2020年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）年福建省福州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数z对应的点与1i对应的点关于实轴对称，则( z i ) A1i B1i C1i D1i 2 （5 分）已知集合( , )|20Ax yxy，( , )|10Bx yxmy 若AB ，则实 数(m ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 3 （5 分）已知两个单位

2、向量 12 ,e e，若 121 (2)eee，则 12 ,e e的夹角为( ) A 2 3 B 3 C 4 D 6 4 （5 分）一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以(0)a a 得到一 组新数据，则下列说法正确的是( ) A这组新数据的平均数为m B这组新数据的平均数为am C这组新数据的方差为an D这组新数据的标准差为a n 5 （5 分）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且，m， l，则“ml”是“m”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）若 21 33 3 1 ( 2) ,log,( )ab

3、e c e ，则( ) Aabc Bcab Cacb Dcba 7 （5 分）若tan()3cos() 2 ，则cos2( ) A1 B 7 9 C0 或 7 9 D1或 7 9 8 （5 分）抛物线 2 :2C yx的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点， 当FPM为等边三角形时，其周长为( ) A2 B2 C3 2 D6 第 2 页（共 19 页） 9（5分） 在同一平面直角坐标系中， 画出三个函数( )sin2cos2f xxx，( )sin(2) 5 g xx ， ( )cos() 7 h xx 的部分图象如图所示，则( ) Aa为( )f x，b为( )g x，c为(

4、)h x Ba为( )h x，b为( )f x，c为( )g x Ca为( )g x，b为( )f x，c为( )h x Da为( )h x，b为( )g x，c为( )f x 10 （5 分）射线测厚技术原理公式为 0 t II e ，其中 0 I，I分别为射线穿过被测物前后的 强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸 收系数工业上通常用镅 241 241()Am低能射线测量钢板的厚度若这种射线对钢板的半价 层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为( ) （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，20.6931ln ，

5、结果精 确到0.001) A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为20xy，A，B分 别是C的左、右顶点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为 1 k， 2 k， 若 1 12k剟，则 2 k的取值范围为( ) A 1 1 , 8 4 B 1 1 , 4 2 C 11 , 48 D 11 , 24 12 （5 分）在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，ABAC，6AB ，8AC ，D是线 段AC上一点，且3ADDC三棱锥PABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O 的

6、截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16，则球O的表面积为( ) A72 B86 C112 D128 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）曲线( )sinf xxx在点( ,0)处的切线方程为 14 （5 分）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机 构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另 两个顶点间作一段弧， 三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形 如图中的两个勒洛三角形， 它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点

7、取自 第 3 页（共 19 页） 小勒洛三角形内的概率为 15 （5 分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若cos (sincos )cosACCB， 2a ，2c ，则角C大小为 16 （5 分）已知函数(1)f x是定义在R上的偶函数 1 x， 2 1x ，)，且 12 xx，都 有 1221 () ()( )0xxf xf x，则不等式 1 ( 21) x ff （5）的解集为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分 17 （12 分）已知数列 n a满足 1 2a ， 1 (1)2 (1) nn nanan n ，设 n n a b n （

8、1）求数列 n b的通项公式； （2）若2 n b n cn，求数列 n c的前n项和 18 （12 分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛 活动现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100， 得到如图所示的频率分布直方图 （1）求a的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表） ； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ，比赛成绩低于 80 分为

9、“非优秀” 请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成 绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 第 4 页（共 19 页） 参考公式及数据： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）在底面为菱形的四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2ABAA， 11 ABAD， 60BAD，ACBDO，AO 平面 1 ABD （1）证明： 1 /

10、 /BC平面 1 ABD； （2）求二面角 1 BAAD的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，以C的短轴为直径的圆与 直线:3450lxy相切 （1）求C的方程； （2） 直线yxm交椭圆C于 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y两点， 且 12 xx 已知l上存在点P， 使得PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形若P在直线MN右下方，求m的值 21 （12 分）已知函数 4 ( ), ( ) 2 exxa f xlnax g x x ， （1）求函数( )f x的极值点； （2）当0a 时，当函数( )( )(

11、 )h xf xg x恰有三个不同的零点，求实数a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 第 5 页（共 19 页） 22 （10 分）已知直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3,(xt t yt 为参数） 以O为 极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方

12、程为 2 12 cos （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知0a ，0b ，0c ，且2abc （1）求 2 abc的取值范围； （2）求证： 149 18 abc 第 6 页（共 19 页） 2020 年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）年福建省福州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选

13、项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数z对应的点与1i对应的点关于实轴对称，则( z i ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解：由题意，1zi ， 则 2 1(1)() 1 ziii i iii ， 故选：C 2 （5 分）已知集合( , )|20Ax yxy，( , )|10Bx yxmy 若AB ，则实 数(m ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 【解答】解：因为AB ，所以直线20xy与直线10xmy 平行，所以 1 2 m ， 故选：C 3 （5 分）已知两个单位向量 12 ,e e，若 121 (2)eee，则 12 ,e e的夹角

14、为( ) A 2 3 B 3 C 4 D 6 【解答】解：由题意得，两个单位向量 12 ,e e， 因为 121 (2)eee，所以 121 (2)0eee，所以 2 112 21ee e， 所以 1 cose， 12 2 12 1 2| e e e ee ， 又因为 1 e， 2 0e ，所以 1 e， 2 3 e ， 故选：B 4 （5 分）一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以(0)a a 得到一 组新数据，则下列说法正确的是( ) A这组新数据的平均数为m B这组新数据的平均数为am C这组新数据的方差为an D这组新数据的标准差为a n 第 7 页（共 19 页）

15、【解答】解：一组数据的平均数为m，方差为n， 将这组数据的每个数都乘以(0)a a ，得到一组新数据， 则这组新数据的平均数为am， 方差为 2 a n，标准差为a n 故选：D 5 （5 分）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且，m， l，则“ml”是“m”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由，m，l，ml，利用面面垂直的性质可得m； 由，m，l，m，利用面面垂直的性质可得ml ，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且，m，l，则 “ml”是“m”的充要条件 故选：C 6 （5 分）若 21 33 3 1 ( 2

16、) ,log,( )abe c e ，则( ) Aabc Bcab Cacb Dcba 【解答】解： 21 0 33 ( 2)221a ， 111 333 1 ( )2cea e ， 所以1ac， 33 loglog 31be，故cab 故选：B 7 （5 分）若tan()3cos() 2 ，则cos2( ) A1 B 7 9 C0 或 7 9 D1或 7 9 【解答】解：由tan()3cos() 2 ，得 sin() 2 3cos cos() 2 ， 所以 cos 3cos sin ， 所以cos0或 1 sin 3 ， 第 8 页（共 19 页） 故 2 cos22cos11 ，或 2 7

17、 cos212sin 9 故选：D 8 （5 分）抛物线 2 :2C yx的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点， 当FPM为等边三角形时，其周长为( ) A2 B2 C3 2 D6 【解答】解：如图所示： FPM为等边三角形，PM垂直于抛物线C的准线于M，且60MFO， | 4|PMOF，又 1 | 2 OF ， | 2PM， 所以FPM的周长为326， 故选：D 9（5分） 在同一平面直角坐标系中， 画出三个函数( )sin2cos2f xxx，( )sin(2) 5 g xx ， ( )cos() 7 h xx 的部分图象如图所示，则( ) Aa为( )f x，b为( )g

18、 x，c为( )h x Ba为( )h x，b为( )f x，c为( )g x Ca为( )g x，b为( )f x，c为( )h x Da为( )h x，b为( )g x，c为( )f x 【解答】解：( )2sin(2) 4 f xx ，( )g x，( )h x的最大值分别为2，1，1，由于图象a的 最大值最大，故a为( )f x； ( )g x，( )h x的最小正周期分别为，2， 图象b的最小正周期比c小， 故b为( )g x，c为( )h x， 故选：A 10 （5 分）射线测厚技术原理公式为 0 t II e ，其中 0 I，I分别为射线穿过被测物前后的 第 9 页（共 19 页

19、） 强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸 收系数工业上通常用镅 241 241()Am低能射线测量钢板的厚度若这种射线对钢板的半价 层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为( ) （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，20.6931ln ，结果精 确到0.001) A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 【解答】解：由题意可得， 7.6 0.8 1 1 2 e ， 27.6 0.8ln ， 即6.080.6931，则0.114 这种射线的吸收系数为 0.114 故选：C 11 （5 分）已知双曲线

20、 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为20xy，A，B分 别是C的左、右顶点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为 1 k， 2 k， 若 1 12k剟，则 2 k的取值范围为( ) A 1 1 , 8 4 B 1 1 , 4 2 C 11 , 48 D 11 , 24 【解答】解：依题意， 1 2 b a ，则双曲线的方程为： 22 22 1 4 xy bb ，则( 2 ,0)Ab，(2 ,0)Bb， 设 0 (M x， 0) y，则 22 00 22 1 4 xy bb ， 所以 2 2 0 2 2 000 12 2222 0000 (1) 1

21、 4 22444 x b yyy b k k xb xbxbxb ，因为 1 1k ，2， 所以 2 1 11 1 , 48 4 k k ， 故选：A 12 （5 分）在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，ABAC，6AB ，8AC ，D是线 段AC上一点，且3ADDC三棱锥PABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16，则球O的表面积为( ) A72 B86 C112 D128 【解答】解：将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O设 三角形ABC的中心为 O ， 第 10 页（共 19 页） 设外接球的半径为R，球心

22、O到平面ABC的距离为x，即OOx ，连接O A，则5O A， 22 25Rr， 在三角形ABC中，取AC的中点E，连接O D，O E，则 1 3 2 OEAB， 1 2 4 DEAC， 13O D， 在RtOO D中， 2 13ODr，由题意得当截面与直线OD垂直时，截面面积最小， 设此时截面半径为r，则 22222 25(13)12rRODxx， 所以截面圆的面积为 2 12r， 当截面过球心时，截面圆的面积最大为 2 R， 2 1216R， 所以 2 28R ， 所以表面积 2 4112SR， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.

23、13 （5 分）曲线( )sinf xxx在点( ,0)处的切线方程为 2 yx 【解答】解：求导数可得( )sincosfxxxx， x时，( )f ， 又( )0f， 曲线( )sinf xxx在点(，( )f处的切线方程为()yx ，即 2 yx 故答案为： 2 yx 14 （5 分）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机 构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另 两个顶点间作一段弧， 三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形 如图中的两个勒洛三角形， 第 11 页（共 19 页） 它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，

24、若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自 小勒洛三角形内的概率为 1 9 【解答】解：设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a， 则小勒洛三角形的面积 22 2 1 3(3) 32 642 aa Sa ， 因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3， 所以大勒洛三角形的面积 22 2 (3)(3 )9(3) 22 aa S ， 若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率 1 2 1 9 S P S 故答案为： 1 9 15 （5 分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若cos (sincos )cosACCB， 2a ，2c ，则角C

25、大小为 6 【解答】解：因为cos (sincos)cosACCB，所以cos (sincos)cos()ACCAC ， 所以cossinsinsinACAC，所以sin(cossin )0CAA， 因为(0, )C，sin0C，所以cossinAA，则tan1A ，所以 4 A ， 又 2 sinsin a AC ，则 1 sin 2 C ，因为ca，所以0 4 C ，故 6 C 故答案为： 6 16 （5 分）已知函数(1)f x是定义在R上的偶函数 1 x， 2 1x ，)，且 12 xx，都 有 1221 () ()( )0xxf xf x，则不等式 1 ( 21) x ff （5）的

26、解集为 (,1) 【解答】解：因为函数(1)f x是定义在R上的偶函数，所以(1)f x关于y轴对称， 由( )yf x向左平移 1 个单位得到(1)f x，所以( )yf x关于直线1x 对称， 1 x， 2 1x ，)，且 12 xx，都有 1221 () ()( )0xxf xf x， ( )yf x在1，)上单调递增， 第 12 页（共 19 页） ( )yf x在(,1)上单调递减， 1 ( 21) x ff （5） ，且f（5）( 3)f， 1 21 1 x ， 1 213 x ， 1 24 x ，解得1x ， 原不等式的解集为(,1) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5

27、 小题，共小题，共 70 分分 17 （12 分）已知数列 n a满足 1 2a ， 1 (1)2 (1) nn nanan n ，设 n n a b n （1）求数列 n b的通项公式； （2）若2 n b n cn，求数列 n c的前n项和 【解答】解： （1）依题意，由 n n a b n 可得， nn anb 1 (1)2 (1) nn nanan n ， 1 (1)(1)2 (1) nn n nbnnbn n ， 即 1 2 nn bb ， 又 11 2ba， 数列 n b是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列 22(1)2 n bnn （2）由（1）知， 2 24 nn n c

28、nn， 设数列 n c的前n项和为 n S，则 12 (41)(42)(4) n n Sn 12 (444 )(12) n n 444(1) 142 n nn 12 44 323 n nn 18 （12 分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛 活动现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100， 得到如图所示的频率分布直方图 （1）求a的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表） ；

29、第 13 页（共 19 页） （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ，比赛成绩低于 80 分为“非优秀” 请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成 绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由题可得(0.0050.0100.0200.0300.

30、010) 101a， 解得0.025a 450.05550.1650.2750.3850.25950.174， 估计这 100 名学生的平均成绩为 74； （2） 由 （1） 知， 在抽取的 100 名学生中， 比赛成绩优秀的有100 (0.250.1)100 0.3535 人， 由此可得完整的22列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65 100 2 K的观测值 2 100(10252540)900 9.8906.635 3565 505091 k ， 第 14 页（共 19 页） 有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 19 （

31、12 分）在底面为菱形的四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2ABAA， 11 ABAD， 60BAD，ACBDO，AO 平面 1 ABD （1）证明： 1 / /BC平面 1 ABD； （2）求二面角 1 BAAD的正弦值 【解答】解： （1）依题意， 11/ / ABAB， 11 ABCAB，/ /ABCD，ABCD， 11 ABCD， 11/ / ABCD， 四边形 11 ABCD是平行四边形， 11 / /BCAD， 1 BC 平面 1 ABD， 1 AD 平面 1 ABD， 1 / /BC平面 1 ABD； （2）AO 平面 1 ABD， 1 AOAO， 11 ABAD且O

32、为BD的中点， 1 AOBD， AO、BD 平面ABCD，且AOBDO， 1 AO平面ABCD， 以O为原点，分别以 1 ,OA OB OA为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系Oxyz， 则( 3,0,0)A，(0B，1，0)，(0D，1，0)， 1(0 A，0，1)， 1 (3,0,1),(3,1,0),(3, 1,0)AAABAD ， 设平面 1 A AB的法向量为( , , )nx y z， 则 1 0 0 n AA n AB ， 30 30 xz xy ，取1x ，则(1, 3, 3)n ， 设平面 1 A AD的法向量为 111 ( ,)mx y z， 第 15

33、 页（共 19 页） 则 1 0 0 m AA m AD ， 30 30 xz xy ，取1x ，则(1,3, 3)m 11 cos, | |777 m n m n mn ， 设二面角 1 BAAD的平面角为，则 2 14 3 sin1( ) 77 ， 二面角 1 BAAD的正弦值为 4 3 7 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，以C的短轴为直径的圆与 直线:3450lxy相切 （1）求C的方程； （2） 直线yxm交椭圆C于 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y两点， 且 12 xx 已知l上存在点P， 使得PMN是

34、以PMN为顶角的等腰直角三角形若P在直线MN右下方，求m的值 【解答】解： （1）依题意， 22 |005| 1 34 b ， 离心率 22 6 3 cab e aa ， 2 16 3 a a ，解得3a ， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y； （2） 直线yxm的倾斜角为45，且PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN右下方，/ /NPx轴 过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点， 1 (Q x， 2) y，故 12 (2Pxx， 2) y， 122 3(2)450xxy， 即 122 3(2)4()50xxxm， 整理得 12 6450xxm 由 22 3

35、3xy yxm ，得 22 46330xmxm 22 3648480mm，解得22m ， 第 16 页（共 19 页） 12 3 2 xxm ， 2 12 3 (1) 4 x xm， 由得， 1 1 2 m x ， 将代入得 2 1xm ， 将代入得 3 (1)(1)(1)(1) 24 m mmm，解得1m 综上，m的值为1 21 （12 分）已知函数 4 ( ), ( ) 2 exxa f xlnax g x x ， （1）求函数( )f x的极值点； （2）当0a 时，当函数( )( )( )h xf xg x恰有三个不同的零点，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）因为( ) 2 ex

36、 f xlnax，所以( )1 2 x f xlnax， 所以 2111 ( ) 2 ax fxaa xxx ， 当0a时，( )0fx，所以函数( )f x无极值点； 当0a 时，令( )0fx，解得 1 x a 由 ( )0 0 fx x ，解得 1 0x a ；由 ( )0 0 fx x ，解得 1 x a 故函数( )f x有极大值点 1 a ，无极小值点 综上，当0a时，函数( )f x无极值点； 当0a 时，函数( )f x有极大值点 1 a ，无极小值点 （2）当0a 时， 4 ( )( )( )(0) 2 xa h xf xg xlnaxx x ， 所以 2 22 144 (

37、)(0) aaxxa h xax xxx ， 第 17 页（共 19 页） 设 2 ( )4k xaxxa ，则 2 1 16a ， 当 0 0a 即 1 4 a时，( ) 0h x，所以( )h x在(0,)单调递减， 所以( )h x不可能有三个不同的零点； 当 0 0a 即 1 0 4 a时，( )k x有两个零点 2 1 11 16 2 a x a ， 2 2 11 16 2 a x a ， 所以 1 0x ， 2 0x 又因为 2 ( )4k xaxxa 开口向下， 当 1 0xx时，( )0k x ，( )0h x，所以( )h x在 1 (0,)x上单调递减； 当 12 xxx时

38、，( )0k x ，( )0h x，所以( )h x在 1 (x， 2) x上单调递增； 当 2 xx时，( )0k x ，( )0h x，所以( )h x在 2 (x，)上单调递减 因为 4 (2)120 2 a hlna，又 12 4x x ，所以 12 2xx， 1 ( )h xh（2） 2 0()h x 3 222 2 11141 ()224 1 2 a hlnalnlnaa aaaa a ， 令 3 1 ( )224m alnlnaa a ， 则 4 2 222 21122112 ( )120 aaa m aa aaaa 所以m（a）在 1 (0, ) 4 单调递增， 所以 3 11

39、11 ( )( )22 ( )44( )3 240 44416 m amlnlnln ，即 2 1 ()0h a 由零点存在性定理知，( )h x在区间 2 2 1 (,)x a 上有唯一的一个零点 0 x 0 00 0000 0 441 444 ()()()0 4 22 xaa h xhlnaxlna xxxx x ， 又 0 ()0h x，所以 0 4 ()0h x 所以 1 0 4 0x x ，所以( )h x在区间 1 (0,)x上有唯一的一个零点 0 4 x ， 故当 1 0 4 a时，( )h x存在三个不同的零点 0 0 4 ,2,x x 故实数a的取值范围是 1 (0, ) 4

40、 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：坐 第 18 页（共 19 页） 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）已知直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3,(xt t yt 为参数） 以O为 极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos （1）写出 1 C的普通方程和 2

41、 C的直角坐标方程； （2）设点P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 【解答】解： （1） 1 C的普通方程为3xy ，即30xy 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 12xyx ，即 22 (1)2xy （2）由（1）知， 2 C是以(1,0)为圆心，半径2r 的圆， 圆心 2(1,0) C到 1 C的距离 |103| 2 22 2 d ， 所以直线 1 C与圆 2 C相离，P到曲线 1 C距离的最小值为2 222dr； 最大值2 223 2dr， 所以P到曲线 1 C距离的取值范围为 2,3 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知0a ，0b ，0c ，且2abc （1）求 2 abc的取值范围； （2）求证： 149 18 abc 【解答】解： （1）0a ，0b ，0c 且2abc， 20abc，02a， 222 17 (2)() 24 abcaaa， 22 7 2(22)4 4 abc， 2 abc的取值范围为 7 ,4) 4 （2）0a ，0b ，0c ， 1494949 ()()14 bacacb abc abcabacbc ， 4949 14222 bacacb a ba cbc 第 19 页（共 19 页） 142 42 92 3636， 当且仅当 12 ,1 33 abc时等号成立， 又2abc， 149 18 abc