2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|x|1，则 AB（ ） A （2，1） B （1，1） C （0，1） D （1，2） 3 （5 分）已知 x，yR，

2、且 xy0，则（ ） Acosxcosy0 Bcosx+cosy0 Clnxlny0 Dlnx+lny0 4 （5 分）函数 f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 yex关于 y 轴对称，则 f（x）（ ） Ae x+1 Be x1 Cex 1 Dex+1 5 （5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作 一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ， 然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形） 在如图第 3 个

3、大正三角 形 中 随 机 取 点 ， 则 落 在 黑 色 区 域 的 概 率 为 （ ） A3 5 B 9 16 C 7 16 D2 5 6 （5 分）已知等比数列an满足 a1a236，a1a324，则使得 a1a2an取得最大值的 n 为（ ） A3 B4 C5 D6 7 （5 分）已知 为锐角，cos= 3 5，则 tan（ 4 + 2）（ ） A1 3 B1 2 C2 D3 第 2 页（共 19 页） 8 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1，O 为坐标原点，直线 xa 与双曲线 C 的两条渐近 线交于 A，B 两点，若OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的

4、方程为（ ） A 2 3 y21 Bx2 2 3 =1 C 2 12 2 4 =1 D 2 4 2 12 =1 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（ ） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10

5、年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3 10 （5 分） 已知函数 f （x） = 1 2+1 +2x+1， 且 f （a2） +f （2a） 3， 则 a 的取值范围是 （ ） A （，3）（1，+） B （，2）（0，+） C （2，0） D （1，3） 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+sin（x） ，现给出如下结论： f（x）是奇函数； f（x）是周期函数； f（x）在区间（0，）上有三个零点； f （x）的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ） 第 3 页（共

6、19 页） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 4，底面边长为 2，用一个平面截此棱 柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1分别交于点 M，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则MNQ 面积的最大值为（ ） A3 B10 C17 D32 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的 决赛结果共有 种 （用数字作答） 14（5分） 在ABC中， AB2， AC3， P是边BC的垂直平分线上一点， 则

7、 = 15 （5 分）函数 f（x）lnx 和 g（x） ax2x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同， 则这条切线方程为 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对曲线 C 上任意一点 P，P 到直线 x+10 的距离与 该点到点 O 的距离之和等于 2， 则曲线 C 与 y 轴的交点坐标是 ； 设点 A （ 5 4， 0） ， 则|PO|+|PA|的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来

8、， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格

9、每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin（A 3） 第 4 页（共 19 页） （1）求 A； （2）D 是线段 BC 上的点，若 ADBD2，CD3，求ADC 的面积 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0

10、）的离心率为1 2，点 A（1， 3 2）在椭圆 C 上， 直线 l1过椭圆 C 的有交点与上顶点，动直线 l2：ykx 与椭圆 C 交于 M、N 两点，交 l1 于 P 点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP|= 1 4|MN|，求此时|MN|的长度 20 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，APBACB 90，点 E，F 分别是棱 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 （1）证明：GF平面 PAC； （2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60，求二面角 BAPC 的余弦值 21 （12 分）已知

11、函数 f（x）1+x2sinx，x0 （1）求 f（x）的最小值； （2）证明：f（x）e 2x 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 4 2 = 4 （m 为参数） （1）写出曲线 C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 l1，l2，其中 l1与曲线 C 交于 A，B 两点，l2与 C 交于 M，

12、N 两点，l1与 l2交于点 P（x0，y0） ，求证：|PA|PB|PM|PN| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x1| （1）若 f（a）2，求 a 的取值范围； 第 5 页（共 19 页） （2）当 xa，a+k时，函数 f（x）的值域为1，3，求 k 的值 第 6 页（共 19 页） 2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小

13、题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 5 1+2 = 5(12) (1+2)(12) = 2 + ， 在复平面内，复数 5 1+2对应的点的坐标为（2，1） ，位于第一象限 故选：A 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|x|1，则 AB（ ） A （2，1） B （1，1） C （0，1） D （1，2） 【解答】解：Ax|1x2，Bx|x1 或 x1， AB（1，2） 故选：D 3 （5 分）已知 x，yR，且 xy0，则（

14、） Acosxcosy0 Bcosx+cosy0 Clnxlny0 Dlnx+lny0 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，ycosx 在（0，+）上不是单调函数，故 cosxcosy0 不一定成立，A 错误； 对于 B，当 x，y= 2时，cosx+cosy10，B 不一定成立； 对于 C，ylnx 在（0，+）上为增函数，若 xy0，则 lnxlny，必有 lnxlny0， C 正确； 对于 D，当 x1，y= 1 2时，lnx+lnyln 1 2 0，D 不一定成立； 故选：C 4 （5 分）函数 f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 yex关于 y 轴对称，则 f

15、（x）（ ） Ae x+1 Be x1 Cex 1 Dex+1 第 7 页（共 19 页） 【解答】解：yex关于 y 轴对称的函数为 ye x， 然后向右平移一个单位得到 f（x） ， 得 ye （x1） ，即 f（x）e x+1， 故选：A 5 （5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作 一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ， 然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形） 在如图第 3 个大正三角 形 中 随

16、机 取 点 ， 则 落 在 黑 色 区 域 的 概 率 为 （ ） A3 5 B 9 16 C 7 16 D2 5 【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的1 4，不妨设第一个 三角形的面积为 1 第三个三角形的面积为 1； 则阴影部分的面积之为(1 1 4)(1 1 4) = 9 16： 第 3 个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率： 9 16 1 = 9 16， 故选：B 6 （5 分）已知等比数列an满足 a1a236，a1a324，则使得 a1a2an取得最大值的 n 为（ ） A3 B4 C5 D6 【解答】解：等比数列an满足 a1a236，a1a32

17、4， 1(1 ) = 36 1(1 2) = 24， 解可得，q= 1 3，a127， an= (1)1 34 ， 若使得 a1a2an取得最大值，则 n 应该是偶数， 第 8 页（共 19 页） 且 n4 时，|an|1， 故当 n4 时，a1a2an取得最大值 故选：B 7 （5 分）已知 为锐角，cos= 3 5，则 tan（ 4 + 2）（ ） A1 3 B1 2 C2 D3 【解答】解： 为锐角，cos= 3 5， sin=1 (3 5) 2 = 4 5，tan= 2 2 12 2 = 4 5 3 5 = 4 3， 解得 tan 2 = 1 2，或 tan 2 = 2（舍） ， ta

18、n（ 4 + 2）= 4+ 2 1 4 2 = 1+1 2 111 2 =3 故选：D 8 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1，O 为坐标原点，直线 xa 与双曲线 C 的两条渐近 线交于 A，B 两点，若OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的方程为（ ） A 2 3 y21 Bx2 2 3 =1 C 2 12 2 4 =1 D 2 4 2 12 =1 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 = 1的渐近线方程为 bxay0 和 bx+ay0， 由 xa 与双曲线 C 的两条渐近线交于 A（a，b） ，B（a，b） ， OAB 是边长为 2 的等边三角形，即有

19、2b2，即 b1， 且 a= 3 2 2= 3， 可得双曲线的方程为 2 3 y21 故选：A 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 第 9 页（共 19 页） 论是（ ） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰

20、值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3 【解答】解：由图 1 知没有在截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值，A 错； 由图 2 知，10 年来全球新增装机容量起伏，B 错； 由图1知，10年中国新增装机总容量为 13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1197.7， 则 10 年来中国新增装机容量平均为 19.77GW，C 错； 故选：D 10 （5 分） 已知函数 f （x） = 1 2+1 +2x+1， 且

21、f （a2） +f （2a） 3， 则 a 的取值范围是 （ ） A （，3）（1，+） B （，2）（0，+） C （2，0） D （1，3） 【解答】解：根据题意，设 F（x）f（x） 3 2 = 1 2+1 +2x+1 3 2 = 12 2(2+1) +2x， 则 F（0）f（0） 3 2 =0， 又由 F（x）= 12 2(2+1) +2（x）（ 12 2(2+1) +2x）F（x） ，即函数 F（x） 为奇函数； 又由 F（x）= 22 (2+1)2 + 2 = 22+2(2+1)2 (2+1)2 = 2(42)+2(2)2+2 (2+1)2 0， 所以函数 F（x）单调递增， 若

22、f（a2）+f（2a）3， 第 10 页（共 19 页） 则 f（a2） 3 2 3 2 (2)， f（a2） 3 2 f（2a） 3 2， F（a2）F（2a） ， F（a2）F（2a） ， 所以 a22a， 解得，a2 或 a0， 故选：B 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+sin（x） ，现给出如下结论： f（x）是奇函数； f（x）是周期函数； f（x）在区间（0，）上有三个零点； f （x）的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：因为 f（x）sin（x）+sin（x）sinxsin（x）f（x） ， 所以 f（x）是奇函数，正确 假

23、设存在周期 T， 则 sin（x+T）+sin（x+T） ）sinx+sinx， sin（x+T）sinxsin（x+T） ）sinx， 所以 sin 2cos 2+ 2 = sin 2 cos2+ 2 ， 存在 x0R，使得 cos20+ 2 =0，而 cos20+ 2 0， 将 x0R，sin 2 cos2+ 2 =0， 由于 2+ 2 0， 故sin 2 =0， 所以 sin 2 =0，sin 2 =0， 2 =k， 2 =m，k，mZ， 所以 km，矛盾， 所以函数 f（x）sinx+sin（x） ，没有周期，错误 第 11 页（共 19 页） f（x）sinx+sin（x）2sin(

24、1+) 2 cos(1) 2 ， 函数的零点为方程 sin(1+) 2 =0 或 cos(1) 2 =0， x= 2 +1或 x= (1+2) 1 ，x（0，） x= 2 +1， 4 +1或 1， 所以 f（x）在区间（0，）上有三个零点；故正确 假设存在这样的 x0使得 f（x）最大值为 2， x0= 2 + 且 x0= 2 + ， （kZ） 即 x0= 2 + 且 x0= 1 2 + ， 所以 2 + = 1 2 + ， k= 1 2，与 kZ 矛盾，故错误 故选：B 12 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 4，底面边长为 2，用一个平面截此棱 柱，与侧棱 AA1，BB

25、1，CC1分别交于点 M，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则MNQ 面积的最大值为（ ） A3 B10 C17 D32 【解答】解：解：如图，不妨设 N 在 B 处，AMh，CQm， 则有 MB2h2+4，BQ2m2+4，MQ2（hm）2+4 由 MB2BQ2+MQ2m2hm+20得 h= 2+2 =m+ 2 h280h28，且 h4， 即 8h216， S= 1 2 | |， S2= 1 4 |MQ|2|BQ|2= 1 4 （hm）2+4（m2+4） 把代入得 S2= 1 4 （m+ 2 m）2+4（m2+4）= 1 4 4 2 +4（m2+4）5+ 4 2 + 2 5+（ 2 +m）241

26、+（ 2 +m）21+h2， 第 12 页（共 19 页） 所以 S21+h29，17， S2max17， Smax= 17， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的 决赛结果共有 60 种 （用数字作答） 【解答】解：依题意，可分三步，第一步从 6 名选手中决出 1 名一等奖有6 1种方法， 第二步，再决出 2 名二等奖，有5 2种方法， 第三步，剩余三人为三等奖， 根据分步乘法计数原理得：共有6 152 =60 种方

27、法 故答案为：60 14 （5 分）在ABC 中，AB2，AC3，P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 = 5 2 【解答】 解： 取 BC 的中点 D， 由条件得 = （ + ） （ ） （1 2 （ + ） + ） （ ） = 22 2 + ( ) = 49 2 + = 5 2 +0= 5 2， 故答案为：5 2 15 （5 分）函数 f（x）lnx 和 g（x） ax2x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同， 则这条切线方程为 yx1 第 13 页（共 19 页） 【解答】解：f（x）lnx 的导数为 f（x）= 1 ，g（x）ax 2x 的导数为 g（x） 2ax1， 设

28、P（x0，y0） ，则 lnx0ax02x0， f（x0）g（x0） ，即 1 0 =2ax01，化简得 12ax02x0， 联立消 a 得，lnx0= 10 2 ， 令 （x）lnx 1 2 ，（x）= 1 + 1 20， 易知 （x）在（0，+）上单调递增，又 （1）0， 所以 （x）lnx 1 2 有唯一解 1，即 x01， 则 y0f（1）0，a1 故 P（1，0） ，切线的斜率为 1，切线的方程为 yx1 故答案为：yx1 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对曲线 C 上任意一点 P，P 到直线 x+10 的距离与 该点到点 O 的距离之和等于 2，则曲线 C 与 y 轴

29、的交点坐标是 （0，1） ；设点 A （ 5 4，0） ，则|PO|+|PA|的最小值为 5 4 【解答】解：设 P（x，y） ，P 到直线 x+10 的距离与该点到点 O 的距离之和等于 2， 则|x+1|= 2+ 2，化简得 y22x+1， 令 x0，y1，故曲线 C 与 y 轴的交点为（0，1） ， （0，1） ， A（ 5 4，0） ，根据题意，当 O，P，A 三点共线时，则|PO|+|PA|的最小， 最小值长等于|OA|= 5 4， 故答案为： （0，1） ；5 4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分

30、，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 第 14 页（共 19 页） 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善

31、运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 【解答】 解： （1） 当收费为 20 元时， 照片被带走的可能性为 0.3， 不被带走的概率为 0.7， 设每个游客的利润为 Y1元，则 Y1是随机变量，其分布列为

32、： Y1 15 5 P 0.3 0.7 E（Y1）150.350.71（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000 元， 当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05100.8，不被带走的概率为 0.2， 设每个游客的利润为 Y2，则 Y2是随机变量，其分布列为： Y2 5 5 P 0.8 0.2 E（Y2）50.850.23（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000315000（元） ， 该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元 （2）设降价 x 元，则 0x15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x， 不被带走的可能性为 0.70.05x，

33、设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，其分布列为： Y 15x 5 P 0.3+0.05x 0.70.05x E（Y）（15x）（0.3+0.05x）5（0.70.05x）0.0569（x7）2， 当 x7 时，E（Y）有最大值 3.45 元， 当定价为 13 元时，日平均利润取最大值为 50003.4517250 元 第 15 页（共 19 页） 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin（A 3） （1）求 A； （2）D 是线段 BC 上的点，若 ADBD2，CD3，求ADC 的面积 【解答】解： （1）由正弦定理可得

34、asinBbsinA， 则有 bsinAb（1 2sinA 3 2 cosA） ，化简可得1 2sinA= 3 2 cosA， 可得 tanA= 3， 因为 A（0，） ， 所以 A= 2 3 （2）设B， (0， 3)，由题意可得BAD，ADC2，DAC= 2 3 ， ACD= 3 ， 在ADC 中， = ，则 3 (2 3 ) = 2 ( 3) ， 所以 3 3 2 +1 2 = 2 3 2 1 2 ，可得 sin= 3 5 cos， 又因为 sin2+cos21，可得 sin= 21 14 ，cos= 57 14 ， 则 sin22sincos= 53 14 ， 所以 SADC= 1 2

35、 sinADC= 1 2 2 3 53 4 = 153 14 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为1 2，点 A（1， 3 2）在椭圆 C 上， 直线 l1过椭圆 C 的有交点与上顶点，动直线 l2：ykx 与椭圆 C 交于 M、N 两点，交 l1 于 P 点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP|= 1 4|MN|，求此时|MN|的长度 【解答】解： （1）由题意得：e= = 1 2， 1 2 + 9 42 =1，b2a2c2，解得：a24，b2 3， 所以椭圆的方程： 2 4 + 2 3 =1； （2）由题意

36、直线 l2的方程：ykx，代入椭圆中整理： 第 16 页（共 19 页） （3+4k2）x212，解得 x= 12 3+42， 令 M 的坐标（ 12 3+42，k 12 3+42） |OP|= 1 4|MN|，由对称性可知， 点 P 为 OM 的中点 故 P 的坐标（ 12 3+42 2 ， 12 3+42 2 ） ， 由 P 在直线 l1：3x+y3 =0， 所以3 12 3+42 2 + 12 3+42 2 3 =0， 解得：k0 或 k= 23 3 ，故 M 的坐标为（2，0） ，或（6 5， 43 5 ） ， 所以|OM|2，或221 5 ， 所以|MN|的长度为 4 或421 5

37、20 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，APBACB 90，点 E，F 分别是棱 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 （1）证明：GF平面 PAC； （2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60，求二面角 BAPC 的余弦值 【解答】解： （1）证明：连结 EF，连结 EG 并延长，交 BC 于点 D， 由点 D 是 BC 的中点， D，E，F 分别是棱 CB，AB，PB 的中点，DEAC，EFAP， DE，EF平面 PAC，AC，AP平面 PAC， DE平面 PAC，EF平面 PAC， DE，EF平面 EFG，DEEFE，平面 EFG平

38、面 PAC， 第 17 页（共 19 页） GF平面 EFG，GF平面 PAC （2）解：连结 PE，PAPB，E 是 AB 的中点，PEAB， 平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，PE平面 PAB， PE平面 ABC， 连结 CG 并延长交 BE 于点 O，则 O 为 BE 的中点，连结 OF，则 OFPE， OF平面 ABC，FGO 是 GF 与平面 ABC 所成角，FGO60， 在 RtFGO 中，设 GF2，则 OG1，OF= 3，OC3，PE23， AB43，CE23，OE= 3， OE2+OC2CE2，OCAB， 以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y

39、轴，OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，33，0） ，C（3，0，0） ，P（0，3，23） ， =（3，33，0） ， =（0，23，23） ， 设平面 PAC 的一个法向量 =（x，y，z） ， 则 = 3 + 33 = 0 = 23 + 23 = 0 ，取 z1，得 =（3， 1，1） ， 平面 PAB 的法向量 =（1，0，0） ， 设二面角 BAPC 的平面角为 ， 则 cos= | | | |= 3 5 = 15 5 ， 二面角 BAPC 的余弦值为 15 5 21 （12 分）已知函数 f（x）1+x2sinx，x0 （1）求 f（x）的最小值； （2）证明：f（

40、x）e 2x 第 18 页（共 19 页） 【解答】解： （1）f（x）12cosx，令 f（x）0，得 = 1 2， 故在区间0，上，f（x）的唯一零点是 = 3， 当 0， 3)时，f（x）0，f（x）单调递减；当 ( 3 ，时，f（x）0，f（x） 单调递增， 故在区间0，上，f（x）的极小值为( 3) = 1 + 3 3，当 x 时，()1 + 2 = 1( 3)， f（x）的最小值为( 3) = 1 + 3 3； （2）要证 x0 时，f（x）e 2x，即证 x0 时，g（x）（1+x2sinx）e2x1， g（x）2（1+x2sinx）e2x+（12cosx）e2x（3+2x4si

41、nx2cosx）e2x， 令 h（x）xsinx，x0， 则 h（x）1cosx0，即 h（x）是（0，+）上的增函数， h（x）h（0）0，即 xsinx， 3+2x4sinx2cosx3+2sinx4sinx2cosx32（sinx+cosx）= 3 22( + 4)0， g（x）（3+2x4sinx2cosx）e2x0， 即 g（x）是（0，+）上的增函数，g（x）g（0）1， 故当 x0 时，f（x）e 2x，即得证 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题

42、号选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 4 2 = 4 （m 为参数） （1）写出曲线 C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 l1，l2，其中 l1与曲线 C 交于 A，B 两点，l2与 C 交于 M，N 两点，l1与 l2交于点 P（x0，y0） ，求证：|PA|PB|PM|PN| 【解答】解： （1）解：由 y4m，得 m= 4， 代入 x4m2，得 y24x， 曲线 C 的普通方程为 y24x， C 的普通方程为 y24x，表示开口向右，焦点为 F（1，0）的抛物线 第 19 页（共 19 页） （2）证明：设直线 l1的倾斜角为 ，直线 l2的倾斜角为 ， 直线 l1的参数方程为 = 0 + = 0+ ， （t 为参数） ， 与 y24x 联立，得 t2sin2+（2y0sin4cos）t+y024x00， 设方程的两个解为 t1，t2，则 t1t2= 0240 2 ， |PA|PB|t1|t2|0 240 2 |， |PM|PN| 0240 2()| 0240