2020年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.） 1 （5 分）已知复数z满足(1)3i zi，则| (z ) A5 B3 C5 D3 2 （5 分）设UR， 2 |40Ax xx， |1Bx x，则()( U AB ) A |04xx B |14xx C |04xx D

2、 |14xx 3 （5 分）已知 0.3 2a ， 2 0.3b ， 0.3 log2c ，则( ) Abca Bbac Ccab Dcba 4 （5 分）函数 cos sin 2 x x y 的图象大致是( ) A B C D 5 （5 分）裴波那契数列()Fibonaccisequence又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多 裴 波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列” ，在数学上裴波那契数列被以下递推 方法定义：数列 n a满足： 12 1aa， 21nnn aaa ，现从该数列的前 40 项中随机抽取 一项，则能被 3 整除的概率是( ) A 1 4 B 1 3 C 1 2 D

3、 2 3 6 （5 分）将向量(1,1)OA 绕原点O顺时针方向旋转75得到OB，则(OB ) A 62 (,) 22 B 26 (,) 22 C 62 (,) 22 D 26 (,) 22 7 （5 分） 已知数列 n a满足 2* 12 222() n n aaan nN， 数列 221 1 loglog nn aa 的前n 项和为 n S，则 2019 (S ) 第 2 页（共 22 页） A 2019 2020 B 1 2019 C 1 2020 D 2018 2019 8 （5 分）已知函数( )f x在R上满足 2 (4)2 ( )25fxf xxx，则曲线( )yf x在点(2，

4、 f（2）)处的切线方程是( ) Ayx B4yx C38yx D512yx 9 （5 分）函数( )sin()(0) 6 f xx 在(,) 2 2 上单调递增，且图象关于x 对称， 则的值为( ) A 2 3 B 5 3 C2 D 8 3 10 （5 分）如图，半径为 6 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为 球的体积的 3 8 ，则这两个圆锥高之差的绝对值为( ) A2 B4 C6 D8 11 （5 分）已知函数 3 ( )| 2 f xln xa x有 4 个零点，则实数a的取值范围是( ) A 2 (0,)e B 2 (,)e C 1 2 (0,)e D 1 2 (

5、,)e 12 （5 分）如图， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c分别为双曲线 22 22 :1( ,0) xy a b ab 的左、右焦点，过 点 1 F作直线l，使直线l与圆 222 ()xcyr相切于点P，设直线l交双曲线的左右两支 分别于A、B两点(A、B位于线段 1 F P上） ，若 1 |:|:| 2:2:1F AABBP ，则双曲线的离 心率为( ) A5 B 265 5 C2 62 3 D2 63 第 3 页（共 22 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题分请在答题卷的相应区域答题

6、.） 13 （5 分）已知函数 2 1 ( )1,0 ( )2 2,0 x x f x xlnx x 则( ( 1)f f 14 （5 分）已知实数x，y满足约束条件： 0 4 0 1 xy xy y ，则 2 2 x y z 的最大值为 15 （5 分）函数 2 11yx与函数(2)yk x的图象有两个不同的公共点，则实数k的 取值范围是 16 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是AD的中点，动点P在 底面正方形ABCD内 （不包括边界） ， 若 1 / /B P平面 1 ABM， 则 1 C P长度的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大

7、题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请 在答题卷的相应区域答题在答题卷的相应区域答题.） 17（12 分） 已知在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且 s i ns i n s i ns i n CAb BA a c ， （1）求角C的大小； （2）若3c ，求ab的取值范围 18 （12 分）田忌赛马是史记中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公 子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军 制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的

8、上等马，用上 等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多 赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示： 田忌的马/获胜概率/ 公子的马 上等马 中等马 下等马 上等马 0.5 0.8 1 第 4 页（共 22 页） 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马 0 0.05 0.4 比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和 负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为 最终胜利者 （1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率； （2）如果比赛约定，只能同等级马对战

9、，每次比赛赌注 1000 金，即胜利者赢得对方 1000 金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望 19 （12 分）已知C是以AB为直径的圆周上一点， 3 ABC ，PA 平面ABC （1）求证：平面PAC 平面PBC； （2）若异面直线PB与AC所成的为 3 ，求二面角CPBA的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 2，过点 2 ( 1,) 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为F，定点(2,0)P，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B 两点，以线段AP为直径的圆与直线2x 的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过

10、一定点， 并求出该定点的坐标 21 （12 分）函数 2 1 ( )(1) 2 f xaxa xlnx （1）求( )f x的单调区间； （2） 在函数( )f x的图象上取 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两个不同的点， 令直线AB的斜率为k， 则在函数的图象上是否存在点 0 (P x， 0) y，且 12 0 2 xx x ，使得 0 ()kfx？若存在，求A， B两点的坐标，若不存在，说明理由 考生注意：请在第考生注意：请在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 作答时，请用作答时

11、，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 22 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，l是过定点(1,1)P且倾斜角为的直线以坐标原点O为 极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos （1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若曲线C与直线l相交于M，N两点，求|PMPN的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |21|2|f xxx （1）解不等式( )5f x ； （2）若 2 3 ( )3 2 f

12、 xaa恒成立，求a的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2020 年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.） 1 （5 分）已知复数z满足(1)3i zi，则| (z ) A5 B3 C5 D3 【解答】解：由(1)3i zi，得 3 1 i z i ， 3|3|

13、10 | |5 1|1|2 ii z ii 故选：C 2 （5 分）设UR， 2 |40Ax xx， |1Bx x，则()( U AB ) A |04xx B |14xx C |04xx D |14xx 【解答】解：集合 2 |40 |04Ax xxxx， UR， |1Bx x， |1 UB x x， () |14 U ABxx， 故选：D 3 （5 分）已知 0.3 2a ， 2 0.3b ， 0.3 log2c ，则( ) Abca Bbac Ccab Dcba 【解答】解： 0.30 221a ， 20 00.30.31b， 0.30.3 log2log10c ， cba 故选：D 4

14、（5 分）函数 cos sin 2 x x y 的图象大致是( ) 第 7 页（共 22 页） A B C D 【解答】 解： cos()cos sin()sin ()( ) 22 xx xx fxf x 则函数为奇函数， 图象关于原点对称， 排除A， B 当0x 在 0 的右侧，当0x ，( )0f x ，排除D， 故选：C 5 （5 分）裴波那契数列()Fibonaccisequence又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多 裴 波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列” ，在数学上裴波那契数列被以下递推 方法定义：数列 n a满足： 12 1aa， 21nnn aaa ，现从该数列的

15、前 40 项中随机抽取 一项，则能被 3 整除的概率是( ) A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列 n a满足： 12 1aa， 21nnn aaa ， 数列 n a的前 40 项为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181， 6765， 10946， 17711， 28657， 46368， 75025， 121393， 196418， 317811， 514229， 832040， 1346269， 2178309， 3524578， 57

16、02887， 9227465， 14930352， 24157817， 39088169， 63245986， 10334155， 其中能被 3 整除的有 10 个，分别为： 3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352 从该数列的前 40 项中随机抽取一项，则能被 3 整除的概率是 101 404 P 故选：A 6 （5 分）将向量(1,1)OA 绕原点O顺时针方向旋转75得到OB，则(OB ) 第 8 页（共 22 页） A 62 (,) 22 B 26 (,) 22 C 62 (,) 22 D 26 (,) 22 【解答】

17、解：将向量(1,1)OA 绕原点O顺时针方向旋转75得到OB， 设( , )OBx y，则 6 2cos( 30 ) 2 x ， 2 2sin( 30 ) 2 y 6 ( 2 OB ， 2 ) 2 故选：C 7 （5 分） 已知数列 n a满足 2* 12 222() n n aaan nN， 数列 221 1 loglog nn aa 的前n 项和为 n S，则 2019 (S ) A 2019 2020 B 1 2019 C 1 2020 D 2018 2019 【解答】解： 2 12 222n n aaan， 1n时， 1 21a ，解得 1 1 2 a ， 2n时， 21 121 22

18、21 n n aaan ， 两式相减，得：21 n n a ， 1 2 n n a ， 221 22 1 11111 11 (1)1 22 nn nn log a log an nnn loglog ， 数列 221 1 loglog nn aa 的前n项和： 11111111 (1)()()()1 22334111 n n S nnnn ， 2019 2019 2020 S 故选：A 8 （5 分）已知函数( )f x在R上满足 2 (4)2 ( )25fxf xxx，则曲线( )yf x在点(2， f（2）)处的切线方程是( ) Ayx B4yx C38yx D512yx 【解答】解： 2

19、 (4)2 ( )25fxf xxx， 把4x替换成x，得 22 ( )2 (4)2(4)5(4)2 (4)21112f xfxxxfxxx， 第 9 页（共 22 页） 代入，得 2 ( )274f xxx， ( )47fxx， f （2）1，f（2）81442 ， 故曲线( )yf x在点(2，f（2）)处的切线方程为(2)24yxx， 即4yx， 故选：B 9 （5 分）函数( )sin()(0) 6 f xx 在(,) 2 2 上单调递增，且图象关于x 对称， 则的值为( ) A 2 3 B 5 3 C2 D 8 3 【解答】解：要使函数( )sin()(0) 6 f xwxw 的递增

20、， 则22() 262 kxkkZ 剟，化简得： 222 () 33 kk xkZ 剟， 已知在(,) 2 2 单增，所以 2 32 32 ，故 2 0 3 剟， 又因为图象关于x 对称，() 62 xkkZ ，所以 1 3 k ， 因为0，此时1k ，所以 2 3 ， 故选：A 10 （5 分）如图，半径为 6 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为 球的体积的 3 8 ，则这两个圆锥高之差的绝对值为( ) A2 B4 C6 D8 【解答】 】解：设球的半径为R，圆锥底面半径为r，上面圆锥的高为h，则下面圆锥的高 为2Rh， 在 1 OOC中，有 222 ()RrRh，得 2

21、2 2rRhh 第 10 页（共 22 页） 两个圆锥体积和为 22 1 11 22(2) 33 VrRRRhh 球的体积 3 2 4 3 VR 由题意， 2 1 3 2 1 2(2) 3 3 4 8 3 RRhh V V R 所以 22 4830hRhR，即 2 R h 所以下面的圆锥的高为 3 2 R 则这两个圆锥高之差的绝对值为 3 |6 22 R RR 故选：C 11 （5 分）已知函数 3 ( )| 2 f xln xa x有 4 个零点，则实数a的取值范围是( ) A 2 (0,)e B 2 (,)e C 1 2 (0,)e D 1 2 (,)e 【解答】解：由题意，可知| 0x

22、， 令|tx，则0t 故 3 2 ylntat， 函数 3 ( )| 2 f xln xa x有 4 个零点， 3 2 ylntat有 2 个零点 即曲线ylnt与直线 3 2 yat有 2 个交点 根据题意，画图如下： 第 11 页（共 22 页） 则直线在 3 2 y 与直线 3 2 yat与曲线ylnt相切之间即有 2 个交点 当直线在 3 2 y 时，0a ； 当直线 3 2 yat与曲线ylnt相切时，设切点为 0 (t， 0) y 对于曲线 1 :ylnt y t ， 0 0 1 |t ty t 曲线ylnt在切点 0 (t， 0) y的切线方程为： 00 0 1 ()yytt t

23、 ， 整理，得 0 0 1 1ytlnt t ， 0 3 1 2 lnt ，解得 1 2 0 te 1 2 1 0 2 11 ae t e 实数a的取值范围为 1 2 (0,)e 故选：C 12 （5 分）如图， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c分别为双曲线 22 22 :1( ,0) xy a b ab 的左、右焦点，过 点 1 F作直线l，使直线l与圆 222 ()xcyr相切于点P，设直线l交双曲线的左右两支 分别于A、B两点(A、B位于线段 1 F P上） ，若 1 |:|:| 2:2:1F AABBP ，则双曲线的离 心率为( ) 第 12 页（共 22 页） A5 B 26

24、5 5 C2 62 3 D2 63 【解答】解：由 1 |:|:| 2:2:1F AABBP ，可设|BPt，| 2ABt， 1 | 2F At， 由双曲线的定义可得 21 | | 242F BFBata， 21 | | 222F AF Aata， 直线l与圆 222 ()xcyr相切于P，可得 2 |PFr，且 12 90FPF， 在直角三角形 2 PBF中， 222 (42 )trta， 在直角三角形 2 PAF中， 222 9(22 )trta， 上面两式消去r，可得 2 86 (42 )ttat， 即有 6 5 ta，可得 4 10 5 ra， 在直角三角形 12 FPF中，可得 22

25、2 254trc， 即为 222 160 364 25 aac， 化为 265 5 c e a 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题分请在答题卷的相应区域答题.） 第 13 页（共 22 页） 13 （5 分）已知函数 2 1 ( )1,0 ( )2 2,0 x x f x xlnx x 则( ( 1)f f 2 【解答】解：函数 2 1 ( )1,0 ( )2 2,0 x x f x xlnx x ， 1 1 ( 1)( )11 2 f ， ( ( 1)f ff（1） 2 2 112ln 故答案为

26、：2 14 （5 分）已知实数x，y满足约束条件： 0 4 0 1 xy xy y ，则 2 2 x y z 的最大值为 1 2 【解答】解：由实数x，y满足约束条件： 0 4 0 1 xy xy y ，作出可行域如图，则 2 2 x y z 的 最大值就是2uxy的最小值时取得 联立 0 1 xy y ，解得(1,1)A， 化目标函数2uxy 为2yxu， 由图可知， 当直线2yxu过A时， 直线在y轴上的截距最小， 此时z有最大值为 2 1 1 2 2 故答案为： 1 2 15 （5 分）函数 2 11yx与函数(2)yk x的图象有两个不同的公共点，则实数k的 取值范围是 4 ( 3 ，

27、1 第 14 页（共 22 页） 【解答】解：由题意，函数 2 11yx可变形为 22 (1)1xy 2 10x，11x 剟，而1y 函数 2 11yx的函数图象为圆 22 (1)1xy的上半部分 又函数(2)yk x表示过定点(2,0)的直线， 根据题意，画图如下： 图象有两个不同的公共点， 直线应在图中两条之间之间， 当直线经过点(1,1)时， 01 1 21 k ； 当直线与曲线相切时， 联立 2 (2) 11 yk x yx ， 整理，得 22 (1)2 (21)4 (1)0kxkkxk k， 222 4(21)4 (1) 4 (1)0kkkk k， 解得 4 3 k 实数k的取值范围

28、为： 4 ( 3 ，1 故答案为： 4 ( 3 ，1 16 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是AD的中点，动点P在 底面正方形ABCD内（不包括边界） ，若 1 / /B P平面 1 A BM，则 1 C P长度的取值范围是 第 15 页（共 22 页） 30 , 2) 5 【解答】解：取BC中点N，连结 1 B D， 1 B N，DN，作CODN，连结 1 C O， 平面 1 / /B DN平面 1 ABM， 点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点P在底面正方形ABCD内，不包括边界， 故不含点N和点)D， 在 1 C DN中， 1 2C D

29、， 22 1 15 1( ) 22 DNC N， 1 22 1526 2()() 2224 C DN S， 过 1 C ODN，则当P与O重合时， 1 C P长度取最小值， 1 C P长度的最小值为 1 6 30 4 215 22 C O ， 当P与D重合时， 1 C P长度取最大值， 1 C P长度的最大值为 1 2C D ， P与D不重合， 1 C P长度的取值范围是 30 5 ，2) 故答案为： 30 5 ，2) 第 16 页（共 22 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请分解答应写出文字说明、证明过程或演

30、算步骤请 在答题卷的相应区域答题在答题卷的相应区域答题.） 17（12 分） 已知在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且 s i ns i n s i ns i n CAb BA a c ， （1）求角C的大小； （2）若3c ，求ab的取值范围 【解答】解： （1）由 sinsin sinsin CAb BAac ， 则 cab baac ，可得： 222 abcab， 所以： 222 1 cos 222 abcab C abab ， 而(0, )C， 故 3 C （2）由 222 abcab，且3c ， 可得： 2 ()29ababab， 可得： 22 ()933() 2

31、 ab abab ， 可得： 2 ()36ab， 所以6ab ， 又3abc， 所以ab的取值范围是(3，6 18 （12 分）田忌赛马是史记中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公 子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军 制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上 等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多 赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示： 田忌的马/获胜概率/ 公子的马 上等马 中等马 下等马 上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2

32、0.5 0.9 第 17 页（共 22 页） 下等马 0 0.05 0.4 比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和 负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为 最终胜利者 （1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率； （2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注 1000 金，即胜利者赢得对方 1000 金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望 【解答】解： （1）记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜 对于事件A，三次比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜 因此，P（A）0.80.90.7

33、2； （2） 设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量， 则随机变量的可能取值为1000和 1000， 若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜 胜负， 设比赛一次，田忌获胜的概率为P，则 1121139 3 22522520 P 随机变量的分布列如下表所示： 1000 1000 P 11 20 9 20 所以， 119 10001000100 2020 E 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100 121200 金 19 （12 分）已知C是以AB为直径的圆周上一点， 3 ABC ，PA 平面ABC （1）求证：平面PAC 平面PBC； （2）若异面直线PB

34、与AC所成的为 3 ，求二面角CPBA的余弦值 【解答】 （1）证明：因为AB为圆的直径，所以ACBC， 第 18 页（共 22 页） 又PA 平面ABC，而BC 平面ABC，所以PABC， 又ACPAA，所以BC 平面PAC， 而BC 平面PBC，所以平面PBC 平面PAC （2）解法 1：建系如图所示，令2ABt，而 3 ABC ，则 6 BAC ，3ACt， 则(0A，0，0)，(0B，2t，0)， 33 (,0) 22 tt C，令(0P，0，)(0)h h 所以(0, 2 , )BPt h， 33 (,0) 22 tt AC ， 因为异面直线PB与AC所成的角为 3 ， 故 2 22

35、 |31 cos 32| | 43 BP ACt BPAC tht ，解得2 2ht 令平面PBC的一个法向量为(1, , )ny z， 而 3 (,0) 22 tt BC ，(0, 2 ,2 2 )BPtt 由0n BC ， 3 0 22 tt y，所以3y 由0n BP ，2 32 20ttz所以 6 2 z ，即 6 (1, 3,) 2 n 而平面PAB的一个法向量为(1,0,0)m 所以 1222 cos | |11113 113 2 n m nm 解法 2：过B作AC的平行线BM交圆于M，连接PM，AM，所以直线PB与AC所成的 角即为PB与BM所成的角， 因为AB为圆的直径，所以A

36、MBM， 又PA 平面ABC，而BM 平面ABC，所以PABM 又AMPAA，所以BM 平面PAM 而PM 平面PAM，所以BMPM，则 3 PBM 令2ABt， 且 3 ABC 所 以3A CB Mt，3 tan3 3 AMBCtPMtt ， 22 (3 )2 2PAttt， 22 (2 2 )(2 )2 3PBttt， 22 (2 2 )( 3 )11PCttt 过A作ANPC交PC于N，过A作AQPB交PB于Q，连接QN，由三垂线定理知 第 19 页（共 22 页） QNPB， 所以AQN即为二面角CPBA的平面角， 2 2 22 6 32 3 PA ABtt AQ PBt ， 2 23

37、2 662 6633 11 sin 111111112 6 PA ACttAN ANAQN PCAQt ， 22 cos 11 AQN， 即为二面角CPBA的余弦值为 22 11 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 2，过点 2 ( 1,) 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为F，定点(2,0)P，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B 两点，以线段AP为直径的圆与直线2x 的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点， 并求出该定点的坐标 【解答】解： （1）由题知 22 22 1 11 1 2 cab ab 解得 2 2a

38、， 2 1b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：1xmy 由 2 2 1 1 2 xmy x y 得 22 (2)210mymy ， 则 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m ， 因为以AP为直径的圆与直线2x 的另一个交点为Q，所以AQPQ，则 1 (2,)Qy 第 20 页（共 22 页） 则 21 2 2 BQ yy k x ，故BQ的方程为： 21 1 2 (2) 2 yy yyx x ， 由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令0y ， 则 1

39、212121 212121 (2)(1) 222 y xy mymy yy x yyyyyy ， 而 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m ， 12 12 2 yy my y ， 所以 12 1 21 13 2 22 22 yy y x yy ， 故直线BQ恒过定点，且定点为 3 ( ,0) 2 21 （12 分）函数 2 1 ( )(1) 2 f xaxa xlnx （1）求( )f x的单调区间； （2） 在函数( )f x的图象上取 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两个不同的点， 令直线AB的斜率为k， 则在函数的图象上是否存在点 0 (P

40、 x， 0) y，且 12 0 2 xx x ，使得 0 ()kfx？若存在，求A， B两点的坐标，若不存在，说明理由 【解答】解： （1）由题知定义域为(0,)， 2 1(1)1(1)(1) ( )1 axa xaxx fxaxa xxx ， 当1a 时， 1 01 a ， 令( )0fx，解得 1 (,1)x a ，( )0fx，解得 1 (0,)(1,)x a ， 即函数( )f x在 1 (,1) a 上单调递增，在 1 (0,) a 及(1,)上单调递减； 当1a 时， 1 1 a ，在(0,)上 2 (1)(1)(1) ( )0 xxx fx xx ， 即函数( )f x在(0,)

41、上单调递减； 当10a 时， 1 1 a ， 令( )0fx，解得 1 (1,)x a ，( )0fx，解得 1 (0,1)(,)x a 即函数( )f x在 1 (1,) a 上单调递增，在(0,1)及 1 (,) a 上单调递减； 当0a时， 令( )0fx，解得(1,)x，( )0fx，解得(0,1)x， 第 21 页（共 22 页） 即函数( )f x在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减； 综上所述： 当1a 时，增区间为 1 (,1) a ，减区间为 1 (0,) a 及(1,)； 当1a 时，减区间为(0,)； 当10a 时，增区间为 1 (1,) a ，减区间为(0,1)

42、及 1 (,) a ； 当0a时，减区间为(0,1)，增区间为(1,)； （2）假设存在，即满足 0 () AB kfx， 因为已知 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y不妨令 12 0xx， 则 21212121212121 2121212121 ()()(1)()()1 1 2()2 AB yyxxxxa xxlnxlnxxx alnxlnx kaa xxxxxxxxxx ， 而 12 00 012 ()12 ()11 2 xx a fxaxaa xxx 由 0 () AB kfx 得 21 2112 2lnxlnx xxxx 存在，也就是证 21 21 12 2() 0

43、xx lnxlnx xx 存在， 只要证 2 21 2 1 1 2(1) 0 1 x xx ln x x x 存在，令 2 1 1 x t x ，故转化为 2(1) 0(1) 1 t lntt t 存在， 即需要证明 4 2(1) 1 lntt t 令 4 ( )(1) 1 g tlntt t ， 则有 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t ，故( )g t在1t 上单调递增，所以( )g tg（1）2，故 不存在 考生注意：请在第考生注意：请在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系