2020年广西师大附外高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年广西师大附外高考数学一模试卷（理科）年广西师大附外高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设集合 2 ( , )|1,( , )|1Mx yxyQx yyx，则集合(MQ ) A0，1 B(0,1) C(1,0) D(0,1)，(1,0) 2 （5 分）设复数2 ()zai aR的共轭复数为z，且2zz，则复数 | 2 z ai 在复平面内 对应点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）从 2020 年起，北京考生的

2、高考成绩由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和考 生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 等级性考试成绩位次由高到 低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C 等级30%，D等级14%，E等级1%现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的 学生中抽取 200 人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为( ) A55 B80 C90 D110 4（5 分） 已知终边与单位圆的交点 3 ( , ) 5 P x， 且s i n t a n0， 则1 s i n 22 2 c o s 2 的值等于( ) A 1 5 B 1 5 C3

3、 D3 5 （5 分）在 5 (2)x的展开式中，前 3 项的系数和为( ) A16 B32 C80 D160 6（5分） 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c， 已知2 coscoscoscBbAaB ， 则(B ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 7 （5 分）已知函数( )2 (1)f xlnxax的导数为( )fx，且f（1）0，则函数 ( )()cos x g xf ex图象的大致形状是( ) A B 第 2 页（共 19 页） C D 8 （5 分） 棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱AD中点， 过点 1 B， 且与平面 1 ABE 平

4、行的正方体的截面面积为( ) A5 B2 5 C2 6 D6 9 （5 分）执行下面的程序框图，若输入S，a的值分别为 1，2，输出的n值为 4，则m的 取值范围为( ) A37m B715m C1531m D3163m 10（5 分） 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F， 点P在双曲线C上， 满足 122 0FF PF ，倾斜角为锐角的渐近线与线段 1 PF交于点Q，且 1 3FPQP，则 1 2 | | PF PF 的 值等于( ) A 4 3 B3 3 C7 D8 11 （5 分）已知函数(1)yf x是偶函数，且函数( )yf x

5、在区间1，)上是增函数， 则下列大小关系中正确的是( ) A 2 11 ( )( )(log 3) 23 fff B 2 11 ( )( )(log 3) 23 fff C 2 11 ( )( )(log 3) 32 fff D 2 11 ( )(log 3)( ) 32 fff 第 3 页（共 19 页） 12 （5 分）函数 2 1 ( )sin 6 f xxaxbx的最大值为 3 2 ，且对任意实数x，都有 (1)( )fxf x，则有( ) A 4 3 a ， 4 3 b B 4 3 a ， 4 3 b C 2 3 a ， 2 3 b D2a ，2b 二、填空题（本题共二、填空题（本题

6、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知,a b为两个单位向量，且向量ab与b垂直，则|23 |ab 14 （5 分）实数x，y满足不等式组 2 1 3 xy y x y ，则 22 xy的最大值是 15（5 分） 点(4,4)P为曲线 2 :2C xpy上一点， 过P作直线PQ交曲线C于点Q（异于P点） ， P与曲线C的焦点F的连线与Q点处的切线l垂直，直线l与曲线C的准线交于点M，则 FM PQ 16 （5 分）在平面四边形ABCD中，BCD是边长为 2 的等边三角形，BAD为等腰三角 形，且90BAD，以BD为折痕，将四边形折成一个 0 1

7、20的二面角ABDC，并且这 个二面角的顶点A、B、C、D在同一个球面上，则这个球的球面面积为 三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 60 分，共分，共 7 大题，其中大题，其中 22-23 为选答题，解答题要有必要的计算步为选答题，解答题要有必要的计算步 骤和推理过程）骤和推理过程） 17 （12 分）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：)mm，得到 如图 5 的茎叶图，整数位为茎，小数位为叶，如27.1mm的茎为 27，叶为 1 （）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小； （只需写出估计的 结论，不需说明理由） （）将棉花按纤维长度的长短分

8、成七个等级，分级标准如表： 等级 七 六 五 四 三 二 一 长度 ()mm 小于 26.0 26.0， 27.0) 27.0， 28.0) 28.0， 29.0) 29.0， 30.0) 30.0， 31.0) 不小于 31.0 试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率； （）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取 4 根，记为抽取 的棉花纤维长度为二级的根数，求的分布列和数学期望 第 4 页（共 19 页） 18 （12 分）已知数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ，点( n a， 1)n a 在直线210xy 上， （）证明数列 1 nn aa 为等比数

9、列，并求其公比 （） 设 2 log (1) nn ba， 数列 n b的前n项和为 n S， 若(1 ) mm Sa， 求实数的最小值 19（12 分） 三棱柱 111 ABCABC的主视图和俯视图如图所示 （图中一格为单位正方形） ，D、 1 D分别为棱AC和 11 AC的中点 （）求侧（左)视图的面积，并证明平面 11 A ACC 平面 11 B BDD； （）求二面角 11 ABDB的余弦值 20 （12 分）设函数 22 ( )cosf xxx （）讨论函数( )f x的单调性 （）若0x，不等式( )1f xkx恒成立，求实数k的取值范围 21 （12 分）如图，已知椭圆 22 2

10、2 :1(0) xy Cab ab 的上顶点为(0,1)A，离心率为 2 2 ( ) I求椭圆C的方程； 第 5 页（共 19 页） ()II若过点A作圆 222 :(1)Mxyr（圆M在椭圆C内） 的两条切线分别与椭圆C相交于 B，D两点(B，D不同于点)A，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求 出该定点；若不是，请说明理由 以下两题为选做题，即从以下两题为选做题，即从 22-23 小题中任选一题作答，多选以小题中任选一题作答，多选以 22 题计分，每小题题计分，每小题 10 分分 22 （10 分）曲线C的参数方程为( 1 m xmt t t yt t 为参数，0)m ，以原点

11、为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系，直线与直线sin2交于点P，动点Q在线段OP上，且满 足| 8OQ OP （1）求曲线C的普通方程及动点Q的轨迹E的极坐标方程 （2）曲线E与曲线C的一条渐近线交于 1 P、 2 P两点，且 12 | 2PP ，求m的值 23设( ) |2|f xxa，aR （）当1a 时，解不等式1( )3f x （）若对任意实数x，使不等式( ) |1|3f xx恒成立的最小正数a，有23mnr a， 证明： 222 9 (1)(1) 14 mnr 第 6 页（共 19 页） 2020 年广西师大附外高考数学一模试卷（理科）年广西师大附外高考数学一模试卷（理科） 参

12、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设集合 2 ( , )|1,( , )|1Mx yxyQx yyx，则集合(MQ ) A0，1 B(0,1) C(1,0) D(0,1)，(1,0) 【解答】解：集合 2 ( , )|1,( , )|1Mx yxyQx yyx， 解方组 22 1 1 xy xy 得 0 1 x y 或， 集合(0,1)MQ ，(1,0) 故选：D 2 （5 分）设复数2 ()zai aR的共轭复数为z，且2zz，则复数 | 2 z ai 在复平面内 对应点位

13、于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：221zzaa， |12 |5(2)2 55 22555 zii i aii ， 故选：A 3 （5 分）从 2020 年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和考 生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 等级性考试成绩位次由高到 低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C 等级30%，D等级14%，E等级1%现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的 学生中抽取 200 人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为( ) A55 B80

14、 C90 D110 【解答】解：由题意，A、B等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%， 则A或B等级所占比例为55%， 200人的样本中，获得A或B等级的学生一共有：20055%110人 故选：D 4（5 分） 已知终边与单位圆的交点 3 ( , ) 5 P x， 且s i n t a n0， 则1 s i n 22 2 c o s 2 第 7 页（共 19 页） 的值等于( ) A 1 5 B 1 5 C3 D3 【解答】解：由题意可知，为第二象限角，且 34 sin,cos 55 ， 原式|sincos| 2|cos| sin3cos3， 故选：C 5 （5 分）在 5 (2)

15、x的展开式中，前 3 项的系数和为( ) A16 B32 C80 D160 【解答】解：因为在 5 (2)x的展开式中，通项公式为 5 15 2() rrr r Tx ， 前 3 项的系数和为： 051423 555 22232CCC， 故选：B 6（5分） 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c， 已知2 coscoscoscBbAaB ， 则(B ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 【解答】解：由正弦定理得：2sincossincossincosCBBAAB ， 可得：2sincossin()sinCBABC ， 由于sin0C ， 可得 12 cos 23 BB 故选：

16、D 7 （5 分）已知函数( )2 (1)f xlnxax的导数为( )fx，且f（1）0，则函数 ( )()cos x g xf ex图象的大致形状是( ) A B 第 8 页（共 19 页） C D 【解答】解： 2 ( ) 1 fxa x ， 由f（1）101aa ， 所以 2 ( )(1)cos 1 x g xx e ， 因为 2122 ()(1)cos()cos (1)cos(1)cos( ) 1111 xx xxxx ee gxxxxxg x eeee ， 所以( )g x为奇函数，且当(0,) 2 x 时，有( )0g x ， 故选：A 8 （5 分） 棱长为 2 的正方体 11

17、11 ABCDABC D中，E为棱AD中点， 过点 1 B， 且与平面 1 ABE 平行的正方体的截面面积为( ) A5 B2 5 C2 6 D6 【解答】解：取BC中点F， 11 AD中点G，连结DF、 1 B F、 1 DB、DG、 1 GB，GF， 棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱AD中点， / /BEDF， 1 / /AEGD， 又 1 AEBEE，DGDFD， 1 AE、BE 平面 1 ABE，DG、DF 平面 1 DFBG， 过点 1 B，且与平面 1 ABE平行的正方体的截面为四边形 1 DFBG， 11 415DFFBBGDG， 1 4442 3DB

18、 ， 2 532 2GF ， 过点 1 B，且与平面 1 ABE平行的正方体的截面面积为： 1 1 11 2 32 22 6 22 FB GD SDBGF 菱形 故选：C 第 9 页（共 19 页） 9 （5 分）执行下面的程序框图，若输入S，a的值分别为 1，2，输出的n值为 4，则m的 取值范围为( ) A37m B715m C1531m D3163m 【解答】解：根据程序框图：1S ，2a ，1n ， 当1m时， 1 123S ，2a ，2n ， 当3m时， 2 327S ，2a ，3n ， 当7m时， 3 7215S ，2a ，4n ， 输出4n ， 故：715m， 故选：B 10（5

19、 分） 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F， 点P在双曲线C上， 满足 122 0FF PF ，倾斜角为锐角的渐近线与线段 1 PF交于点Q，且 1 3FPQP，则 1 2 | | PF PF 的 值等于( ) 第 10 页（共 19 页） A 4 3 B3 3 C7 D8 【解答】解：由 122 0FF PF ，可得 122 FFPF，可设 2 ( ,) b P c a ， 则由 1 3FPQP可得 2 2 ( ,) 3 3 cb Q a ，点Q在直线 b yx a 上，所以 2 2 2 33 bbc cb aa ， 所以 222 43

20、babab， 所以 1 212 2 |7 |,| | 27 |33 PFbb PFPFPFa PF ， 故选：C 11 （5 分）已知函数(1)yf x是偶函数，且函数( )yf x在区间1，)上是增函数， 则下列大小关系中正确的是( ) A 2 11 ( )( )(log 3) 23 fff B 2 11 ( )( )(log 3) 23 fff C 2 11 ( )( )(log 3) 32 fff D 2 11 ( )(log 3)( ) 32 fff 【解答】解：( )yf x的图象关于直线1x 对称，且在(0,1)上为减函数， 11 23 ， 2222 1132119 2log 3l

21、og0(2log 3)log0 3327228 ， 所以 22 1111 2log 3( )(log 3)( ) 2323 fff， 故选：D 12 （5 分）函数 2 1 ( )sin 6 f xxaxbx的最大值为 3 2 ，且对任意实数x，都有 (1)( )fxf x，则有( ) A 4 3 a ， 4 3 b B 4 3 a ， 4 3 b C 2 3 a ， 2 3 b D2a ，2b 【解答】解：易知函数sinyx关于 1 2 x 对称， 又对任意实数x，都有(1)( )fxf x，故函数( )f x关于 1 2 x 对称， 函数 2 11 62 yaxbxx 对称， 又函数( )

22、f x的最大值为 3 2 ，故 13 ( ) 22 f， 1 4 22 133 ( ) 22 b a ab f ， 故选：B 第 11 页（共 19 页） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知,a b为两个单位向量，且向量ab与b垂直，则|23 |ab 5 【解答】解：,a b为单位向量，ab与b垂直， 2 ()10ab ba bba b ， 1a b ， 2 (23 )491225ab， |23 | 5ab 故答案为：5 14 （5 分）实数x，y满足不等式组 2 1 3 xy y x y ，则 22 xy

23、的最大值是 13 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域如图所示； 其中点 1 (2A， 3) 2 ，(2,3)B，( 1,3)C ， 而 22 xy的几何意义是平面区域内的点( , )x y与点(0,0)的距离的平方， 由图可知B离原点最远； 22 xy的最大值是： 22 2313； 故答案为：13 15（5 分） 点(4,4)P为曲线 2 :2C xpy上一点， 过P作直线PQ交曲线C于点Q（异于P点） ， P与曲线C的焦点F的连线与Q点处的切线l垂直，直线l与曲线C的准线交于点M，则 第 12 页（共 19 页） FM PQ 100 3 【解答】 解： 由(4,4)P在抛物线上可得 2

24、424p，s所以2p ， 即抛物线的方程为： 2 4xy， 所以焦点(0,1)F，准线方程为：1y 所以 413 44 PF k ， 所以由题意在Q处的切线的斜率为 4 3 ， 由 2 4xy，可得 2 4 x y ， 2 x y ，所以 4 23 x ，可得 8 3 Q x ， 2 16 49 Q Q x y ， 即 8 ( 3 Q ，16) 9 ， 16 4 1 9 8 3 4 3 PQ k ， 所以直线PQ的方程为： 1 (4)4 3 yx，令1y 可得：11x ，即( 11, 1)M ， 所以( 1FM PQ ， 8 11 1) (4 3 ，16 2020100 4)1 ()( 12)

25、 () 9393 ， 故答案为：100 3 16 （5 分）在平面四边形ABCD中，BCD是边长为 2 的等边三角形，BAD为等腰三角 形，且90BAD，以BD为折痕，将四边形折成一个 0 120的二面角ABDC，并且这 个二面角的顶点A、B、C、D在同一个球面上，则这个球的球面面积为 52 9 【解答】 解： 折成的立体图形如图所示，O为球心，E为BD的中点，60CEH，3CE ， 3 3sin60 2 CH ， 3 3cos60 2 HE ， 所以由 222 OCOFCF得： 2222 33 (1)() 22 RR ， 得 2 13 9 R ，所以球面积为 2 52 4 9 SR ， 故答

26、案为： 52 9 第 13 页（共 19 页） 三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 60 分，共分，共 7 大题，其中大题，其中 22-23 为选答题，解答题要有必要的计算步为选答题，解答题要有必要的计算步 骤和推理过程）骤和推理过程） 17 （12 分）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：)mm，得到 如图 5 的茎叶图，整数位为茎，小数位为叶，如27.1mm的茎为 27，叶为 1 （）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小； （只需写出估计的 结论，不需说明理由） （）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标准如表： 等级 七 六 五 四

27、 三 二 一 长度 ()mm 小于 26.0 26.0， 27.0) 27.0， 28.0) 28.0， 29.0) 29.0， 30.0) 30.0， 31.0) 不小于 31.0 试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率； （）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取 4 根，记为抽取 的棉花纤维长度为二级的根数，求的分布列和数学期望 【解答】解： （）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大； 乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小 （）由所给的茎叶图知， 甲、 乙两种棉花纤维长度在30.0，30.9（即二级）比率分别为： 51 255 ， ； 3 0.12 2

28、5 ， 第 14 页（共 19 页） 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为 1 5 （或0.2)和 3 25 （或0.12) （）由（）知，从甲种棉花中任取 1 根，其纤维长度为二级的概率为 1 5 ， 不是二级的概率为 14 1 55 ， 依题意知的可能取值为：0，1，2，3，4 又 4 4256 (0)( ) 5625 P（或0.4096)， 13 4 14256 (1)( ) 55625 PC（或0.4096)， 222 4 1496 (2)( )( ) 55625 PC（或0.1536)， 33 4 1416 (3)( ) 55625 PC （或0.0256)， 4 11

29、 (4)( ) 5625 P（或0.0016) 故的分布列为： 0 1 2 3 4 ( )P 256 625 （或 0.4096) 256 625 （或 0.4096) 96 625 （或 0.1536) 16 625 （或 0.0256) 1 625 （或 0.0016) 14 4 55 E（或 0.8) （12 分） 18 （12 分）已知数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ，点( n a， 1)n a 在直线210xy 上， （）证明数列 1 nn aa 为等比数列，并求其公比 （） 设 2 log (1) nn ba， 数列 n b的前n项和为 n S， 若(1 ) mm Sa，

30、 求实数的最小值 【解答】解： （）证明：点( n a， 1)n a 在直线210xy 上，可得 1 21 nn aa ， 即有 1 12(1) nn aa ，可得1 n a 为首项为 2，公比为 2 的等比数列，可得12n n a ， 即21 n n a ， 1 1 21(21)2 nnn nn aa ， 可得数列 1 nn aa 为等比数列，其公比为 2； 第 15 页（共 19 页） （）设 22 log (1)log 2 nn ba n n， 1 (1) 2 n Sn n，(1) mm Sa即为 1 (1)2 2 m m m， 可得 (1) 2 2m m m 恒成立， 由 (1) 2

31、m m m m c ， 1 11 (1)(2)(1)(1)(2) 222 mm mmm mmm mmm cc ， 当1m 时， 21 cc，2m 时， 32 cc，2m 时， 1mm cc ， 即 12345 ccccc，可得 23 3 2 cc为最大值， 即有 3 2 ， 则 3 4 ，即实数的最小值为 3 4 19（12 分） 三棱柱 111 ABCABC的主视图和俯视图如图所示 （图中一格为单位正方形） ，D、 1 D分别为棱AC和 11 AC的中点 （）求侧（左)视图的面积，并证明平面 11 A ACC 平面 11 B BDD； （）求二面角 11 ABDB的余弦值 【解答】解： （）

32、由视图可知，侧面 11 A ACC 底面ABC，BDAC， 又BD在平面ABC内，侧面 11 A ACC底面ABCAC， BD侧面 11 A ACC， 又BD在平面 11 B BDD内， 第 16 页（共 19 页） 平面 11 A ACC 平面 11 B BDD； 侧视图为矩形，长就是棱柱的高，宽为BD的长，所以面积428S ； （）由（）可知，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2A，0，0)，(0D，0，0)，(0B，2，0)，( 2C ，0，0)， 1(1 A，0，4)， 1( 1 D ，0，4)， 1( 3 C ，0，4)， 1( 1 B ，2，4)， 设平面 1 ABD

33、的法向量为( , , )mx y z，则 1 40 20 m DAxz m DBy ，可取( 4,0,1)m ， 设平面 1 B BD的法向量为( , , )na b c，则 1 20 240 n DBb n DBabc ，可取(4,0,1)n ， 设二面角 11 ABDB的平面角为，则 15 cos|cos,| 17 m n 20 （12 分）设函数 22 ( )cosf xxx （）讨论函数( )f x的单调性 （）若0x，不等式( )1f xkx恒成立，求实数k的取值范围 【解答】 解：（）( )22sin cos2sin2fxxxxxx，( )22cos22(1cos2 ) 0fxxx

34、， 函数( )fx为增函数，又(0)0f， 当0x 时，( )0fx，当0x 时，( )0fx， 函数( )f x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增； （）不等式( )1f xkx即为 22 1cos0xkxx ，设 22 ( )1cosg xxkxx ，0x， 则( )2sin2g xxkx， 由（）可知，( )g x是0，)上的增函数， 第 17 页（共 19 页） 因为(0)gk ， 所以当0k时，(0) 0g，函数( )g x在区间0，)上单调递增，( )(0)0g xg，符合题 意； 当0k 时，(0)0gk ，故存在 0 0x ，使得 0 ()0g x， 且当 0 (0,)

35、xx时，( )0g x，当 0 (xx，)时，( )0g x， 所 以 函 数( )g x在 0 (0,)xx上 为 减 函 数 ， 在 0 (xx，)上 为 增 函 数 ， 故 0 ( )()(0)0 min g xg xg，不合题意 综上，实数k的取值范围为(，0 21 （12 分）如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点为(0,1)A，离心率为 2 2 ( ) I求椭圆C的方程； ()II若过点A作圆 222 :(1)Mxyr（圆M在椭圆C内） 的两条切线分别与椭圆C相交于 B，D两点(B，D不同于点)A，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求 出该

36、定点；若不是，请说明理由 【解答】解： （） 2 2 2 1 2 cb e aa ，由题设知 2 2 1 1 2 b b a 1 2 b a 故所求椭圆C的方程是 2 2 1 2 x y （） ：设切线方程为1ykx，则有，化简得 2 |1| 1 k r k ，即 222 (1)210rkkr 设两条切线分别的斜率分别为 1 k， 2 k，于是 1 k， 2 k是方程 222 (1)210rkkr 的两实 根，故 12 1k k 第 18 页（共 19 页） 设直线BD的方程为ymxt， 由 22 22 ymxt xy 得 222 (12)4220mxtmxt， 12 2 4 12 mt xx

37、 m ， 2 12 2 22 12 t x x m ， 又 12 12 12 11 1 yy k k xx ，即 1212 (1)(1)mxtmxtx x 22 1212 (1)(1)()(1)0mx xm txxt， 2 22 22 2(1)4 (1)(1)(1)0 1212 tmt mm tt mm ， 3t 直线BD过定点(0, 3) 以下两题为选做题，即从以下两题为选做题，即从 22-23 小题中任选一题作答，多选以小题中任选一题作答，多选以 22 题计分，每小题题计分，每小题 10 分分 22 （10 分）曲线C的参数方程为( 1 m xmt t t yt t 为参数，0)m ，以原

38、点为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系，直线与直线sin2交于点P，动点Q在线段OP上，且满 足| 8OQ OP （1）求曲线C的普通方程及动点Q的轨迹E的极坐标方程 （2）曲线E与曲线C的一条渐近线交于 1 P、 2 P两点，且 12 | 2PP ，求m的值 【解答】解： （1）参数方程化简 1 1 x t mt yt t ， 2_2 可得 2 2 2 4 x y m ， 直线 sin2 所以 1 2 sin ，设( , )Q 因为满足| 8OQ OP 所以 1 88 4|sin| 4sin 2 | | sin ， 所以曲线C的普通方程为 2 2 2 4 x y m ，4sin； （2）由

39、（1）得曲线C的渐近线的方程为： 1 yx m ，即0xmy， 曲线E的普通方程为： 22 40xyy，圆心坐标(0,2)，半径为2r ， 第 19 页（共 19 页） 圆心到直线0xmy的距离为 2 2| 1 m d m ， 所以弦长 2 22 12 2 4 | 22 42 1 m PPrd m ，0m ，解得3m 所以m的值为3 23设( ) |2|f xxa，aR （）当1a 时，解不等式1( )3f x （）若对任意实数x，使不等式( ) |1|3f xx恒成立的最小正数a，有23mnr a， 证明： 222 9 (1)(1) 14 mnr 【解答】解： （）( ) |2|f xxa，

40、 当1a 时， 1 21, 2 ( ) |21| 1 21, 2 xx f xx xx ； 所以不等式1( )3f x等价于 1 2 1213 x x ，或 1 2 1213 x x ； 解得12x，或10x ； 所以不等式1( )3f x的解集为( 1，0)(1，2) （）对任意实数x，使不等式( ) |1|3f xx恒成立， 即|2|1|3xax； 设( ) |2|1|g xxax，0a ，可得( )3 min g x， 由|2|1| |1|0 |1| |1| 2222 aaaa xaxxxxxx，当 2 a x 时，取得等 号， 则|1|3 2 a ，即为13 2 a ，解得4a， 最小正数4a ，有234mnr， 可得2(1)3(1) 3mnr ， 由柯西不等式可得 2222222 (123 )(1)(1) 2(1)3(1)mnrmnr， 即 2222 19 (1)(1)2(1)3(1) 1414 mnrmnr厖， 故原不等式成立