2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 23 页） 2020 年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， |210Bxx ，则(AB ) A( 1,) B 1 ( ,1) 2 C 1 ( ,2) 2 D 1 ( ,) 2 2 （5 分）设复数z满足|1| |(zzii为虚数单位） ，z在复平面内对应的点为( , )x y，则

2、( ) Ayx Byx C 22 (1)(1)1xy D 22 (1)(1)1xy 3 （5 分） “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积 极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同 体自 2013 年以来， “一带一路”建设成果显著如图是20132017年，我国对“一带一 路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ) A这五年，2013 年出口额最少 B这五年，2013 年出口总额比进口总额少 C这五年，出口增速前四年逐年增加 D这五年，2017 年进口增速最快 4 （5 分）下列不等关系，正确的是( ) A

3、234 log 3log 4log 5 B 243 log 3log 5log 4 C 243 log 3log 5log 4 D 234 log 3log 4log 5 5 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a ， 47 239aa，则 7 S的值等于( 第 2 页（共 23 页） ) A21 B1 C42 D0 6 （5 分）若执行图的程序框图，则输出i的值为( ) A2 B3 C4 D5 7 （5 分）函数 22 |cos xx y xx 的图象大致为( ) A B C D 8 （5 分）若函数( )sin2f xx的图象向右平移 11 6 个单位得到的图象对应

4、的函数为( )g x， 则下列说法正确的是( ) A( )g x的图象关于 12 x 对称 B( )g x在0，上有 2 个零点 第 3 页（共 23 页） C( )g x在区间 5 (,) 36 上单调递减 D( )g x在,0 2 上的值域为 3 ,0 2 9 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，圆 2 F与双曲线 C的渐近线相切，M是圆 2 F与双曲线C的一个交点若 12 0FM F M ，则双曲线C的离心 率等于( ) A5 B2 C3 D2 10 （5 分）射线测厚技术原理公式为 0 t II e ，其中 0 I，

5、I分别为射线穿过被测物前后的 强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸 收系数工业上通常用镅 241 241()Am低能射线测量钢板的厚度若这种射线对钢板的半价 层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为( ) （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，20.6931ln ，结果精 确到0.001) A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 11 （5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D， 过对角线 1 BD作平面交棱 1 AA于点E， 交棱 1 CC 于点F，则： 平面分正方体所得两部分的体积相

6、等； 四边形 1 BFD E一定是平行四边形； 平面与平面 1 DBB不可能垂直； 四边形 1 BFD E的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为( ) A B C D 12 （5 分）已知函数 ,0 ( ) 1,0 x x ex f x xexlnx x ，则函数( )( ( )( )F xf f xef x的零点个 数为( )(e是自然对数的底数） A6 B5 C4 D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分.把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. 第 4 页（共 23 页） 13 （5 分）已知向量(

7、1,1)a ，( , 2)bm，且/ /(2 )aab，则m的值等于 14 （5 分）直线l经过抛物线 2 :12C yx的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB 的长为 16，则直线l的倾斜角等于 15 （5 分） “学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义 思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台该平台设有“阅读文章” 、 “视听学习”等多个栏目假设在这些栏目中，某时段更新了 2 篇文章和 4 个视频，一位学 习者准备学习这 2 篇文章和其中 2 个视频，则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有 种 16 （5 分）已知三棱锥ABCD的棱长均为

8、6，其内有n个小球，球 1 O与三棱锥ABCD的 四个面都相切，球 2 O与三棱锥ABCD的三个面和球 1 O都相切，如此类推，球 n O与 三棱锥ABCD的三个面和球 1n O 都相切 * (2,)nnN，则球 1 O的体积等于 ，球 n O的 表面积等于 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a ， coscos2 cos0aCcAbB （1）求B； （2）若BC边的中线AM长为5，求ABC的面积

9、18 （12 分） “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富， 科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地为了将来更好地推进 “研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科 技体验游、 民俗人文游、 自然风光游三种类型， 并在前几年该旅行社接待的全省高一学生 “研 学游”学校中，随机抽取了 100 所学校，统计如下： 研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游 学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了 3 所学校，并以统计的 频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所

10、学校在选择研学游类型时仅选择其中一类， 且不受其他学校选择结果的影响）: （1）若这 3 所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游” ，求这两种类型都 第 5 页（共 23 页） 有学校选择的概率； （2） 设这 3 所学校中选择 “科技体验游” 学校数为随机变量X， 求X的分布列与数学期望 19 （12 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC中，平面 11 AAC C 平面ABC， 1 AAAC， ACBC （1）证明： 11 ACAB； （2）设2ACCB， 1 60A AC，求二面角 11 CABB的余弦值 20 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab

11、ab 的左右顶点为 1 A， 2 A，上下顶点为 1 B， 2 B，菱 形 1122 AB A B的内切圆 C 的半径为2，椭圆的离心率为 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足| |PMPN，试判断直 线PM，PN与圆 C 的位置关系，并证明你的结论 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )( x x f xe e 为自然对数的底数） （1）求函数( )f x的零点 0 x，以及曲线( )yf x在 0 xx处的切线方程； （2）设方程( )(0)f xm m有两个实数根 1 x， 2 x，求证： 12 1 | 2(1) 2 xxm e

12、请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的 第一个题目计分，作答时，请用第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑的方框涂黑.（本小（本小 题满分题满分 10 分）选修分）选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 3 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，在以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6si

13、n （1）求曲线C的直角坐标方程； 第 6 页（共 23 页） （2）设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3,1)，求|AMAN （本小题满分（本小题满分 0 分）选修分）选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|()f xxmxmR，不等式(2) 0f x的解集为(，4 （1）求m的值； （2）若0a ，0b ，3c ，且22abcm，求(1)(1)(3)abc的最大值 第 7 页（共 23 页） 2020 年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共

14、 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， |210Bxx ，则(AB ) A( 1,) B 1 ( ,1) 2 C 1 ( ,2) 2 D 1 ( ,) 2 【解答】解： 1 | 12, | 2 AxxBx x ， ( 1,)AB 故选：A 2 （5 分）设复数z满足|1| |(zzii为虚数单位） ，z在复平面内对应的点为( , )x y，则( ) Ayx Byx C 22 (1)(1)1xy D 22 (1)(1

15、)1xy 【解答】解：由z在复平面内对应的点为( , )x y，且|1| |zzi， 得|1| |(1) |xyixyi ， 2222 (1)(1)xyxy， 整理得：yx 故选：B 3 （5 分） “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积 极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同 体自 2013 年以来， “一带一路”建设成果显著如图是20132017年，我国对“一带一 路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ) 第 8 页（共 23 页） A这五年，2013 年出口额最少 B这五年，2013 年出口总额比进

16、口总额少 C这五年，出口增速前四年逐年增加 D这五年，2017 年进口增速最快 【解答】解：对于A，2013 出口额最少，故A对； 对于B，2013 年出口额少于进口额，故B对； 对于C，20132014出口速率在增加，故C错； 对于D，根据蓝色线斜率可知，2017 年进口速度最快，故D对 故选：C 4 （5 分）下列不等关系，正确的是( ) A 234 log 3log 4log 5 B 243 log 3log 5log 4 C 243 log 3log 5log 4 D 234 log 3log 4log 5 【解答】解： 2222 2 23 241 3()3(9) 34324 22 l

17、og 3log 40 23232323 lglg lglglg lglglglg lg lglglg lglg lglg lg ， 23 log 3log 4， 同理 34 log 4log 5， 234 log 3log 4log 5 故选：D 5 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a ， 47 239aa，则 7 S的值等于( ) A21 B1 C42 D0 第 9 页（共 23 页） 【解答】解：等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a ， 47 239aa， 2( 33 )3( 36 )9dd ， 解得1d ， 7 76 7( 3)0 2 Sd 故选：

18、D 6 （5 分）若执行图的程序框图，则输出i的值为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：模拟程序的运行，可得 4x ，1y ，0i 8x ，1 12y 满足条件xy，执行循环体，1i ，16x ，246y 满足条件xy，执行循环体，2i ，32x ，61622y 满足条件xy，执行循环体，3i ，64x ，226486y 此时，不满足条件xy，退出循环，输出i的值为 3 故选：B 7 （5 分）函数 22 |cos xx y xx 的图象大致为( ) 第 10 页（共 23 页） A B C D 【解答】解： 2222 ()( ) |cos()|cos xxxx fxf x xxxx

19、，即函数( )f x在定义域上为奇函 数，故排除D； 又 1 22 (0)0,(1)0 1cos1 ff ，故排除B、C 故选：A 8 （5 分）若函数( )sin2f xx的图象向右平移 11 6 个单位得到的图象对应的函数为( )g x， 则下列说法正确的是( ) A( )g x的图象关于 12 x 对称 B( )g x在0，上有 2 个零点 C( )g x在区间 5 (,) 36 上单调递减 D( )g x在,0 2 上的值域为 3 ,0 2 【解答】解：函数( )sin 2f xx的图象向右平移 11 6 个单位得到的图象对应的函数为 1111 ( )sin2()sin(2)sin(2

20、) 633 g xxxx ， 所以对于选项A：当 12 x 时，( )1g x ，故A错误 对于选项B： 当2() 3 xk k Z ， 整理得 26 k x ，()kZ， 当1k 时， 3 x ， 当2k 时， 5 6 x 时，函数( )0g x ，故选项B正确 第 11 页（共 23 页） 对于选项 5 :(,) 36 C x ，所以2( ,2 ) 3 x ，故函数在该区间内有增有减，故错误 对于选项:,0 2 D x ，所以 2 2, 333 x ，所以函数( )g x的值域为 1， 3 2 ，故错 误 故选：B 9 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab

21、的左右焦点分别为 1 F， 2 F，圆 2 F与双曲线 C的渐近线相切，M是圆 2 F与双曲线C的一个交点若 12 0FM F M ，则双曲线C的离心 率等于( ) A5 B2 C3 D2 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 渐 近 线 方 程 为0bxay，0bxay， 可 得 2 F与 双 曲 线C的 渐 近 线 的 距 离 为 22 bc db ba ， 可得圆 2 F的方程为 222 ()xcyb， 若 12 0FM F M ，即有( , )M x y的方程为 222 xyc， 联立方程可得

22、22 2 2 cb x c ， 224 2 2 4 4 b cb y c ， 代入双曲线的方程即为 4224224 2222 22 444 44 cb cbb cb baa b cc ， 化简可得 22 4ba，则 2 2 15 cb e aa ， 故选：A 第 12 页（共 23 页） 10 （5 分）射线测厚技术原理公式为 0 t II e ，其中 0 I，I分别为射线穿过被测物前后的 强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸 收系数工业上通常用镅 241 241()Am低能射线测量钢板的厚度若这种射线对钢板的半价 层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，

23、则这种射线的吸收系数为( ) （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，20.6931ln ，结果精 确到0.001) A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 【解答】解：由题意可得， 7.6 0.8 1 1 2 e ， 27.6 0.8ln ， 即6.080.6931，则0.114 这种射线的吸收系数为 0.114 故选：C 11 （5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D， 过对角线 1 BD作平面交棱 1 AA于点E， 交棱 1 CC 于点F，则： 平面分正方体所得两部分的体积相等； 四边形 1 BFD E一定是平行四边形； 平面与平面 1 D

24、BB不可能垂直； 四边形 1 BFD E的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为( ) A B C D 【解答】解：如图，则： 对于：由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，故正确； 对于：因为平面 1111 / /ABB ACC D D，平面 1 BFD E平面 11 ABB ABF，平面 1 BFD E平 面 111 CC D DD E， 1 / /BFD E，同理可证： 1 / /D FBE，故四边形 1 BFD E一定是平行四边 形，故正确； 对于：当E、F为棱中点时，EF 平面 1 BB D，又因为EF 平面 1 BFD E，所以平面 第 13 页（共 23 页） B

25、FD E平面BB D，故不正确； 对于：当F与A重合，当E与 1 C重合时， 1 BFD E的面积有最大值，故正确 正确的是， 故选：C 12 （5 分）已知函数 ,0 ( ) 1,0 x x ex f x xexlnx x ，则函数( )( ( )( )F xf f xef x的零点个 数为( )(e是自然对数的底数） A6 B5 C4 D3 【解答】解：不妨设 1( ) (0) x f xex ， 2( ) 1(0) x fxxexlnx x ， 易知， 1( ) 0f x 在(，0上恒成立，且在(，0单调递增； 2 11 ( )1(1)() xxx fxexexe xx ， 设 1 ()

26、(0 ) x gxex x ， 由当0x 时，( )g x ， g（1）10e ，且函数( )g x在(0,)上单增， 故函数( )g x存在唯一零点 0 (0,1)x ， 使得 0 ()0g x， 即 0 0 1 0 x e x ， 则 0 000 1 ,0 x xel n xx， 故当 0 (0,)xx时，( )0g x ， 2( ) 0fx ， 2( ) fx单减； 当 0 (xx，)时，( )0g x ， 2( ) 0fx ， 2( ) fx单增， 故 0 220000 ( )()10 x min fxfxx exlnx ，故 2( ) 0 fx ； 令( )tf x，( )( )0F

27、 tf tet， 当0t时，0 t eet ，解得1t ，此时易知( )1f xt 有一个解； 当0t 时，10 t tetlntet ，即1 t tetlntet ，作函数 2( ) ft与函数yet如下图 第 14 页（共 23 页） 所示， 由图可知，函数 2( ) ft与函数yet有两个交点，设这两个交点为 1 t， 2 t，且 1 0t ， 2 0t ， 而由图观察易知， 1 ( )f xt， 2 ( )f xt均有两个交点，故此时共有四个解； 综上，函数( )( ( )( )F xf f xef x的零点个数为 5 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小

28、题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分.把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. 13 （5 分）已知向量(1,1)a ，( , 2)bm，且/ /(2 )aab，则m的值等于 2 【解答】解：根据题意，向量(1,1)a ，( , 2)bm， 则2(12 , 3)abm， 若/ /(2 )aab，则有123m ，解可得：2m ； 故答案为：2 14 （5 分）直线l经过抛物线 2 :12C yx的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB 的长为 16，则直线l的倾斜角等于 3 或 2 3 【解答】 解： 直线l经过抛物线 2 :12C yx的焦点(3,0)F， 斜

29、率为k， 直线方程为：(3)yk x， 且与抛物线C交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点，可得 22 (3)12kxx， 即 2222 (612)90k xkxk，可得 2 12 2 612k xx k ， 弦AB的长为 16， 2 2 612 616 k k ，解得3k 第 15 页（共 23 页） 所以，直线的倾斜角为： 3 或 2 3 故答案为： 3 或 2 3 15 （5 分） “学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义 思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台该平台设有“阅读文章” 、 “视听学习”等多个栏目假设在这

30、些栏目中，某时段更新了 2 篇文章和 4 个视频，一位学 习者准备学习这2篇文章和其中2个视频， 则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 72 种 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，在 4 个视频中任选 2 个进行学习，有 2 4 6C 种情况， ，将选出的 2 个视频与 2 篇文章依次进行学习，有 4 4 24A 种情况，其中 2 篇文章学习顺 序相邻的情况有 23 23 12A A 种情况， 则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有6 1272种； 故答案为：72 16 （5 分）已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球 1 O与三棱锥ABCD的 四个面都相切，球 2 O

31、与三棱锥ABCD的三个面和球 1 O都相切，如此类推，球 n O与 三棱锥ABCD的三个面和球 1n O 都相切 * (2,)nnN， 则球 1 O的体积等于 6 ， 球 n O 的表面积等于 【解答】解：如图，设球 1 O半径为 1 r，球 n O的半径为 n r，E为CD中点，球 1 O与平面 ACD、BCD切于F、G，球 2 O与平面ACD切于H， 作截面ABE，设正四面体ABCD的棱长为a， 由平面几何知识可得 1 1 6 3 33 62 ar r aa ，解得 1 6 12 ra， 同时 12 2 1 1 6 2 3 6 3 arr r r ar ，解得 2 6 24 ra， 把6a

32、 代入的 1 6 2 r ， 2 6 4 r ， 第 16 页（共 23 页） 由平面几何知识可得数列 n r是以 1 6 2 r 为首项，公比为 1 2 的等比数列， 所以 1 6 1 ( ) 22 n n r ，故球 1 O的体积 33 1 446 ()6 332 r； 球 n O的表面积 21 2 1 6 16 44( ) 224 n n n r ， 故答案为6； 1 6 4n 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分

33、别为a，b，c，若2a ， coscos2 cos0aCcAbB （1）求B； （2）若BC边的中线AM长为5，求ABC的面积 【解答】解： （1）在ABC中， sinsinsin abc ABC ，且coscos2 cos0aCcAbB， sincossincos2sincos0ACCABB， sin(12cos)0BB， 又sin0B ， 2 cos 2 B B是三角形的内角， 3 4 B ； （2）在ABM中， 3 1,5, 4 BMAMBABc ， 由余弦定理得 222 ()2cosAMcBMc BMB， 2 240cc， 第 17 页（共 23 页） 0c ，2c 在ABC中，2a

34、，2c ， 3 4 B ， ABC的面积 1 sin1 2 SacB 18 （12 分） “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富， 科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地为了将来更好地推进 “研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科 技体验游、 民俗人文游、 自然风光游三种类型， 并在前几年该旅行社接待的全省高一学生 “研 学游”学校中，随机抽取了 100 所学校，统计如下： 研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游 学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取

35、了 3 所学校，并以统计的 频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类， 且不受其他学校选择结果的影响）: （1）若这 3 所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游” ，求这两种类型都 有学校选择的概率； （2） 设这 3 所学校中选择 “科技体验游” 学校数为随机变量X， 求X的分布列与数学期望 【解答】解： （1）依题意，学校选择“科技体验游”的概率为 2 5 ，选择“自然风光游”的 概率为 1 5 ， 若这 3 所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游” ， 则这两种类型都有学校选择的概率为： 2222 33 211218 ( )

36、 ( )( ) ( ) 5555125 PCC （2）X可能取值为 0，1，2，3 则 03 3 327 (0)( ) 5125 P XC， 12 3 2354 (1)( )( ) 55125 P XC， 22 3 2336 (2)( ) ( ) 55125 P XC， 33 3 28 (3)( ) 5125 P XC， X的分布列为： 第 18 页（共 23 页） X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 27543686 0123 1251251251255 EX 或解：随机变量X服从 2 (3, ) 5 XB， 26 3 55 EXnp 19 （12

37、分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC中，平面 11 AAC C 平面ABC， 1 AAAC， ACBC （1）证明： 11 ACAB； （2）设2ACCB， 1 60A AC，求二面角 11 CABB的余弦值 【解答】 （1）证明：连结 1 AC 1 AAAC，四边形 11 AAC C为菱形， 11 ACAC 平面 11 AAC C 平面ABC， 平面 11 AACC平面ABCAC，BC 平面ABC，BCAC， BC平面 11 AAC C 又 11 / /BCBC， 11 BC平面 11 AAC C， 111 BCAC 1111 ACBCC， 1 AC平面 11 ABC，而 1 AB 平

38、面 11 ABC， 11 ACAB （2）取 11 AC的中点为M，连结CM 1 AAAC，四边形 11 AAC C为菱形， 1 60A AC， 11 CMAC，CMAC 又CMBC，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，如图 第 19 页（共 23 页） 设1CB ，22ACCB， 1 AAAC， 1 60A AC， (0C，0，0)， 1(1 A，0，3)，(2A，0，0)，(0B，1，0)， 1( 1 B ，1，3) 由（1）知，平面 11 C AB的一个法向量为 1 (1,0, 3)CA 设平面 1 ABB的法向量为( , , )nx y z，则0n AB 并且 1

39、0n AB ， 20 330 xy xyz 令1x ，得 1 2, 3 yz，即 1 (1,2,) 3 n 1 1 1 23 cos, 4|16 2 3 CA n CA n CAn ， 二面角 11 CABB的余弦值为： 3 4 20 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右顶点为 1 A， 2 A，上下顶点为 1 B， 2 B，菱 形 1122 AB A B的内切圆 C 的半径为2，椭圆的离心率为 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足| |PMPN，试判断直 线PM，PN与圆 C 的位置关系，并证明你的结论

40、【解答】解： （1）设椭圆的半焦距为c由椭圆的离心率为 2 2 知，,2bc ab 设圆 C 的半径为r，则 22 rabab， 2 232bb，解得3b ，6a ， 椭圆C的方程为 22 1 63 xy 第 20 页（共 23 页） （2）M，N关于原点对称，| |PMPN，OPMN 设 1 (M x， 1) y， 2 (P x， 2) y 当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm 由直线和椭圆方程联立得 22 2()6xkxm，即 222 (12)4260kxkmxm， 12 2 2 12 2 4 21 26 21 km xx k m x x k 1 (OMx， 1) y， 2

41、(OPx， 2) y， 2 2222 121212121212 22 264 ()()(1)()(1) 2121 mkm OM OPx xy yx xkxm kxmkx xkm xxmkkmm kk 22 2 3(22) 0 21 mk k ， 22 220mk， 22 22mk， 圆 C 的圆心O到直线PM的距离为 2 | 2 1 m r k ，直线PM与圆 C 相切 当直线PM的斜率不存在时，依题意得 1 (Nx， 1) y， 1 (P x， 1) y 由| |PMPN得 11 |2| |2|xy， 22 11 xy，结合 22 11 1 63 xy 得 2 1 2x ， 直线PM到原点O

42、的距离都是2， 直线PM与圆 C 也相切 同理可得，直线PN与圆 C 也相切 直线PM、PN与圆 C 相切 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )( x x f xe e 为自然对数的底数） （1）求函数( )f x的零点 0 x，以及曲线( )yf x在 0 xx处的切线方程； 第 21 页（共 23 页） （2）设方程( )(0)f xm m有两个实数根 1 x， 2 x，求证： 12 1 | 2(1) 2 xxm e 【解答】解： （1）由 2 1 ( )0 x x f x e ，得1x ， 函数的零点 0 1x ， 2 21 ( ) x xx fx e ，( 1)2fe ，( 1)

43、0f 曲线( )yf x在1x 处的切线方程为2 (1)ye x， 2 (1)f e ，f（1）0， 曲线( )yf x在1x 处的切线方程为 2 (1)yx e ； （2）证明： 2 21 ( ) x xx fx e ， 当(,12)(12,)x 时，( )0fx；当(12,12)x时，( )0fx ( )f x的单调递增区间为(,12),(12,)，单调递减区间为(12,12) 由（1）知，当1x 或1x 时，( )0f x ；当11x 时，( )0f x 下面证明：当( 1,1)x 时，2 (1)( )e xf x 当( 1,1)x 时， 2 1 11 2 (1)( )2 (1)00 2

44、 x x xx e xf xe xe e 易知， 1 1 ( ) 2 x x g xe 在 1x ，1上单调递增， 而( 1)0g ， ( )( 1)0g xg对( 1,1)x 恒成立， 当( 1,1)x 时，2 (1)( )e xf x 由 2 (1)ye x ym 得1 2 m x e 记 1 1 2 m x e 不妨设 12 xx，则 12 1121xx ， 1212212 | |(1) 2 m xxxxxxx e 要证 12 1 | 2(1) 2 xxm e ，只要证 2 1 (1) 2(1) 22 m xm ee ，即证 2 1xm 又 2 2 2 1 x x m e ， 只要证 2 2 2 2 1 1 x x x e ，即 2 22 (1) (1) 0 x xex