 13 页（共 20 页） 的切线的倾斜角，则当取最小值时x的值为 1 4 【解答】解：由 2 1 2(41)()

26、 4 yxlnxx ， 得 444 4411 2 (41)13 414141 yxxx xxx ， 当且仅当 4 41 41 x x ，即 1 4 x 时，y最小，此时tan最小，最小 故答案为： 1 4 16 （3 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为 同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于 8 2 3 【解答】解：根据该几何体的三视图可知该几何体外框架为正方体，棱长为 2， 则其外接球的半径 222 222 2 2 R ，所以其体积为 3 48 2 33 VR， 故答案为： 8 2 3 三、解答题：三、解答题： 17 在ABC中，

27、 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知sin(sinsin )sinbBaABcC （）求角C的大小； （）求sinsinAB的取值范围 【解答】解： （）由sin(sinsin )sinbBaABcC， 及正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得 22 ()a abbc，即 222 abcab， 由余弦定理得 222 1 cos 22 abc C ab ， 结合0C，得 3 C （） 3 C ， 2 3 ABC ，即 2 3 BA ， 第 14 页（共 20 页） 则 23133 sinsinsinsin()sincossinsincos3sin() 322226 ABAA

28、AAAAAA ， 2 (0,) 3 A ， ( 6 A 6 ， 5 ) 6 ， 1 sin()( 62 A ，1， 则sinsinAB的取值范围是 3 ( 2 ，3 18如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC，D是AB的中点，BCAC， 22 2ABDC， 1 4AA （）求证： 1/ / BC平面 1 ACD； （）求平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值 【解答】解： （）证明：取 11 AB中点E，连结BE， 1 C E， 在三棱柱 111 ABCABC中，D是AB的中点， 1 / /BEAD， 1 / /C ECD， 1 DADCD

29、， 1 BEC EE，平面 1/ / CDA平面 1 C EB， 1/ / BC平面 1 ACD （）解：取BC的中点O，连结AO， 过O作 11 / /BFAB，交 11 BC于F，F是 11 BC中点， 1 AA 平面ABC，D是AB的中点，BCAC，22 2ABDC， 1 4AA AOBC，以O为原点，OC为x轴，OF为y轴， 1 OA为z轴，建立空间直角坐标系， 第 15 页（共 20 页） 平面 11 BCC B的法向量为(0m ，0，1)， 1(0 A，4，2)，(2C，0，0)，( 2B ，0，0)，(0A，0，2)，( 1D ，0，1)， 设( 3CD ，0，1)， 1 ( 2

30、CA ，4，2)， 设平面 1 ACD的法向量(nx，y，) z， 则 1 30 2420 n CDxz n CAxyz ，取1x ，得(1n ，1，3)， 设平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角为， 则 |33 11 cos | |1111 m n mn 平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值为 3 11 11 19当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行 体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某 地区 2019 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷

31、实心球、1 分钟跳 绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分 某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况， 随机抽取了 100 名学生 进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表： 每分钟跳 绳个数 165，175) 175，185) 185，195) 195，205) 205，215) 得分 16 17 18 19 20 （）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 33 分的概率； 第 16 页（共 20 页） （）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布 2 ( ,)N

32、 ，用样本数据的平均 值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数） ，已知样本方差 2 77.8S （各组数 据用中点值代替） 根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每 分钟跳绳个数都有明显进步， 假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时 个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型： （）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数 （结果四舍 五入到整数） （）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个 以上的人数为，求随机变量的分布列和期望 附： 若随机变量X服从正态分

33、布 2 ( ,)N ，77.89， 则() 0 . 6 8 2 6PX， (22 )0.9544PX，(33 )0.9974PX 【解答】解： （）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，两人得分之和不大于 33 分， 即两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分， 由题意知：得 16 分的分数为 5 人，得 17 分的人数为 9 人， 两人得分之和不大于 33 分的概率为： 211 559 2 100 1 90 CC C P C （）( )1700.051800.091900.52000.32100.06192.3192i X （个)， 2 77.8，9，正

34、式测试时，202，9， 193，211， 10.6826 (193)10.8413 2 P ， 0.8413 1000841.3841， 第 17 页（共 20 页） 正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数为 841 个 ( )ii由正态分布模型得，在该地区 2020 年初三毕业生中任取 1 人， 每分钟跳绳个数 202 以上的概率为 1 2 ，即 1 (3, ) 2 B， 003 3 111 (0)( ) (1) 228 PC， 12 3 113 (1)( )(1) 228 PC， 22 3 113 (2)( ) (1) 228 PC， 330 3 111 (3)( ) (1) 228 P

35、C， 的分布列为： 0 1 2 1 P 1 8 3 8 3 8 1 8 13313 ( )0123 88882 E 20 设 函 数( ) x f xemxn， 曲 线( )yf x在 点( 2ln，( 2)f ln处 的 切 线 方 程 为 2 20xyln （）求m，n的值； （）当0x 时，若k为整数，且1() ( )1xkxf xx ，求k的最大值 【解答】解： （）( ) x fxem，易知切线方程的斜率为 1，且过点( 2,2)lnln， 222 21 mlnnln m ，解得1m ，2n ； （）由（）知，( )2 x f xex， 1() ( )1xkxf xx 即为1()(1

36、) x xkx e ， 当0x 时，等价于 1 (0) 1 x x kx x e ， 令 1 ( )(0) 1 x x g xx x e ，则 2 (2) ( ) (1) xx x e ex g x e ， 令( )2 x h xex，由0x 得，( )10 x h xe ， 函数( )h x在(0,)上递增， 第 18 页（共 20 页） 而h（1）0，h（2）0，故存在唯一的零点 0 (1,2)x ，使得 0 ()0h x，即存在唯一的 零点 0 (1,2)x ，使得 0 ()0g x， 当 0 (0,)xx时，( )0g x，( )g x递减，当 0 (xx，)时，( )0g x，( )

37、g x递增， 0 ( )() min g xg x， 又 0 ()0h x，即 0 0 2 x ex，故 00 ()1(2,3)g xx ， 整数k的最大值为 2 21在圆 22 4xy上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上 运动时，点M在线段PD上，且 1 2 DMDP，点M的轨迹为曲线 1 C （1）求曲线 1 C的方程； （2）过抛物线 2 2: 8Cyx的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过F且与直线l垂直 的直线交曲线 1 C于另一点C，求ABC面积的最小值，以及取得最小值时直线l的方程 【解答】解（1）设( , )M x y，( ,)P x y，由题意可知

38、( ,0) D x ，因为 1 2 DMDP，所以可得M 是DP的中点， 2 xx y y ，即 2 xx yy ， 而P在圆 22 4xy上，所以可得 22 (2 )4xy，整理得： 2 2 1 4 x y， 所以曲线 1 C的方程： 2 2 1 4 x y （2） 由题意焦点F的坐标(2,0)， 显然直线l的斜率不为 0， 设直线l的方程为：2xmy， 设交点( , )A x y，( ,)B x y，联立直线与抛物线的方程： 2 2 8 xmy yx ， 2 8160ymy，8yym，16yy ， 所以弦长 22222 1()4164648(1)ABmyyyymmm， 由 题 意 可 知C

39、F的 方 程 为 ：(2 )ym x ， 与 曲 线 1 C联 立 2 2 (2 ) 1 4 ym x x y 可 得 ： 第 19 页（共 20 页） 2222 (14)161640mxm xm， 2 2 16 2 14 m x m ， 2 2 82 14 C m x m ， 代入直线CF中 2 22 824 (2) 1414 C mm ym mm ，即C的坐标为 2 2 82 (1 4 m m ， 2 4 ) 14 m m ， 所以 22 22 222 8244 1 (2)() 141414 mmm CF mmm ， 所以 22 22 22 114 11 8(1)16(1) 221414

40、ABC mm SAB CFmm mm ， 令 2 11tm，则 3 2 16 43 ABC t S t ，令 3 2 ( )(1) 43 t f tt t ， 22322 2222 3 (43)4(49) ( ) (43)(43) tttttt f t tt ，令( )0f t，1t， 3 2 t ， 当 3 1 2 t ，( )0f t，( )f t单调递减 当 3 2 t ，( )0f t，( )f t单调递增， 所以1t，)， 3 ( ) 2 f最小，且最小值 3 2 3 ( ) 39 2 ( ) 3 216 4 ( )3 2 f ， 所以ABC面积的最小值为 9 169 16 ，且这时

41、 2 3 1 2 m，解得 5 2 m ， 即直线l的方程为： 5 2 2 xy 22设A为椭圆 22 1: 1 424 xy C上任意一点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 10 cos240，B为 2 C上任意一点 （）写出 1 C参数方程和 2 C普通方程； （）求|AB最大值和最小值 【解答】解： （）椭圆 22 1: 1 424 xy C转换为参数方程为 2cos ( 2 6sin x y 为参数） 曲线 2 C的极坐标方程为 2 10 cos240， 转换为直角坐标方程为 22 10240xyx， 整理得 22 (5)1xy （ ）

42、 椭 圆 上 点(2cosA，2 6sin )到 曲 线 2 C的 圆 心(5,0)的 距 离 第 20 页（共 20 页） 222 197 (2cos5)24sin2(cos) 22 d， 当 1 cos 2 时， 97 | 2 max AO， 当cos1时，|2 11 min AO， 所以 97 |12 1941 2 max AB ， |2 111 min AB 23已知函数( ) |22 |()f xxaaR，对xR ，( )f x满足( )(2)f xfx （）求a的值； （）若xR ，使不等式 2 1 ( )(2) 2 f xf xmm，求实数m的取值范围 【解答】解： （）函数( ) |22 |()f xxaaR，对xR ，( )f x满足( )(2)f xfx， 可得( )f x的图象关于直线1x 对称，可得1a ； （）由（）可得( )2|1|f xx， 若xR ，使不等式 2 1 ( )(2) 2 f xf xmm， 可得 2 |1|22|mmxx的最大值， 由|1|22| |1|1|1|11| 1 1| 2xxxxxxx ， 当且仅当1x 时，取得等号，即最大值 2， 则 2 2mm，解得21m 剟