2020年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |(3)Ax ylg x， |2xBy y，xR，则AB等于( ) A BR C(3,) D(0,) 2 （5 分）瑞士数学家欧拉在 1748 年得到复数的三角形式：cossin i ei ，(i为虚数单 位） ，根据该式，计算1

2、i e的值为( ) A1 B0 C1 Di 3 （5 分）等差数列 n a的前n项和为 n S， 15 30S， 10 4a，则 9 (a ) A2 B3 C4 D8 4 （5 分）函数( )sin()(0) 4 f xAx 的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为 3 ，要 得到函数( )cosg xAx的图象，只需将( )f x的图象( ) A向左平移 12 个单位 B向右平移 4 个单位 C向左平移 4 个单位 D向右平移 3 4 个单位 5（5 分） 已知直线4yx与曲线 3 yx在第一象限围成的封闭图形的面积为a， 则 5 () a x x 的展开式中，x的系数为( ) A5 B5 C2

3、0 D20 6 （5 分）祖暅原理： “幂势既同，则积不容异“意思是说两个同高的几何体，若在等高处 的截面积恒相等， 则体积相等 设A、B为两个同高的几何体，:p A、B的体积不相等，:q A、 B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）设0ab，1ab，且 1 ( )bx a ， 1 log ab yab， 1 log b za，则x、y、z的 大小关系是( ) Ayzx Bzyx Cxyz Dyxz 8 （5 分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局） ，甲在

4、 第 2 页（共 22 页） 每局比赛中获胜的概率均为 2 3 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比 赛进行了三局的概率为( ) A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 9 （5 分）函数 22 11 ( )sin 4 f xxx x 在区间 2，2 上的大致图象为( ) A B C D 10 （5 分）以双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于双 曲线C的一个焦点( ,0)F c，与y轴交于P，Q两点，若 2 3 | 3 PQc，则双曲线C的离心 率是( ) A3 B5 C2 D2 11（5 分） 如图， 点P在正方

5、体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动(P点异于B、 1 C点） ， 则下列四个结论： 三棱锥 1 AD PC的体积不变： 1 / /AP平面 1: ACD 1 DPBC； 平面 1 PDB 平面 1 ACD 其中正确结论的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 第 3 页（共 22 页） 12 （5 分）若x，a，b均为任意实数，且 22 (2)(3)1ab，则 22 ()()xalnxb的最 小值为( ) A3 2 B18 C3 21 D196 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，分，

6、 13 （5 分）已知x与y之间的一组数据： x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得关于y与x的线性回归方程1.20.55yx，则a的值为 14 （5 分）已知F是抛物线 2 :8C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点 N若M为FN的中点，则|FN 15 （5 分）已知四棱锥SABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球 面上，则球O的表面积等于 16 （5 分）记数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 4a ， 1 29(2) nn aan ，若对任意的正 偶数k，(3 ) 4 k Sk恒成立，则实数的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分

7、解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，题，.每个试题学生都必须作答第每个试题学生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分. 17 （12 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c ，且 1 sin() cos 64 CC （1）求角C的大小； （2）若向量(1,sin)mA与(2,sin)nB共线，求ABC的周长 第 4 页（共 22 页） 18 （12 分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，B

8、D的中点， 90ABDBCD ，2EC 2ABBD （1）证明：平面EFC 平面BCD； （2）若二面角DABC为45，求二面角ACEB的余弦值 19 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 1 F、 2 F为椭圆C左右焦点，B为短轴端点， 且 12 4 BF F S，离心率为 2 2 ，O为坐标原点 （）求椭圆C的方程； （） 是否存在圆心在原点的圆， 使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N， 且满足| |OMONOMON？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由 20 （12 分）已知函数 2 1 ( )(1)(2)(0) 2 x f xa xxea

9、 （1）讨论函数( )f x的单调性： （2）若关于x的方程 1 ( )0 2 f xa存在 3 个不相等的实数根，求实数a的取值范围 21（12 分） 某医院为筛查某种疾病， 需要检验血液是否为阳性， 现有(*)n nN份血液样本， 有以下两种检验方式： 逐份检验， 则需要检验n次： 混合检验， 将其中(*k kN且2)k 份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这 k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份 为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k 次假设在接受 检验的血液样本中， 每份样本

10、的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结 果的概率为(01)pp （1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中(*k kN且2)k份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次 第 5 页（共 22 页） 数为 1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 ( ) i若 12 EE，试求p关于k的函数关系式( ):pf k ( )ii若 1 4 1pe ，试讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：20.69ln ，31.10ln ，51.61ln ，2.72e ，

11、2 7.39e ， 3 20.09e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22.23 题中任选题中任选-一题作答如果多做，则按所做的第一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线C的参数方程为 2 2 ( xt t yt 为参数） ，以原点O为极点，x轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 1 l， 2 l相互垂直，与曲线C分别相交于A，B两点 （不同于点)O，且 1 l的倾斜角为锐角 （1）求曲线C和射线 2 1的极坐标方程； （2）求OAB的面积的最小值，并求此时的值

12、 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |f xxax，aR （）若f （1）f（2）5，求a的取值范围； （）若a，*bN，关于x的不等式( )f xb的解集为 3 (, ) 2 ，求a，b的值 第 6 页（共 22 页） 2020 年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项

13、是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |(3)Ax ylg x， |2xBy y，xR，则AB等于( ) A BR C(3,) D(0,) 【解答】解：集合 |(3) |30 |3Ax ylg xx xx x， |2xBy y， |0xRy y， 则 |0ABx x 故选：D 2 （5 分）瑞士数学家欧拉在 1748 年得到复数的三角形式：cossin i ei ，(i为虚数单 位） ，根据该式，计算1 i e的值为( ) A1 B0 C1 Di 【解答】解：由cossin ix exix， 则1cossin10 i ei ， 故选：B 3 （5 分）等差数列 n a的前n项和为 n S，

14、 15 30S， 10 4a，则 9 (a ) A2 B3 C4 D8 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 15 30S， 10 4a， 1 15 14 1530 2 ad ， 1 94ad， 联立解得： 1 5a ，1d ， 则 9 583a 故选：B 4 （5 分）函数( )sin()(0) 4 f xAx 的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为 3 ，要 得到函数( )cosg xAx的图象，只需将( )f x的图象( ) A向左平移 12 个单位 B向右平移 4 个单位 第 7 页（共 22 页） C向左平移 4 个单位 D向右平移 3 4 个单位 【解答】解：函数( )sin(

15、)(0) 4 f xAx 的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为 1 2 23 ， 3，( )sin(3) 4 f xAx 要得到函数( )cos3sin(3) 2 g xAxAx 的图象，只需将( )f x的图象向左平移 12 个单位， 故选：A 5（5 分） 已知直线4yx与曲线 3 yx在第一象限围成的封闭图形的面积为a， 则 5 () a x x 的展开式中，x的系数为( ) A5 B5 C20 D20 【解答】解：两个图形在第一象限的交点为(2,8)， 所以曲线 3 yx与直线4yx在第一象限所围成的图形的面积是 2 3 0 (4)xx dx ， 而 2 3242 0 0 1 (4)(

16、2)|844 4 xx dxxx ， 则 5 4 ()x x 展开式的通项公式为 15 ( 1)4 rr r TC 3 5 5 2 r r x ， 由 3 51 2 r ，解得4r ， 则展开式中的系数为 44 5 ( 1)420C， 故选：C 6 （5 分）祖暅原理： “幂势既同，则积不容异“意思是说两个同高的几何体，若在等高处 的截面积恒相等， 则体积相等 设A、B为两个同高的几何体，:p A、B的体积不相等，:q A、 B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：设A、B为两个同高的几何

17、体，:p A、B的体积不相等，:q A、B在等高处 的截面积不恒相等 由“A、B在等高处的截面积恒相等” ，由祖暅原理，可得：A、B的体积相等 因此可得：A、B的体积不相等，必然：A、B在等高处的截面积不恒相等 即pq，反之不成立 第 8 页（共 22 页） p是q的充分不必要条件 故选：A 7 （5 分）设0ab，1ab，且 1 ( )bx a ， 1 log ab yab， 1 log b za，则x、y、z的 大小关系是( ) Ayzx Bzyx Cxyz Dyxz 【解答】解：由0ab，1ab，得 1 0 2 b， 1 1 2 a，且01ab， 则 1 1 ab ， 1 2 b ， 1

18、 a b ， 1 ( )0 b x a ， 1 log1 ab yab ， 111 01log1 bbb logzalog b ， yzx 故选：A 8 （5 分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局） ，甲在 每局比赛中获胜的概率均为 2 3 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比 赛进行了三局的概率为( ) A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为 2221212220 3333333327 ， 其中比赛进行了 3 局的概率为 2121228 33333327 ， 所求概率为 8202 27275 ， 故

19、选：B 9 （5 分）函数 22 11 ( )sin 4 f xxx x 在区间 2，2 上的大致图象为( ) A B 第 9 页（共 22 页） C D 【解答】 解： 根据题意， 22 11 ( )sin 4 f xxx x ， 则()( )fxf x， 即函数( )f x为偶函数， 排除A、D； 当 3 2 x 时， 22 3341 ()()0 2294 f ，排除B； 故选：C 10 （5 分）以双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于双 曲线C的一个焦点( ,0)F c，与y轴交于P，Q两点，若 2 3 | 3 PQc，则双曲线C的

20、离心 率是( ) A3 B5 C2 D2 【解答】解：由题意可设( ,0)F c， MFx轴，可设( , )M c n，0n ， 设xc，代入双曲线的方程可得 22 2 1 cb yb aa ， 即有 2 ( ,) b M c a ， 可得圆的圆心为M，半径为 2 b a ， 即有M到y轴的距离为c， 可得 4 2 2 2 3 | 2 3 b PQcc a ， 化简可得 422 34ba c， 由 222 cab，可得 4224 31030cc aa， 由 c e a ，可得 42 31030ee， 解得 2 1 3(3e 舍去） ， 即有3e 第 10 页（共 22 页） 故选：A 11（5

21、 分） 如图， 点P在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动(P点异于B、 1 C点） ， 则下列四个结论： 三棱锥 1 AD PC的体积不变： 1 / /AP平面 1: ACD 1 DPBC； 平面 1 PDB 平面 1 ACD 其中正确结论的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：对于，由题意知 11 / /ADBC，从而 1/ / BC平面 1 ADC， 故 1 BC上任意一点到平面 1 ADC的距离均相等， 所以以P为顶点，平面 1 ADC为底面，则三棱锥 1 AD PC的体积不变，故正确； 对于，连接 1 AB， 11 AC， 111

22、 / /ACAD且相等，由于知： 11 / /ADBC， 所以 11/ / BAC面 1 ACD，从而由线面平行的定义可得，故正确； 对于，由于DC 平面 11 BCBC，所以 1 DCBC， 若 1 DPBC，则 1 BC 平面DCP， 1 BCPC，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误； 对于，连接 1 DB，由 1 DBAC且 11 DBAD， 可得 1 DB 面 1 ACD，从而由面面垂直的判定知，故正确 故选：C 第 11 页（共 22 页） 12 （5 分）若x，a，b均为任意实数，且 22 (2)(3)1ab，则 22 ()()xalnxb的最 小值为( ) A3 2 B18 C3

23、 21 D196 2 【解答】解： 22 (2)(3)1ab， 可得( , )a b在( 2,3)为圆心，1 为半径r的圆上， 22 ()()xalnxb表示点( , )a b与点( ,)x lnx的距离的平方， 设过切点( ,)m lnm的切线与过( 2,3)的法线垂直， 可得 3 1 1 2 lnm mm ， 即有 2 23lnmmm， 由 2 ( )2f mlnmmm在0m 递增，且f（1）3， 可得切点为(1,0)， 圆心与切点的距离为 22 (12)(03)3 2d ， 可得 22 ()()xalnxb的最小值为 2 (3 21)196 2， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题

24、：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，分， 13 （5 分）已知x与y之间的一组数据： x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得关于y与x的线性回归方程1.20.55yx，则a的值为 2.15 【解答】解：3x ，2ya， 将(3,2)a 带入方程得： 第 12 页（共 22 页） 23.60.55a ，解得：2.15a ， 故答案为：2.15 14 （5 分）已知F是抛物线 2 :8C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点 N若M为FN的中点，则|FN 6 【解答】解：抛物线 2 :8C yx的焦点(2,0)F，M是C上一点，FM的延长

25、线交y轴于点 N若M为FN的中点， 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：2 2， 22 | 2| 2 (12)( 2 20)6FNFM 故答案为：6 15 （5 分）已知四棱锥SABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球 面上，则球O的表面积等于 121 5 【解答】解：根据四棱锥SABCD的三视图，把四棱锥SABCD补成长方体，点S是所 在棱的中点， 设长方体的上下底面的对角线的交点分别为 1 O， 2 O， 所 以 四 棱 锥SABCD的 外 接 球 的 球 心O在 线 段 12 OO上 ， 如 图 所 示 ： 第 13 页（共 22 页） ， 由三视图的数据可知：4AB

26、 ，2 2BC ，3SC ， 长方体的高 22 12 325OO ， 22 2 11 4(2 2)6 22 COAC， 1 1 2 2 SOBC， 设四棱锥SABCD的外接球的半径为R， 在 1 Rt SOO中： 2 1 2OOR，在 2 Rt COO中： 2 2 6OOR， 22 12 265OORR， 化简得： 2 121 20 R ， 球O的表面积为： 2 121 4 5 R， 故答案为：121 5 16 （5 分）记数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 4a ， 1 29(2) nn aan ，若对任意的正 偶数k，(3 ) 4 k Sk恒成立，则实数的最小值为 8 【解答】解：

27、数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 4a ， 1 29(2) nn aan 则： 1 1 3(3) 2 nn aa ， 所以数列3 n a 是以 1 31a 为首项， 1 2 为公比的等比数列 所以 1 1 3() 2 n n a ，整理得 1 1 3() 2 n n a ， 所以 1 1() 2 3 1 1() 2 n n Sn ， 第 14 页（共 22 页） 所以 21 31() 0 32 n n Sn ， 故对于任意的正偶数n， 21 1( ) 4 32 n ，恒成立 等价于 6 1 1( ) 2 n ，对于任意的正偶数n恒成立 由于 2 113 1( )1( ) 224 n

28、， 所以 6 08 1 1( ) 2 n ， 所以，只需满足8 故答案为：8 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，题，.每个试题学生都必须作答第每个试题学生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分. 17 （12 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c ，且 1 sin() cos 64 CC （1）求角C的大小； （2）若向量(1,sin)mA与(2,sin)nB共

29、线，求ABC的周长 【解答】解： （1） 1 sin() cos 64 CC ， 311 (sincos) cos 224 CCC， 3111 sin2cos2 4444 CC， sin(2)1 6 C ， 22, 62 CkkZ ， , 3 CkkZ ， 又C为ABC的内角， 3 C ； （2）向量(1,sin)mA与(2,sin)nB共线， sin2sin0BA， 第 15 页（共 22 页） 由正弦定理可知，2ba， 由（1）结合余弦定理可知， 222 2coscababC，即 222 1 944 2 aaa， 3,2 3ab， ABC的周长为33 3 18 （12 分）如图，在四面体A

30、BCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点， 90ABDBCD ，2EC 2ABBD （1）证明：平面EFC 平面BCD； （2）若二面角DABC为45，求二面角ACEB的余弦值 【解答】解： （1）证明：E，F分别是线段AD，BD的中点，2ABBD， 1EFFD，且/ /EFAB， 90ABD， 90EFD， 2EDAE， 又2EC ， ACCD， 又90BCD，即CDBC， 又ACBCC，且AC，BC均在平面ABC内， CD平面ABC， CDAB， 又ABBD，CDBDD，且CD，BD均在平面BCD内， AB平面BCD， EF平面BCD， 第 16 页（共 22 页） 又EF在平面EFC内

31、， 平面EFC 平面BCD； （2）由（1）可知，DBC为二面角DABC的平面角，即45DBC， 过点B作/ /BBCD，如图，以B为坐标原点，BB，BD，BA分别为x轴，y轴，z轴建 立空间直角坐标系， 则(0A，0，2)，(0B，0，0)，(0D，2，0)，(1C，1，0)，(0E，1，1)， (0,1, 1),( 1,0,1)AECE ，(1,1,0)BC ， 设平面ACE的一个法向量为( , , )mx y z，则 0 0 m AEyz m CExz ，可取(1,1,1)m ； 设平面BCE的一个法向量为( , , )na b c，则 0 0 n BCab n CEac ，可取(1,

32、1,1)n ； 如图可设二面角ACEB的平面角为锐角，则 11 cos|cos,| 333 m n， 即二面角ACEB的余弦值为 1 3 19 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 1 F、 2 F为椭圆C左右焦点，B为短轴端点， 且 12 4 BF F S，离心率为 2 2 ，O为坐标原点 （）求椭圆C的方程； （） 是否存在圆心在原点的圆， 使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N， 且满足| |OMONOMON？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由 【解答】解： （）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 由题意可得， 第 17

33、页（共 22 页） 1 2 1 24 2 BF F Sc b， 2 2 c e a ，且 222 abc； 联立解得， 2 2 8 4 a b ； 故椭圆C的方程为 22 1 84 xy ； （）假设存在圆心在原点的圆 222 xyr， 使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N， | |OMONOMON， 0OM ON ； 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为ykxm， 解方程组 22 1 84 ykxm xy 得， 222 (12)4280kxkmxm， 则 22222 (4)4(12)(28)8(84)0kmkmkm；

34、即 22 840km； 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 28 12 m x x k ； 22 22 12121212 2 8 ()()() 12 mk y ykxm kxmk x xkm xxm k ； 要使0OM ON ， 故 1212 0x xy y； 即 222 22 288 0 1212 mmk kk ； 所以 22 3880mk， 所以 2 38 0m 且 22 840km； 解得 2 6 3 m或 2 6 3 m； 因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线， 第 18 页（共 22 页） 所以圆的半径为 2 | 1 m r k ， 2 2 2 22 8 (1

35、) 8 3 113 k m r kk ； 故 2 6 3 r ； 即所求圆的方程为 22 8 3 xy； 此时圆的切线ykxm都满足 2 6 3 m或 2 6 3 m； 而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 6 ( 3 ， 2 6 ) 3 ， 2 6 ( 3 ， 2 6 ) 3 ； 满足0OM ON ， 综上所述，存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy满足条件 20 （12 分）已知函数 2 1 ( )(1)(2)(0) 2 x f xa xxea （1）讨论函数( )f x的单调性： （2）若关于x的方程 1 ( )0 2 f xa存在

36、 3 个不相等的实数根，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）( )(1)(1)(1)() xx fxa xxexea ， 0a ，由( )0fx可得1x 或xlna， ( ) i当0ae时，1lna， 在(1,)，(,)lna上，( )0fx，( )f x单调递增，在(,1)lna上，( )0fx，( )f x单调递 减； ( )ii当ae时，1lne ，( )0fx在R上恒成立，即( )f x在R上单调递增； ()iii当ae时，1lna ， 在(,)lna ，(,1)上，( )0fx，( )f x单调递增，在(1,)lna上，( )0fx，( )f x单调递 减； （2） 2 111

37、( )(2)(2)()0 222 xx f xaaxaxxexeax 有 3 个实数根， 2x 显然是方程的一个解，故 1 0 2 x eax有 2 个实数根且0x ，2x ， 即 2 (2) x e ax x ， 令 2 ( )(2) x e g xx x ，则 2 2(1) ( ) x ex g x x ， 第 19 页（共 22 页） 当(,0)x ，(0,1)时，( )0g x，( )g x单调递减，当(1,2)，(2,)，( )0g x，( )g x单 调递增， 当0x 时，( )0g x ，1x 时，( )g x取得极小值，g（1）2e， 又g（2） 2 e，则 2 2eae或 2

38、 ae 21（12 分） 某医院为筛查某种疾病， 需要检验血液是否为阳性， 现有(*)n nN份血液样本， 有以下两种检验方式： 逐份检验， 则需要检验n次： 混合检验， 将其中(*k kN且2)k 份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这 k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份 为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k 次假设在接受 检验的血液样本中， 每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结 果的概率为(01)pp （1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份

39、样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中(*k kN且2)k份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次 数为 1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 ( ) i若 12 EE，试求p关于k的函数关系式( ):pf k ( )ii若 1 4 1pe ，试讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：20.69ln ，31.10ln ，51.61ln ，2.72e ， 2 7.39e ， 3 20.09e 【解答】解： （1）记恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件， 第 20 页（共 22 页） 则P（A

40、） 2 2 2 5 1 10 A A （2） 1 ( ) ( )i Ek， 2 的取值为 1，1k ， 计算 2 (1)(1)kPp， 2 (1)1(1)kPkp ， 所以 2 ()(1)(1)(1(1) )1(1) kkk Epkpkkp ， 由 12 ( )()EE，得1(1)kkkkp ，所以 1 * 1 1( ) ( k pkN k 且2)k 1 4 ( )1ii pe ， 4 2 ()1 k Ekke ，所以 4 1 k kkek ，即0 4 k lnk 设( ) 4 x f xlnx， 114 ( ) 44 x fx xx ，0x ， 当(0,4)x时，( )0fx，( )f x在

41、(0,4)上单调递增； 当(4,)x时，( )0fx，( )f x在(4,)上单调递减 且f（8）823 220lnln， 99 (9)92 30 44 flnln， 所以k的最大值为 8； 所以2k，8时，混合检验方式好，9k，)时，逐份检验方式好； （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22.23 题中任选题中任选-一题作答如果多做，则按所做的第一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线C的参数方程为 2 2 ( xt t yt 为参数） ，以原点O为极点，x轴的非负半 轴为极

42、轴建立极坐标系，过极点的两射线 1 l， 2 l相互垂直，与曲线C分别相交于A，B两点 （不同于点)O，且 1 l的倾斜角为锐角 （1）求曲线C和射线 2 1的极坐标方程； （2）求OAB的面积的最小值，并求此时的值 【解答】解： （1）由曲线C的参数方程为 2 2xt yt ，(t为参数） ，得普通方程为 2 4yx， 由cosx，siny，得 22 4 sincos， 所以曲线C的极坐标方程为 2 cos4sin，或 2 4sin cos 过极点的两射线 1 l、 2 l相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点)O， 且 1 l的倾斜角为锐角 第 21 页（共 22 页） 故 2

43、l的极坐标方程为 2 ； （5 分） （2）依题意设(, ), (,) 2 AB AB ，则由（1）可得 2 4sin cos A ， 同理得 2 4sin() 2 cos () 2 B ，即 2 4cos sin B ， （7 分） 22 118|sincos| | | 22cossin OABAB SOAOB 0 2 ，0， 816 16 cossinsin2 OAB S ， （9 分） OAB的面积的最小值为 16，此时sin21， 得2 2 ， 4 （10 分） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |f xxax，aR （）若f （1）f（2）5，求a的取值范围； （）若a，*bN，关于x的不等式( )f xb的解集为 3 (, ) 2 ，求a，b的值 【解答】解： （）由f（1）f（2）5得|1|2| 2aa， 当2a时，122aa ，解得： 5