2019年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 24 页） 2019 年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）年江西省新余市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）设集合1A ，2，4， 2 |410Bx xxm ，若1AB ，则(B ) A1，3 B1，0 C1，3 D1，5 2 （5 分）设i是虚数单位，若复数 12 ai i 为纯虚数，则实数a的值是( ) A 1 2 B0 C 1 2 D2 3 （5 分）已知命

2、题P：存在nR，使得 2 2 3 ( ) nn f xnx 是幂函数，且在(0,)上单调递增； 命题q： “xR ， 2 23xx”的否定是“xR ， 2 23xx” 则下列命题为真命题 的是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 4 （5 分）已知数列 n a是等比数列， 1 5a ， 23 200a a ，则 5 (a ) A100 B100 C80 D80 5 （5 分）已知( )f x是偶函数( )()f x xR的导函数，若0x时( )0fx，则( ) Af（1） 20202019 (log2019)( log2020)ff B 2020 (log2019)ff（1） 2019 (

3、log2020)f C 20192020 ( log2020)(log2019)fff（1） D 2019 ( log2020)ff（1） 2020 (log2019)f 6（5 分） 设 2 ( )2f xxx， 在区间0，1上随机产生 10000 个随机数， 构成 5000 个数对( i x， )(1 i yi ， 2，5000)， 记满足( )(1 ii f xy i ， 2，5000)的数对( i x，) i y的个数为X， 则X估计值约为( ) A3333 B3000 C2000 D1667 7 （5 分） 232019 (1)(1)(1)(1)xxxx的展开式中 3 x项的系数为(

4、 ) A2019 B2020 C 3 2019 C D 4 2020 C 第 2 页（共 24 页） 8 （5 分）已知曲线:cos(2) 3 C yx ，则下列结论正确的是( ) A把C向左平移 5 12 个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B把C向右平移 6 个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 C把C向左平移 3 个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D把C向右平移 12 个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 9 （5 分）已知某几何体的三视图（单位：)cm如图所示，则该几何体的体积是( ) A 3 3cm B 3 5cm C 3 4cm D 3 6cm 10 （5 分）如图是一个算法流程图，

5、若输入n的值是 13，输出S的值是 46，则a的取值范 围是( ) A910a B910a C1011a D89a 11 （5 分）如图，已知抛物线的方程为 2 2(0)xpy p，过点(0, 1)A作直线与抛物线相交 于P，Q两点， 点B的坐标为(0,1)， 连接BP，BQ， 设QB，BP与x轴分别相交于M， 第 3 页（共 24 页） N两点如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为3，则MBN的大小等于( ) A 2 B 4 C 2 3 D 3 12 （5 分）若0x 是函数 2 12 ( )() 221 x f xln x axx 的极大值点，则实数a的取值集合 为( ) A 1 6 B 1

6、2 C 1 2 ，) D(， 1 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分.请将正确答案填在答题卷相应位置请将正确答案填在答题卷相应位置.） 13 （5 分）设某总体是由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机 数表选取 6 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开始从左到右依次选取两个 数字，则选出来的第 6 个个体编号为 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 1526 6238 14 （5 分） 已知点(

7、 2,0)A ，点( , )M x y为平面区域 22 0 24 0 33 0 xy xy xy 上的一个动点， 则|AM的 最小值是 15 （5 分）在平行四边形ABCD中，| |ABADABAD，2,DEEC CFFB，且 6AE AF，则平行四边形ABCD的面积的最大值为 16（5 分） 在直四棱柱 1111 ABCDABC D， 中， 底面ABCD是边长为 1 的菱形， 且 3 ABC ， E，F分别为 1 BB上靠近点B和点 1 B的两个四等分点，线段EF（包括端点）上存在点P使 得 11 B DPC，则三棱锥 1 CBCD的外接球表面积的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本

8、大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 第 4 页（共 24 页） 骤）骤） 17 （12 分）已知数列 n a是递增的等差数列， 3 7a ，且 4 a是 1 a与 27 的等比中项 （1）求 n a； （2）若 1 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）2018 年 11 月 5 日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世 界上首次以进口为主题的国家级博览会本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资 展其中企业产品展分为 7 个展区，每个展区统计了备受关

9、注百分比，如表： 展区类型 智能及高端 装备 消费电子及 家电 汽车 服装服饰及 日用消费 品 食品及农 产品 医疗器械及 医药保健 服务贸 易 展区的企业 数（家) 400 60 70 650 1670 300 450 备受关注百 分比 25% 20% 10% 23% 18% 8% 24% 备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区 的企业数的比值 （） 从企业产品展 7 个展区的企业中随机选取 1 家， 求这家企业是选自 “智能及高端装备” 展区备受关注的企业的概率； （）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注 的企

10、业中，任选 2 家接受记者采访 () i记X为这 2 家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布 列； ( )ii假设表格中 7 个展区的备受关注百分比均提升10%记Y为这 2 家企业中来自于“消费 电子及家电”展区的企业数试比较随机变量X，Y的均值()E X和( )E Y的大小 （只需 写出结论） 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA 底面ABCD， 60ABC，3AB ，2 3AD ，3AP 第 5 页（共 24 页） （）求证：平面PCA 平面PCD； （）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45，求二面

11、角 EABD的余弦值 20 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，圆 22 :2O xy与x轴正半轴 交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2 2 （）求椭圆C的方程； （） 设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N， 试判断| |PMPN是否为定值？ 若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )(2) x f xa xlnx x ，aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求实数a的取值范围 选考题：请考生在第选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作

12、答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本（本 小题满分小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 1 C的极坐标方程是 24 4cos3sin ，以极点为原点O， 极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线 2 C的参数方 程为 cos ( sin x y 为参数） （1）求曲线 1 C的直角坐标方程与曲线 2 C的普通方程； （2）将曲线 2 C经过伸缩变换 2 2 2 xx yy 后得到曲线 3 C，若M，N分别是曲线 1 C和曲线 3 C

13、上的动点，求|MN的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 第 6 页（共 24 页） 23已知函数( ) |3|f xxm，0m ，(3) 0f x 的解集为(，22，) （1）求m的值； （2）若xR ， 2 3 ( )|21|1 2 f xxtt成立，求实数t的取值范围 第 7 页（共 24 页） 2019 年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）年江西省新余市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选

14、项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）设集合1A ，2，4， 2 |410Bx xxm ，若1AB ，则(B ) A1，3 B1，0 C1，3 D1，5 【解答】解：集合1A ，2，4， 2 |410Bx xxm ，1AB ， 1x是 2 410xxm 的解，1410m ， 解得4m ， 22 |410 |4301Bx xxmx xx ，3 故选：C 2 （5 分）设i是虚数单位，若复数 12 ai i 为纯虚数，则实数a的值是( ) A 1 2 B0 C 1 2 D2 【解答】解： ()(12 )(2)(21) 12(12 )

15、(12 )5 aiaiiaai iii 为纯虚数， 20 210 a a ，得2a 故选：D 3 （5 分）已知命题P：存在nR，使得 2 2 3 ( ) nn f xnx 是幂函数，且在(0,)上单调递增； 命题q： “xR ， 2 23xx”的否定是“xR ， 2 23xx” 则下列命题为真命题 的是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 【解答】解：对于命题p，当1n 时， 1 3 ( )f xx为幂函数，且在(0,)上单调递增，故p 是真命题，则p是假命题； 命题q： “xR ， 2 23xx”的否定是“xR ， 2 2 3xx ” ，故q是假命题，q是真 命题所以pq，pq ，pq

16、均为假命题，pq为真命题， 第 8 页（共 24 页） 故选：C 4 （5 分）已知数列 n a是等比数列， 1 5a ， 23 200a a ，则 5 (a ) A100 B100 C80 D80 【解答】解：设等比数列 n a的公比为q， 1 5a ， 23 200a a ， 23 5200q，解得2q 则 4 5 5280a 故选：C 5 （5 分）已知( )f x是偶函数( )()f x xR的导函数，若0x时( )0fx，则( ) Af（1） 20202019 (log2019)( log2020)ff B 2020 (log2019)ff（1） 2019 ( log2020)f C

17、 20192020 ( log2020)(log2019)fff（1） D 2019 ( log2020)ff（1） 2020 (log2019)f 【解答】解：( )f x是偶函数， 20192019 ( log2020)(log2020)ff 20192020 log20201log20190 ， 0x时( )0fx，( )f x在(0,)单调递增， 2019 (log2020)ff（1） 2020 (log2019)f 即 2019 ( log2020)ff（1） 2020 (log2019)f 故选：D 6（5 分） 设 2 ( )2f xxx， 在区间0，1上随机产生 10000 个

18、随机数， 构成 5000 个数对( i x， )(1 i yi ， 2，5000)， 记满足( )(1 ii f xy i ， 2，5000)的数对( i x，) i y的个数为X， 则X估计值约为( ) A3333 B3000 C2000 D1667 【解答】 解： 依题意， 满足( )(1 ii f xy i ， 2，5000)的概率即为在由0x ，1x ，0y ， 1y 围成的正方形中任取一点，该点落在阴影区域的概率， 第 9 页（共 24 页） 所以 1 2 0 (2) 2 13 xx dx P ， 所以，X估计值约为 2 50003333 3 ， 故选：A 7 （5 分） 23201

19、9 (1)(1)(1)(1)xxxx的展开式中 3 x项的系数为( ) A2019 B2020 C 3 2019 C D 4 2020 C 【解答】解： 20192020 232019 (1)1(1)1(1) (1)(1)(1)(1) 1(1) xxxx xxxx xx ， 故它的展开式中x项的系为 4 2020 C， 故选：D 8 （5 分）已知曲线:cos(2) 3 C yx ，则下列结论正确的是( ) A把C向左平移 5 12 个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B把C向右平移 6 个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 C把C向左平移 3 个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D把C向右平移

20、 12 个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 【解答】解：曲线:cos(2) 3 C yx ， 第 10 页（共 24 页） 对于A：向左平移 5 12 个单位长度， 5 cos2()cos(2)sin2 1232 yxxx ，其图象 关于原点对称，A对 对于B：向右平移 6 个单位长度， 2 cos2()cos(2) 633 yxx ，其图象没有关于y 轴对称，B不对 对于C：向左平移 3 个单位长度，cos2()cos(2) 333 yxx ，其图象没有关于原 点对称，C不对 对于D：向右平移 12 个单位长度，cos2()cos(2)sin2 1232 yxxx ，其图象关 于原点对称，D

21、不对 故选：A 9 （5 分）已知某几何体的三视图（单位：)cm如图所示，则该几何体的体积是( ) A 3 3cm B 3 5cm C 3 4cm D 3 6cm 【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的直四棱柱， 且四棱柱的底面如侧视图所示，可以分割为一个梯形和一个直角三角形（如图） ， 115 1 2121 222 S 底面 该四棱柱的体积为 5 25 2 VSh 四棱柱底面 故选：B 10 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入n的值是 13，输出S的值是 46，则a的取值范 第 11 页（共 24 页） 围是( ) A910a B910a C1011a D89a 【解答】解

22、：依次运行流程图，结果如下： 13n ，0S 满足判断框内的条件n a，13S ，12n 满足判断框内的条件n a，25S ，11n 满足判断框内的条件n a，36S ，10n 满足判断框内的条件n a，46S ，9n 此时，不满足判断框内的条件n a，退出循环， 所以a的取值范围是910a 故选：B 11 （5 分）如图，已知抛物线的方程为 2 2(0)xpy p，过点(0, 1)A作直线与抛物线相交 于P，Q两点， 点B的坐标为(0,1)， 连接BP，BQ， 设QB，BP与x轴分别相交于M， N两点如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为3，则MBN的大小等于( ) 第 12 页（共 24 页）

23、 A 2 B 4 C 2 3 D 3 【解答】解：设直线PQ的方程为：1ykx， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 由 2 1 2 ykx xpy 得 2 220xpkxp，0， 则 12 2xxpk， 12 2x xp， 1 1 1 BP y k x ， 2 2 1 BQ y k x ， 1212 1212 1122 BPBQ yykxkx kk xxxx 1212 12 22()222 2 0 2 kx xxxkppk x xp ，即0 BPBQ kk 又3 BPBQ kk ， 联立解得3 BP k，3 BQ k ， 所以 3 BNM ， 3 BMN ， 故 3 MB

24、NBNMBMN ， 故选：D 12 （5 分）若0x 是函数 2 12 ( )() 221 x f xln x axx 的极大值点，则实数a的取值集合 为( ) A 1 6 B 1 2 C 1 2 ，) D(， 1 2 【解答】解： 2 22 12(21)2 (41) ( ) 1 (21) 2 axxxax fx axx x ， 令( )0fx，即 22 48(61)0a xaxa， 若0x 是极大值点， (0)(61)0fa ，解得： 1 6 a ， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分.请将正确答案填在答题卷相应位置请将

25、正确答案填在答题卷相应位置.） 13 （5 分）设某总体是由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机 数表选取 6 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开始从左到右依次选取两个 第 13 页（共 24 页） 数字，则选出来的第 6 个个体编号为 19 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 1526 6238 【解答】解：选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开始从左到右依次选取两个数字， 则选出来的 6 个个体编号分别为： 18，07，17，16，09，19

26、， 选出来的第 6 个个体编号为 19 故答案为：19 14 （5 分） 已知点( 2,0)A ，点( , )M x y为平面区域 22 0 24 0 33 0 xy xy xy 上的一个动点， 则|AM的 最小值是 6 5 5 【 解 答 】 解 ： 画 出 不 等 式 组 22 0 24 0 33 0 xy xy xy 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 阴 影 所 示 ； 由图形知，点A到直线220xy的距离，是|AM的最小值， 求得 22 |2( 2)02|6 5 5 21 d 故答案为： 6 5 5 15 （5 分）在平行四边形ABCD中，| |ABADABAD，2,DEEC C

27、FFB，且 6AE AF，则平行四边形ABCD的面积的最大值为 9 3 【解答】解：在平行四边形ABCD中，| |ABADABAD， ACBD，四边形ABCD是矩形， 第 14 页（共 24 页） 2,DEEC CFFB，且6AE AF ， 2 () () 3 AE AFADDCABBF 21 () () 32 ADABABAD 2221 6 32 ABAD， 2 216 ( )9 322 AB AD，即9 3AB AD， 当且仅当 21 32 ABAD时取等号， 平行四边形ABCD的面积的最大值为9 3 故答案为：9 3 16（5 分） 在直四棱柱 1111 ABCDABC D， 中， 底面

28、ABCD是边长为 1 的菱形， 且 3 ABC ， E，F分别为 1 BB上靠近点B和点 1 B的两个四等分点，线段EF（包括端点）上存在点P使 得 11 B DPC，则三棱锥 1 CBCD的外接球表面积的最大值为 32 3 【解答】 解因为底面ABCD是边长为 1 的菱形， 且 3 ABC ， 三角形ACD为等边三角形， 取CD的中点M，连接AM，由题意可得AMCD，且 33 22 AMAB， 由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 分别以AB为x轴，AM为y轴， 1 AA为z轴， 以A 为坐标原点O，设 1 AAb，则由题意可得(0A，0，0)，(1B，0，0)， 1 (2C， 3 2 ，0

29、)， 1 ( 2 D ， 3 2 ，0)， 1(1 B，0，)b， 1 1 ( 2 C， 3 2 ，)b，(1P，0，)m， 由题意可得 13 44 b mb剟， 1 3 ( 2 B D ， 3 2 ，)b， 1 (0C P ， 3 2 ，)mb， 因为 11 B DPC，所以 11 0B D C P ， 第 15 页（共 24 页） 即 3 0()0 4 b mb，整理得： 2 4430bmb，可得 3 4 mb b ， 由上面可得： 31 44 33 44 bb b bb b ，即 2 2 1 0 3 0 b b ，解得：13b剟， 在BCD中，由题意可得：2sin603BDAB， 设底面

30、三角形BCD 的外接圆的半径为r，则22 sin120 BD r ，所以1r ， 由一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球的球心为中截面与过底面外接圆的圆心做底面的 垂线的交点， 设球的半径为R，则 222 37 ( )1 244 b Rr， 所以外接球的表面积 2 47SR， 所以外接球的表面积的最大值为7， 故 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤）骤） 17 （12 分）已知数列 n a是递增的等差数列， 3 7a ，且 4 a是 1 a与 27 的等比中项 （1

31、）求 n a； （2）若 1 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 第 16 页（共 24 页） 【解答】解： （1）数列 n a是递增的等差数列，设公差为d，0d ， 3 7a ，且 4 a是 1 a与 27 的等比中项， 可得 1 27ad， 2 41 27aa，即 2 11 (3 )27ada， 解得 1 3a ，2d ， 则32(1)21 n ann； （2） 1 111 ( 2321) 22123 n nn bnn aann ， 前n项和 1 ( 537521212321) 2 n Tnnnn 1 ( 233) 2 n 18 （12 分）2018 年 11 月

32、5 日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世 界上首次以进口为主题的国家级博览会本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资 展其中企业产品展分为 7 个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如表： 展区类型 智能及高端 装备 消费电子及 家电 汽车 服装服饰及 日用消费 品 食品及农 产品 医疗器械及 医药保健 服务贸 易 展区的企业 数（家) 400 60 70 650 1670 300 450 备受关注百 分比 25% 20% 10% 23% 18% 8% 24% 备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区 的企业数的比值 （） 从企业产品展

33、7 个展区的企业中随机选取 1 家， 求这家企业是选自 “智能及高端装备” 展区备受关注的企业的概率； （）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注 的企业中，任选 2 家接受记者采访 () i记X为这 2 家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布 列； 第 17 页（共 24 页） ( )ii假设表格中 7 个展区的备受关注百分比均提升10%记Y为这 2 家企业中来自于“消费 电子及家电”展区的企业数试比较随机变量X，Y的均值()E X和( )E Y的大小 （只需 写出结论） 【解答】解： （）7 个展区企业数共40060706501

34、6703004503600家， 其中备受关注的智能及高端装备企业共40025%100家， 设从各展区随机选 1 家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A， 所以P（A） 1001 360036 ；（4 分） （）消费电子及家电备受关注的企业有6020%12（家)， 医疗器械及医药保健备受关注的企业有3008%24（家)，共 36 家 X的可能取值为 0，1，2； 计算 2 24 2 36 46 (0) 105 C P X C ， 11 1224 2 36 16 (1) 35 CC P X C ， 2 12 2 36 11 (2) 105 C P X C ； 所以随机变量X的分布列为：

35、 P 0 1 2 X 46 105 16 35 11 105 （11 分） （）计算()E X，结合题意知()( )E XE Y （13 分） 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA 底面ABCD， 60ABC，3AB ，2 3AD ，3AP （）求证：平面PCA 平面PCD； （）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45，求二面角 EABD的余弦值 第 18 页（共 24 页） 【解答】证明： （）在平行四边形ABCD中，60ADC，3CD ，2 3AD ， 由余弦定理得 222 2cos12322 33cos609ACADCDAD

36、 CDADC， 222 ACCDAD，90ACD，CDAC， PA 底面ABCD，CD 底面ABCD，PACD， 又ACCDC，CD平面PCA， 又CD 平面PCD，平面PCA 平面PCD 解： （）E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45， 如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则(0A，0，0)，( 3B，0，0)，(0C，3，0)，(3D ，3，0)，(0P，0，3)， 设(E x，y，) z，PEPC，(01)剟，则(x，y，3)(0z，3，3)， (0E，3，33 )， 平面ABCD的一个法向量(0n ，0，1)， 22

37、|33 | sin45|cos,| 39(33 ) BE n ， 解得 1 3 ， 点E的坐标为(0，1，2)，(0AE ，1，2)，( 3,0,0)AB ， 设平面EAB的法向量(mx，y，) z， 则 30 20 m ABx m AEyz ，取1z ，得(0m ，2，1)， 设二面角EABD的平面角为， 则 |5 cos | |5 m n mn ， 第 19 页（共 24 页） 二面角EABD的余弦值为 5 5 20 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，圆 22 :2O xy与x轴正半轴 交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2

38、2 （）求椭圆C的方程； （） 设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N， 试判断| |PMPN是否为定值？ 若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 【解答】解： （）设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为 2 2 知，,2bc ab， 椭圆C的方程可设为 22 22 1 2 xy bb 易求得( 2,0)A，点( 2,2)在椭圆上， 22 22 1 2bb ， 解得 2 2 6 3 a b ，椭圆C的方程为 22 1 63 xy ； （）当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x ，由（） 知，( 2, 2),( 2,2)MN， ( 2, 2)OM ，( 2,2)O

39、N ，则0OM ON ，OMON 当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时， 可设切线的方程为ykxm， 1 (M x，1)y， 2 (N x， 2) y， 2 | 2 1 m k ，即 22 2(1)mk 联立直线和椭圆的方程得 22 2()6xkxm， 第 20 页（共 24 页） 222 (12)4260kxkmxm，得 222 12 2 2 12 2 (4)4(12)(26)0 4 21 26 21 kmkm km xx k m x x k 11 ( ,)OMx y， 22 (,)ONxy，OMON 12121212 ()()OM ONx xy yx xkxm kxm 2222222222

40、2 2222 1212 22222 264(1)(26)4(21)3663(22)66 (1)()(1)0 2121212121 mkmkmk mmkmkkk kx xkm xxmkkmm kkkkk ， 综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OMON 在Rt OMN中，由OMP与NOP相似得， 2 | | 2OPPMPN为定值 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )(2) x f xa xlnx x ，aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求实数a的取值范围 【解答】解： （1） 2 1 ( )(2) x f xa xlnx x ，函

41、数的定义域为(0,)， 2 233 212(2)(1) ( )(1) xax fxa xxxx ， ( ) i当0a时， 2 10ax 恒成立， 当02x时，( )0fx，函数( )f x在(0,2)上单调递增， 当2x 时，( )0fx，函数( )f x在(2,)单调递减， ( )ii当0a 时，令( )0fx，解得 1 2x ，或 2 a x a ， 3 a x a （舍去） ， 当 12 xx，即 1 4 a 时，( ) 0fx，函数( )f x在(0,)上单调递增， 当 12 xx，即 1 4 a 时， 当(0,) a x a ，(2,)时，( )0fx，函数( )f x在(0,) a

42、 a ，(2,)上单调递增， 当( a x a ，2)时，( )0fx，函数( )f x在( a a ，2)上单调递减， 当 12 xx，即 1 4 a 时， 第 21 页（共 24 页） 当(0,2)x，( a a ，)时，( )0fx，函数( )f x在(0,2)，( a a ，)单调递增， 当(2,) a x a 时，( )0fx，函数( )f x在(2,) a a 单调递减， 综上所述：当0a时，函数( )f x在(0,2)上单调递增，在(2,)单调递减， 当 1 0 4 a时，函数( )f x在(0,2)，( a a ，)上单调递增，在(2,) a a 上单调递减， 当 1 4 a

43、时，函数( )f x在(0,)上单调递增， 当 1 4 a 时，函数( )f x在(0,) a a ，(2,)上单调递增，在( a a ，2)上单调递减， （2）由（1）可知，当0a 时，函数( )f x在(0,2)上单调递增，在(2,)单调递减， f（1）0a， 取 0 1 xmax a ，5，令 1( ) 2f xxlnx， 2 1 ( )fx x ， 则 1 2 ( )10fx x 在(2,)成立， 故 1( ) 2f xxlnx单调递增， 10 () 52 512(25)1f xlnln ， 000 222 00000 11111 ()(2)0f xa xlnxa xxxxx 剟， 函数( )f x有两个零点等价于f（2） 1 (22 2)0 4 aln， 解得 1 0 8(12) a ln ， 当0a 时， 2 1 ( ) x f x x ，只有一个零点，不符合题意， 当 1 4 a 时，( )f x函数( )f x在(0,)上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意， 当0a 且 1 4 a 时，( )f x有两个极值， f（2） 1 (22 2)0 4 aln，()2 a faalnaa a ， 令( )2g xxxlnxx， 1 ( )g xlnx x ， 令 1 ( )h xlnx x