2020年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分）已知 | 1Ax x， 2 1 |()0 2 Bxx，则( R AB ) A 1，1 B C 1， 11 )( 22 ，1 D( 1,1) 2 （5 分）设3zi ，则| (zz ) A310i B310i C310i D310i 3 （5 分）中国武汉于 2019 年 1

2、0 月 18 日至 2019 年 10 月 27 日成功举办了第七届世界军人 运动会来自 109 个国家的 9300 余名运动员同台竞技经过激烈的角逐，奖牌榜的前 3 名 如下： 国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌总数 中国 133 64 42 239 俄罗斯 51 53 57 161 巴西 21 31 36 88 某数学爱好者采用分层抽样的方式， 从中国和巴西获得金牌选手中抽取了 22 名获奖代表 从 这 22 名中随机抽取 3 人，则这 3 人中中国选手恰好 1 人的概率为( ) A 22 57 B 19 1540 C 57 1540 D 171 1540 4 （5 分）设 n S为等差数列 n

3、 a的前n项和，其公差为2，且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项，则 10 S的值为( ) A110 B90 C90 D110 5 （5 分）已知函数( ) xx f xee，给出以下四个结论： （1）( )f x是偶函数； （2）( )f x的最大值为 2； （3）当( )f x取到最小值时对应的0x ； （4）( )f x在(,0)单调递增，在(0,)单调递减 正确的结论是( ) 第 2 页（共 22 页） A （1） B （1） （2） （4） C （1） （3） D （1） （4） 6 （5 分）已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 1， 高为 2，M为 11 B

4、C的中点，过M 作平面平行平面 1 ABD，若平面把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的 体积为( ) A 1 8 B 1 16 C 1 24 D 1 48 7 （5 分）设 1 2 ae ， 2 4be， 1 2ce， 3 2 3de ，则a，b，c，d的大小关系为( ) Acbda Bcdab Ccbad Dcdba 8 （5 分）函数( )sinf x |cos |xx的最小正周期与最大值之比为( ) A B2 C4 D8 9 （5 分）已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意 一点D都有| 4CE CDBCAC，则|CD的取值范围是( ) A2

5、，2 6 B2，2 6) C2，2 2 D2，2 2) 10 （5 分）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张 隧（法号：一行）为编制大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又称一 行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年） ：对于函数( )yf x，若 11 ()yf x， 22 ()yf x， 33 ()yf x， 123 xxx，则在区间 i x， 3 x上( )f x可以用二次函 数 111212 ( )()()()f xyk xxkxxxx来近似代替，其中 21 1 21 yy k xx ， 32 32 yy k xx ， 1 2 31

6、kk k xx 若令 1 0x ， 2 2 x ， 3 x，请依据上述算法，估算 2 sin 5 的近似值是( ) A 3 5 B 16 25 C 17 25 D 24 25 11 （5 分）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的右支与抛物线 2 2xpy相交于A，B两点，记点A到 抛物线焦点的距离为 1 d，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为 2 d，点B到抛物线焦点的距 离为 3 d，且 1 d， 2 d， 3 d构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( ) A 2 2 yx B2yx C3yx D 3 3 yx 第 3 页（共 22 页） 12 （5 分）已知方程 2 (1)0 xx x

7、ea e只有一个实数根，则a的取值范围是( ) A0a或 1 2 a B0a或 1 3 a C0a D0a或 1 3 a 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 4 (23 )xy的展开式中二项式系数最大的项为 14 （5 分）高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A， B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师现要求a老师 不能监考A班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不 同的监考方式有 种 15 （5 分）已知圆 22 :1O xy

8、，圆 22 :(2)()1Nxaya，若圆N上存在点Q，过 点Q作圆O的两条切线切点为A，B，使得60AQB，则实数a的取值范围是 16 （5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 3 点N是棱 11 AB的中点， 点T是棱 1 CC上 靠近点C的三等分点动点Q在正方形 11 D DAA（包含边界）内运动，且/ /QB面 1 D NT， 则动点Q所形成的轨迹的长度为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22

9、 题、第题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必题为选考题，考生根据要求作答 （一）必 考题：共考题：共 60 分分 17 （12 分）已知函数 1 ( )sin (cossin ) 2 f xxxx （1）求( )f x的单调递减区间； （2） 在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， 且满足cos2cossinaBaBbA， 求f（A）的取值范围 18 （12 分）在三棱柱 111 ABCABC中，已知 1 5ABACAA，4BC ，O为BC的中 点， 1 AO 平面ABC （1）证明四边形 11 BBC C为矩形； （2）求直线 1 AA与平面 11 ABC所成角

10、的余弦值 第 4 页（共 22 页） 19 （12 分）根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克)在正常 环境下服从正态分布(280,25)N （1）随机购买 10 只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于 265 克该海产品的概率 （2）2020 年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为 49 千 元时的年收益增量 现用以往的先进养殖技术投入 i x（千元） 与年收益增量 i y（千元）(1i ， 2，3，8)的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 yab x的附近， 且46.6x ，563y ，6.8t ， 8 2 1

11、()289.8 i i xx ， 8 2 1 ()1.6 i i tt ， 8 1 ()()1469 ii i xxyy ， 8 1 ()()108.8 ii i ttyy ，其中 ii tx， 8 1 1 8 i i tt 根据所给的 统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量 附：若随机变量(1,4)ZN，则( 57)0.9974PZ ， 10 0.99870.9871； 对于一组数据 1 (u， 1) v， 2 (u， 2) v，( n u，) n v，其回归线vu的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n

12、i i uu vv vu uu 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，圆 22 :(1)16Axy，点( 1 ,0)B ，过B的直线l与 圆A交于点C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E （1）求点E的轨迹t的方程； （2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且2MNOM，求四边形 OHNG面积的最大值 21 （12 分）已知函数( )f xln1xax有两个零点 1 x， 2 x （1）求a的取值范围； 第 5 页（共 22 页） （2）记( )f x的极值点为 0 x，求证： 120 2()xxef x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生

13、在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分第一个题目计分选修：坐标系与参数方程选修：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy下，曲线 1 C的参数方程为 cos ( sin x y 为参数） ，曲线 1 C在 变换 2 : xx T yy 的作用下变成曲线 2 C （1）求曲线 2 C的普通方程； （2）若1m ，求曲线 2 C与曲线 3: |Cym xm的公共点的个数 选修：不等式选讲选修：不等式选讲 23已知函数( ) |2|31|f xxxm （1）当5m 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若当 1

14、4 x 时，不等式 16 ( )0 |41| f x x 恒成立，求实数m的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2020 年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分）已知 | 1Ax x， 2 1 |()0 2 Bxx，则( R AB ) A 1，1 B C 1， 11 )( 22 ，1 D( 1,1) 【解答】解：

15、已知 | 1 1Ax x ，1， 2 11 |()0 22 Bxx， 则 11 1. )( 22 R AB ，1， 故选：C 2 （5 分）设3zi ，则| (zz ) A310i B310i C310i D310i 【解答】解：由3zi ，得3zi，|10z ， 则| 310zzi ， 故选：B 3 （5 分）中国武汉于 2019 年 10 月 18 日至 2019 年 10 月 27 日成功举办了第七届世界军人 运动会来自 109 个国家的 9300 余名运动员同台竞技经过激烈的角逐，奖牌榜的前 3 名 如下： 国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌总数 中国 133 64 42 239 俄罗斯 5

16、1 53 57 161 巴西 21 31 36 88 某数学爱好者采用分层抽样的方式， 从中国和巴西获得金牌选手中抽取了 22 名获奖代表 从 这 22 名中随机抽取 3 人，则这 3 人中中国选手恰好 1 人的概率为( ) A 22 57 B 19 1540 C 57 1540 D 171 1540 【解答】解：中国和巴西获得金牌总数为 154，按照分层抽样方法，22 名获奖代表中有中国 第 7 页（共 22 页） 选手 19 个，巴西选手 3 个 故从这 22 名中随机抽取 3 人，则这 3 人中中国选手恰好 1 人的概率为 12 193 3 22 57 1540 C C C 故选：C 4

17、 （5 分）设 n S为等差数列 n a的前n项和，其公差为2，且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项，则 10 S的值为( ) A110 B90 C90 D110 【解答】解：由题意可得 2 111 (12)(4)(16)aaa， 解得 1 20a ， 101 109 1020090110 2 Sad 故选：D 5 （5 分）已知函数( ) xx f xee，给出以下四个结论： （1）( )f x是偶函数； （2）( )f x的最大值为 2； （3）当( )f x取到最小值时对应的0x ； （4）( )f x在(,0)单调递增，在(0,)单调递减 正确的结论是( ) A （1） B （1）

18、 （2） （4） C （1） （3） D （1） （4） 【解答】解：函数( ) xx f xee，xR， ()( ) xx fxeef x ，函数( )f x是R上的偶函数，故（1）正确， 2 1()1 ( ) x xxx xx e fxeee ee ， 令( )0fx得，1 x e ，0x ， 当(,0)x 时，( )0fx，函数( )f x单调递减；当(0,)x时，( )0fx，函数( )f x 单调递增， 且(0)2f，画出函数( )f x的大致图象， 如图所示： 第 8 页（共 22 页） ， 函数( )f x的最小值为 2，故（2）错误， （3）正确， （4）错误， 故选：C 6

19、（5 分）已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 1， 高为 2，M为 11 BC的中点，过M 作平面平行平面 1 ABD，若平面把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的 体积为( ) A 1 8 B 1 16 C 1 24 D 1 48 【解答】解：分别取 11 C D、 1 CC中点EF， 由题意知平面EFM平行于平面 1 ABD， 又平面过点M，平面平行于平面 1 ABD， 平面EFM与平面是同一个平面， 体积较小的几何体等于 2 1111 ( )1 32224 V 故选：C 第 9 页（共 22 页） 7 （5 分）设 1 2 ae ， 2 4be， 1 2ce

20、， 3 2 3de ，则a，b，c，d的大小关系为( ) Acbda Bcdab Ccbad Dcdba 【解答】解： 32 222 4424 11644 , ee abc eeeee ， 2 34 99e d ee ， 2.7e ， 2 7.39e ， 3 20.09e ， 23 4916eee， 2222 cdab， cdab 故选：B 8 （5 分）函数( )sinf x |cos |xx的最小正周期与最大值之比为( ) A B2 C4 D8 【解答】解：( )sinf x 1 sin2(22) 222 |cos | 13 sin2(22) 222 xkxk xx xkxk 剟 剟 ，

21、所以函数的最小正周期为2，函数的最大值为 1 2 故 2 4 1 2 故选：C 9 （5 分）已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意 一点D都有| 4CE CDBCAC，则|CD的取值范围是( ) 第 10 页（共 22 页） A2，2 6 B2，2 6) C2，2 2 D2，2 2) 【解答】解：因为| |4BCACAB，所以4AB ，又因为E为斜边AB中点，所以 2CEAEBE，由已知可得4AB ，2CEAEBE 设,CE CD 当D与E重合时，22cos4CE CD，符合题意； 当D与A重合时，BDC，4cosCD，代入4CE CD ，得24coscos

22、4，此 时 4 故0， 4 此时由4CE CD ，得2cos4CD，即 2 cos CD ，结合0， 4 可 得2,2 2CD 故选：C 10 （5 分）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张 隧（法号：一行）为编制大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又称一 行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年） ：对于函数( )yf x，若 11 ()yf x， 22 ()yf x， 33 ()yf x， 123 xxx，则在区间 i x， 3 x上( )f x可以用二次函 数 111212 ( )()()()f xyk xxkxxxx来近似代替，其中

23、21 1 21 yy k xx ， 32 32 yy k xx ， 1 2 31 kk k xx 若令 1 0x ， 2 2 x ， 3 x，请依据上述算法，估算 2 sin 5 的近似值是( ) A 3 5 B 16 25 C 17 25 D 24 25 【解答】解：函数( )sinyf xx在0x ， 2 x ，x处的函数值分别为 1 (0)0yf， 2 ()1 2 yf ， 3 ( )0yf， 故 21 1 21 2yy k xx ， 32 32 2yy k xx ， 1 2 2 31 4kk k xx ， 故 2 22 2444 ( )() 2 f xxx xxx ， 即 2 2 44

24、 sin xxx ， 第 11 页（共 22 页） 2 2 2424224 sin() 55525 ， 故选：D 11 （5 分）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的右支与抛物线 2 2xpy相交于A，B两点，记点A到 抛物线焦点的距离为 1 d，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为 2 d，点B到抛物线焦点的距 离为 3 d，且 1 d， 2 d， 3 d构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( ) A 2 2 yx B2yx C3yx D 3 3 yx 【解答】解：由题意抛物线的准线方程为： 2 p y ，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由抛物线的性质可得： 1

25、1 2 p dy， 2 dp， 32 2 p dy， 由 1 d， 2 d， 3 d构成等差数列可得 213 2ddd， 即 12 2 22 pp pyy， 所以可得 12 yyp 联立双曲线与抛物线的方程可得： 22 22 2 1 2 xy ab xpy ，整理可得 22222 20a ypb ya b， 所以 2 12 2 2pb yy a ， 所以可得 2 2 2pb p a ，即 22 2ab， 所以渐近线的方程为 2 2 b yxx a ， 故选：A 12 （5 分）已知方程 2 (1)0 xx xea e只有一个实数根，则a的取值范围是( ) A0a或 1 2 a B0a或 1 3

26、 a C0a D0a或 1 3 a 【解答】 解： 令 x te，0t ，xlnt， 则原方程转化成 2 (1)0tlnta t， 即 1 () 0l n t at t ， 令 1 ( )()f tlnta t t ，显然f（1）0， 问题转化成函数( )f t 在(0,) 上只有一个零点 1， 2 2 ( ) atta f t t ， 若0a ，则( )f tlnt 在(0,) 单调递增，f（1）0，此时符合题意； 若0a ，则( )0f t，( )f t 在(0,) 单调递增，f（1）0，此时符合题意； 第 12 页（共 22 页） 若0a ，记 2 ( )h tatta ， 则函数( )

27、h t 开口向下，对称轴 1 0 2 t a ，过(0,)a， 2 14a ， 当0 即 2 140a，即 1 2 a 时，( ) 0f t，( )f t在(0,) 单调递减，f（1）0，此 时符合题意； 当0 即 2 140a，即 1 0 2 a时，设( )0h t 有两个不等实根 1 t， 2 t， 12 0tt， 又h（1）0，对称轴 1 1 2 t a ，所以 12 01tt ， 则( )f t 在 1 (0, )t单调递减， 1 (t， 2) t 单调递增， 2 (t，) 单调递增， 由于f（1）0，所以 2 ( )0f t， 取 1 0 a te， 11 22 0 1 ( ) aa

28、 a ea e f t a ， 记 11 22 ( )1 aa aa ea e 令 1 ,2mm a ， 则 2 2 ( )( )0 mm mee aq m m ，所以 0 ( )0f t， 结合零点存在性定理可知，函数( )f t 在 1 (t， 2) t 存在一个零点，不符合题意； 综上，符合题意的a 的取值范围是0a 或 1 2 a， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 4 (23 )xy的展开式中二项式系数最大的项为 22 216x y 【解答】解：在 4 (23 )xy的展开式中，通项公式为

29、 44 14 23 rrrrr r TCxy ， 故第1r 项的系数为 4 4 23 rrr C ，故当2r 时，二项式系数最大， 故当2r 时，展开式中二项式系数最大的项为 4422 4 23216 rrrrr Cxyx y ， 故答案为： 22 216x y 14 （5 分）高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A， B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师现要求a老师 不能监考A班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不 第 13 页（共 22 页） 同的监考方式有 9 种 【解答】解：根据题意，分 3 种情况

30、讨论： 、当a老师监考B班时，b老师有 3 种情况，剩下的两位老师有 1 种情况，此时有 3 种不 同的监考方式， ，当a老师监考C班时，同理此时有 3 种不同的监考方式， 、当a老师监考D班时，同理此时有 3 种不同的监考方式， 则有3339种不同的监考方式； 故答案为：9 15 （5 分）已知圆 22 :1O xy，圆 22 :(2)()1Nxaya，若圆N上存在点Q，过 点Q作圆O的两条切线切点为A，B，使得60AQB，则实数a的取值范围是 214 2 ， 214 2 【解答】 解： 根据题意， 圆O的方程为 22 1xy， 其半径为 1， 圆 22 :(2)()1Nxaya， 其圆心为

31、(2, )aa，半径为 1， 圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得60AQB，则 30AQO， 在Rt PAO中，2OQ ，故点Q轨迹是圆 22 4xy， 此时圆 22 4xy与圆 22 :(2)()1Nxaya有公共点， 则有 22 1(2)3aa剟，变形可得： 2 0 243 8aa剟， 解可得： 214214 22 a 剟，即a的取值范围为 214 2 ， 214 2 ； 故答案为： 214 2 ， 214 2 16 （5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 3 点N是棱 11 AB的中点， 点T是棱 1 CC上 靠近点C的三等分点动点Q在正方形

32、 11 D DAA（包含边界）内运动，且/ /QB面 1 D NT， 则动点Q所形成的轨迹的长度为 10 【解答】解：由于/ /QB面 1 D NT，所以点Q在过B且与面 1 D NT平行的平面上 取DC中点 1 E，取 1 1AG ，则面 1/ / BGE面 1 D NT延长 1 BE，延长AD，交于点E， 第 14 页（共 22 页） 连接EG，交 1 DD于点I显然，面BGE面 11 D DAAGI， 所以点Q的轨迹是线段GI易求得10GI 故答案为：10 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721

33、题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22 题、第题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必题为选考题，考生根据要求作答 （一）必 考题：共考题：共 60 分分 17 （12 分）已知函数 1 ( )sin (cossin ) 2 f xxxx （1）求( )f x的单调递减区间； （2） 在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， 且满足cos2cossinaBaBbA， 求f（A）的取值范围 【解答】解： （1） 11112 ( )sin2(1cos2 )(sin2cos2 )sin(2) 222224 f xxxxxx ， 由 3

34、 222 242 kxk 剟，kZ，得 5 88 kx k 剟，kZ， 所以( )f x的单调递减区间为 8 k ， 5 8 k ，kZ （2）由正弦定理得sincos2sincossinsinABABBA， sin0A ， 22 cos2cossinBBB，即 22 (cossin)(cossin)cossinBBBBBB， (cossin )(cossin1)0BBBB， 得：cossin0BB，或cossin1BB， 解得 4 B ，或 2 B ， 第 15 页（共 22 页） ABC为锐角三角形， 3 4 AC ， 0 2 3 0 42 A A ，解得 42 A ， 35 2 444

35、A ， 22 sin(2) 242 A ， f（A） 2 sin(2) 24 A 的取值范围为 1 ( 2 ， 1) 2 18 （12 分）在三棱柱 111 ABCABC中，已知 1 5ABACAA，4BC ，O为BC的中 点， 1 AO 平面ABC （1）证明四边形 11 BBC C为矩形； （2）求直线 1 AA与平面 11 ABC所成角的余弦值 【解答】解： （1）证明：连接AO，因为O为BC的中点， 可得BCAO， 1 AO 平面ABC，BC在平面ABC内， 1 AOBC， 又 1 AOAOO， BC平面 1 AAO， 1 BCAA， 11 / /BBAA， 1 BCBB， 第 16

36、页（共 22 页） 又四边形 11 BBC C为平行四边形， 四边形 11 BBC C为矩形 （2）如图，分别以OA，OB， 1 OA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则(1A， 0，0)，(0B，2，0)，(0C，2，0)， 在Rt AOB中， 22 1AOABBO，Rt 1 AAO中， 22 11 2AOAAAO， 1(0 A，0， 2)， 1 ( 1,0,2)AA ， 1 (0, 2, 2)AC ， 11 ( 1,2,0)ABAB ， 设平面 11 ABC的法向量是(nx，y，) z， 由 1 0, 0, n AB n AC 得 20 220 xy yz 即 2 , , xy

37、zy ，可取(2n ，1，1)， 设直线 1 AA与平面 11 ABC所成角为，则0, 2 ， 1 1 1 |42 sin|cos,|30 15| |56 AA n AA n AAn ， 0, 2 ， 2 105 cos1sin 15 ， 即直线 1 AA与平面 11 ABC所成角的余弦值为 105 15 19 （12 分）根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克)在正常 环境下服从正态分布(280,25)N （1）随机购买 10 只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于 265 克该海产品的概率 第 17 页（共 22 页） （2）2020 年该商家考虑增加先进养殖技术投

38、入，该商家欲预测先进养殖技术投入为 49 千 元时的年收益增量 现用以往的先进养殖技术投入 i x（千元） 与年收益增量 i y（千元）(1i ， 2，3，8)的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 yab x的附近， 且46.6x ，563y ，6.8t ， 8 2 1 ()289.8 i i xx ， 8 2 1 ()1.6 i i tt ， 8 1 ()()1469 ii i xxyy ， 8 1 ()()108.8 ii i ttyy ，其中 ii tx， 8 1 1 8 i i tt 根据所给的 统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为 49

39、千元时的年收益增量 附：若随机变量(1,4)ZN，则( 57)0.9974PZ ， 10 0.99870.9871； 对于一组数据 1 (u， 1) v， 2 (u， 2) v，( n u，) n v，其回归线vu的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n i i uu vv vu uu 【解答】解： （1）由已知，单只海产品质量(280,25)N，则280，5， 由正态分布的对称性可知， 111 (265)1(265295)1(33 )(10.9974)0.0013 222 PPP， 设购买 10 只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故(1

40、0,0.0013)XB， 故 10 (1)1(0)1(10.0013)10.98710.0129P XP X ， 所以随机购买 10 只该商家的海产品，至少买到一只质量小于 265 克的概率为 0.0129 （2）由6.8t ，563y ， 8 1 ()()108.8 ii i ttyy ， 8 2 1 ()1.6 i i tt ， 有 8 1 8 2 1 ()() 108.8 68 1.6 () ii i i i ttyy b tt ， 且 563686.8100.6aybt， 所以y关于x的回归方程为100.668yx， 当49x 时，年销售量y的预报值100.668 49576.6y 千

41、元 所以预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量为 576.6 千元 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，圆 22 :(1)16Axy，点( 1 ,0)B ，过B的直线l与 第 18 页（共 22 页） 圆A交于点C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E （1）求点E的轨迹t的方程； （2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且2MNOM，求四边形 OHNG面积的最大值 【解答】解： （1）因为 | | EBED ACAD ，又因为| | 4ACAD，所以| |EBED， 所以| | | 4 | 2EBEAEDEAADAB， 所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴为

42、 4 的椭圆的一部分， 设椭圆方程为： 22 22 1(0) xy ab ab ， 则24a ，22c ，所以 2 4a ， 222 3bac， 所以椭圆方程为 22 1 43 xy ， 又因为点E不在x轴上，所以0y ， 所以点E的轨迹的方程为 22 1(0) 43 xy y （2）因为直线HG斜率不为 0，设为1xty， 设 1 (G x， 1) y， 2 (H x， 2) y，联立 22 1, 1 43 xty xy 整理得 22 (34)690tyty， 所以 222 3636(34)144(1)0ttt， 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t ， 所以

43、 2 12 2 161 | 234 OHG t SOAyy t ， 2MNOM，2 GHNOHG SS ， 设四边形OHNG的面积为S， 则 2 22 2 2 2 1811818 3 1 3434 31 1 1 OHGGHNOHG t SSSS tt t t t ， 令 2 1(1)tm m， 再令 1 3ym m ，则 1 3ym m 在1，)单调递增， 所以1m 时，4 min y， 第 19 页（共 22 页） 此时0t ， 2 2 1 31 1 t t 取得最小值 4，所以 9 2 max S 21 （12 分）已知函数( )f xln1xax有两个零点 1 x， 2 x （1）求a的取值范围； （2）记( )f x的极值点为 0 x，求证： 120 2()xxef x 【解答】解： （1）函数的定义域为(0,)，令( )0f x ，则 1lnx a x ， 依题意，函数 1 ( )(0) lnx F xx x 的图象与直线ya有两个交点， 由 1 ( )(0) lnx F x