2019-2020学年四川省眉山市高三（上）第二次诊断性数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年四川省眉山市高三（上）第二次诊断性数学试卷学年四川省眉山市高三（上）第二次诊断性数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）已知集合0A，1，0B ，1，2，则满足ACB的集合C的个数为( ) A4 B3 C2 D1 2 （3 分）已知i为虚数单位，复数 93 2 1 i zi i ，则| (z ) A23 5 B 202 2 C5 D25 3 （3 分）已知平面向量a，b的夹角为 3 ，且| 1a ，| 2b ，则2ab与b的夹角是( ) A

2、 5 6 B 2 3 C 3 D 6 4 （3 分）空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对 应如表所示： AQI 0 50 51100 101150 151 200 201 300 300 以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市 2018 年 12 月全月的AQI指数变化统计图： 根据统计图判断，下列结论正确的是( ) A整体上看，这个月的空气质量越来越差 B整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量 第 2 页（共 20 页） C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D从AQI数据看，前半月的平均值小于后半

3、月的平均值 5 （3 分） 6 2 2 ()x x 的展开式中，常数项为( ) A60 B15 C15 D60 6 （3 分）若数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 2 2a ， 2 21 (1)(1)(1) nnn SSS ，则 ( n S ) A (1) 2 n n B 1 2n C21 n D 1 21 n 7 （3 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，若 1 x， 2 xR，则“ 12 0xx”是 “ 12 ()()0f xf x”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （3 分）已知函数( )sin()(0f xAxA

4、，0，|) 2 的部分图象如图所示，点 3 (0,) 2 ，( 3 ，0)， 7 (,0) 3 在图象上，若 1 x， 2 7 (,) 33 x ， 12 xx，且 12 ( )()f xf x，则 12 ()(f xx ) A3 B 3 2 C0 D 3 2 9 （3 分）若直线0xmym与圆 22 (1)1xy相交，且两个交点位于坐标平面上不同 的象限，则m的取值范围是( ) A(0,1) B(0,2) C( 1,0) D( 2,0) 10（3 分） 在空间直角坐标系Oxyz中， 四面体ABCD各顶点坐标分别为(2A， 2，1)，(2B， 2，1)，(0C，2，1)，(0D，0，1)，则该

5、四面体外接球的表面积是( ) A16 B12 C4 3 D6 第 3 页（共 20 页） 11 （3 分）设P是抛物线 2 :4C yx上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与 (OQ O为坐标原点）垂直，则P到l的距离的最小值的取值范围是( ) A(0,1) B(0，1 C0，1 D(0，2 12 （3 分）已知函数( )(1)22f xlnxaxa若不等式( )0f x 的解集中整数的个数为 3，则a的取值范围是( ) A(13ln，0 B(13ln，2 2ln C(13ln，12ln D0，12ln 二、填空题二、填空题 13 （3 分）中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今

6、有男子善走，日增等里，九 日走1260里， 第一日， 第四日， 第七日所走之和为390里， 则该男子的第三日走的里数为 14 （3 分）根据下列算法语句，当输入x，yR时，输出s的最大值为 15 （3 分）已知( )f x是R上的偶函数，且当0x时， 2 ( ) |3 |f xxx，则不等式(2) 2f x 的解集为 16 （3 分）设m，n为平面外两条直线，其在平面内的射影分别是两条直线 1 m和 1 n， 给出下列4个命题： 11 / / /mnmn； 1 / /mnm与 1 n平行或重合； 11 mnmn； 11 mnmn其中所有假命题的序号是 三、解答题三、解答题 17在ABC中，角A

7、，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A，sin B，sinC成等差数 列，且 1 cos 3 C （1）求 b a 的值； （2）若11c ，求ABC的面积 18某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方 法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 50 株，对每株进行综合 第 4 页（共 20 页） 评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为 80 及以上的 花苗为优质花苗 （1）求图中a的值，并求综合评分的中位数 （2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块试验地随机抽取 3 棵花苗，求所 抽取的花苗中的优

8、质花苗数的分布列和数学期望； （3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法 10 合计 附：下面的临界值表仅供参考 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd) 19如图 1，在边长为 4 的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD 上，且

9、 1 4 AMAD将AED，DCF分别沿DE，DF折叠使A，C点重合于点P，如图 2 所示 第 5 页（共 20 页） （1）试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明； （2）求二面角MEFD的余弦值 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为( 2F，0)，过点F且垂直于x轴的直线 与椭圆相交所得的弦长为 2 （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆内一点(0, )Pt，斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点，设直线OM，(ON O 为坐标原点）的斜率分别为 1 k， 2 k，若对任意k，存在实数，使得 12 kkk，求实数 的取值范围 21已知函数 2 1 ( )(

10、)4 2 x f xexa （1）若( )f x在(,) 上单调递增，求a的取值范围； （2）若0x，不等式( ) 0f x 恒成立，求a的取值范围 22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的 极坐标方程为4cos （1）求M的普通方程； （2）将圆M平移使其圆心为 1 ( 2 N ，0)，设P是圆N上的动点，点A与N关于原点O对 称，线段PA的垂直平分线与PN相交于点Q，求Q的轨迹的参数方程 23设0a ，0b ，且abab （1）若不等式|2|xxab恒成立，求实数x的取值范围 （2）是否存在实数a，b，使得48ab？并说明理由 第 6 页（共 20

11、页） 2019-2020 学年四川省眉山市高三（上）第二次诊断性数学试卷学年四川省眉山市高三（上）第二次诊断性数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）已知集合0A，1，0B ，1，2，则满足ACB的集合C的个数为( ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：集合0A，1，0B ，1，2， 满足ACB的集合C有： 2，0，2，1，2，0，1，2，共 4 个 故选：A 2 （3 分）已知i为虚数单位，复数 93 2 1 i zi i ，则| (z ) A23 5

12、 B 202 2 C5 D25 【解答】解：i为虚数单位，复数 93(93 )(1)612 22234 1(1)(1)2 iiii ziiii iii ， 22 |3( 4)5z ， 故选：C 3 （3 分）已知平面向量a，b的夹角为 3 ，且| 1a ，| 2b ，则2ab与b的夹角是( ) A 5 6 B 2 3 C 3 D 6 【解答】解：向量a，b的夹角为 3 ，且| 1a ，| 2b ， 1 1 21 2 a b ， 2 (2)26ab ba bb， 22 |2|442 3abaa bb， 设2ab与b的夹角是， 则 (2)63 cos 2|2|22 3 bab bab ， 第 7

13、页（共 20 页） 0， 6 故选：D 4 （3 分）空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对 应如表所示： AQI 0 50 51100 101150 151 200 201 300 300 以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市 2018 年 12 月全月的AQI指数变化统计图： 根据统计图判断，下列结论正确的是( ) A整体上看，这个月的空气质量越来越差 B整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量 C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【解答】解：从

14、整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不 正确； 从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个 月的方差大于后半个月的方差，所以C正确； 从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平 均值，故D不正确 故选：C 第 8 页（共 20 页） 5 （3 分） 6 2 2 ()x x 的展开式中，常数项为( ) A60 B15 C15 D60 【解答】 解： 6 2 2 ()x x 的展开式的通项公式为 6 3 16 ( 2) rrr r TCx ， 令6 30r， 求得2r ， 可得常数项 2 6 4

15、60C， 故选：D 6 （3 分）若数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 2 2a ， 2 21 (1)(1)(1) nnn SSS ，则 ( n S ) A (1) 2 n n B 1 2n C21 n D 1 21 n 【解答】解：由题意，可知： 根据 2 21 (1)(1)(1) nnn SSS ， 可知：数列1 n S 为等比数列 又 11 1Sa， 212 123Saa 1 12S ， 2 14S 12n n S 21 n n S 故选：C 7 （3 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，若 1 x， 2 xR，则“ 12 0xx”是 “ 12 ()()0f xf

16、x”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：函数( )f x是奇函数， 若 12 0xx， 第 9 页（共 20 页） 则 12 xx ， 则 122 ()()()f xfxf x ， 即 12 ()()0f xf x成立，即充分性成立， 若( )0f x ，满足( )f x是奇函数，当 12 2xx时， 满足 12 ()()0f xf x，此时满足 12 ()()0f xf x， 但 12 40xx，即必要性不成立， 故“ 12 0xx”是“ 12 ()()0f xf x”的充分不必要条件， 故选：A 8 （3 分）已知函数( )sin(

17、)(0f xAxA，0，|) 2 的部分图象如图所示，点 3 (0,) 2 ，( 3 ，0)， 7 (,0) 3 在图象上，若 1 x， 2 7 (,) 33 x ， 12 xx，且 12 ( )()f xf x，则 12 ()(f xx ) A3 B 3 2 C0 D 3 2 【解答】解：由条件知函数的周期满足 7 2()224 33 T ，即 2 4 ， 则 1 2 ， 由五点对应法得0 3 ，即 1 0 32 ，得 6 ， 则 1 ( )sin() 26 f xAx ， 则 13 (0)sin() 622 fAA ，得3A ， 即 1 ( )3sin() 26 f xx ， 在 7 (,

18、) 33 内的对称轴为 7 4 33 23 x ， 第 10 页（共 20 页） 若 1 x， 2 7 (,) 33 x ， 12 xx，且 12 ( )()f xf x， 则 1 x， 2 x关于 4 3 x 对称， 则 12 48 2 33 xx ， 则 12 81873 ()()3sin()3sin3sin 3236662 f xxf ， 故选：D 9 （3 分）若直线0xmym与圆 22 (1)1xy相交，且两个交点位于坐标平面上不同 的象限，则m的取值范围是( ) A(0,1) B(0,2) C( 1,0) D( 2,0) 【解答】 解： 根据题意， 圆 22 (1)1xy的圆心为(

19、1,0)， 半径1r ， 与x轴的交点为(0,0)， (2,0)， 设B为(2,0)； 直线0xmym即(1)0xm y，恒过经过点(0,1)，设(0,1)A； 当直线经过点A、B时，即2m ， 若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限， 必有20m ，即m的取值范围为( 2,0)； 故选：D 10（3 分） 在空间直角坐标系Oxyz中， 四面体ABCD各顶点坐标分别为(2A， 2，1)，(2B， 2，1)，(0C，2，1)，(0D，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( ) A16 B12 C4 3 D6 【解答】解：通过各点的坐标可知， 第 11 页（共 20 页） A，B，C，

20、D四点恰为棱长为 2 的正方体的四个顶点， 故此四面体与对应正方体由共同的外接球， 其半径为体对角线的一半：3， 故其表面积为：12， 故选：B 11 （3 分）设P是抛物线 2 :4C yx上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与 (OQ O为坐标原点）垂直，则P到l的距离的最小值的取值范围是( ) A(0,1) B(0，1 C0，1 D(0，2 【解答】解：抛物线 2 4yx上的准线方程是1x 设点Q的坐标为( 1, ) t 则直线l的方程为 2 10xtyt 设与直线l平行的直线方程为0xtym代入抛物线方程可得 2 440ytym， 由 2 16160tm，可得 2 mt 故与直

21、线l平行且与抛物线相切的直线方程为 2 0xtyt 则P到l的距离的最小值 2 1 (0 1 d t ，1 故选：B 12 （3 分）已知函数( )(1)22f xlnxaxa若不等式( )0f x 的解集中整数的个数为 3，则a的取值范围是( ) A(13ln，0 B(13ln，2 2ln C(13ln，12ln D0，12ln 【解答】解： 1 ( )(1)fxa x ， 当1 0a 时，( )0fx，此时函数( )f x单调递增，不满足条件，舍去 当10a 时， 1 (1)() 1 ( )0 ax a fx x ，可得 1 1 x a 时取得极大值即最大值 1 ()(1)120 1 fl

22、naa a 而f（1）10a ，f（2）20ln，必须f（3）310lna ，f（4）422 0lna 解得：1312lnaln a的取值范围是(13ln，12ln 故选：C 第 12 页（共 20 页） 二、填空题二、填空题 13 （3 分）中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九 日走 1260 里，第一日，第四日，第七日所走之和为 390 里，则该男子的第三日走的里数为 120 【解答】解：由题意可得，每天走的路程是等差数列， 且 9 147 1260 390 S aaa ， 即 1 111 9 8 91260 2 36390 ad aadad 解得 1 10

23、0 10 a d ， 所以 31 2120aad 故答案为：120 14 （3 分）根据下列算法语句，当输入x，yR时，输出s的最大值为 2 【解答】解：依题意 0 0 23 y xy xy ， 不等式组表示的平面区域如图：sxy，所以yxs ， 故当yxs 过直线0xy和直线230xy时，s最大， 即过(1,1)时，s最大，此时1 12s 故填：2 第 13 页（共 20 页） 15 （3 分）已知( )f x是R上的偶函数，且当0x时， 2 ( ) |3 |f xxx，则不等式(2) 2f x 的解集为 |13xx剟或 177 4 2 x 剟或 117 0 2 x 剟 【解答】解：根据题意

24、，当0x时， 2 ( ) |3 |f xxx， 此时若有( ) 2f x ，即 2 0 |3 |2 x xx ，解可得01x剟或 317 2 2 x 剟，即此时( ) 2f x 的解集 为 |01xx剟或 317 2 2 x 剟， 又由( )f x为偶函数，则当0x时，( ) 2f x 的解集为 | 10xx 剟或 317 2 2 x 剟， 综合可得：( ) 2f x 的解集为 | 11xx 剟或 317 2 2 x 剟或 317 2 2 x 剟； 对于(2) 2f x，则有12 1x剟或 317 22 2 x 剟或 317 22 2 x 剟 则不等式(2) 2f x的解集 |13xx剟或 1

25、77 4 2 x 剟或 117 0 2 x 剟； 故答案为： |13xx剟或 177 4 2 x 剟或 117 0 2 x 剟 16 （3 分）设m，n为平面外两条直线，其在平面内的射影分别是两条直线 1 m和 1 n， 给出下列4个命题： 11 / / /mnmn； 1 / /mnm与 1 n平行或重合； 11 mnmn； 11 mnmn其中所有假命题的序号是 【解答】解：两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故错误， 若/ /mn，则 1 m与 1 n平行或重合或是两个点，故错误 因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角， 反之在平面内的射影垂直的两条直线所成 的角可以是锐角

26、，故错误 两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线， 也可以是一条直线和一个点等 第 14 页（共 20 页） 其他情况，故错误 故假命题是， 故答案为： 三、解答题三、解答题 17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A，sin B，sinC成等差数 列，且 1 cos 3 C （1）求 b a 的值； （2）若11c ，求ABC的面积 【解答】解： （1）由题意可得，2sinsinsinBAC， 由正弦定理可得，2bac， 2cba ， 1 cos 3 C 由余弦定理可得， 222222 1(2) cos 322 abcabba C abab ，整理可得，10

27、9ab， 10 9 b a （2）当11c 时，由 112 109 ba ab ，解可得9a ，10b ， 1 cos 3 C ， 2 2 2 sin1 3 Ccos C， 112 2 sin9 1030 2 223 ABC SabC 18某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方 法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 50 株，对每株进行综合 评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为 80 及以上的 花苗为优质花苗 （1）求图中a的值，并求综合评分的中位数 （2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块试验地

28、随机抽取 3 棵花苗，求所 抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望； （3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关 第 15 页（共 20 页） 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法 10 合计 附：下面的临界值表仅供参考 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd) 【解答】解： （1）因为

29、(0.0050.0100.0250.020) 101a， 解得0.040a ， 设y为评分的中位数，则前三组的概率和为 0.40，前四组的概率和为 0.80，知8090y， 所以0.4(80)0.040.5y，则82.5y ； （2）由（1）知，树高为优秀的概率为：0.40.20.6， 由题意知的所有可能取值为 0，1，2，3， 03 3 (0)0.40.064PC， 12 3 (1)0.40.60.288PC， 22 3 (2)0.40.60.432PC， 33 3 (3)0.60.216PC， 所以的分布列为： 0 1 2 3 第 16 页（共 20 页） P 0.064 0.288 0.

30、432 0.216 所以数学期望为( )3 0.61.8E ； （3）填写列联表如下， 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法 40 10 50 合计 60 40 100 计算 2 2 100(20 104030) 16.62.706 60405050 K ， 所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关 19如图 1，在边长为 4 的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD 上，且 1 4 AMAD将AED，DCF分别沿DE，DF折叠使A，C点重合于点P，如图 2 所示 （1）试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明； （2）求二面角MEFD

31、的余弦值 【解答】解： （1）/ /PB平面MEF 证明如下：在图 1 中，连接BD，交EF于N，交AC于O，则 11 24 BNBOBD， 在图 2 中，连接BD交EF于N，连接MN， 在DPB中，有 1 4 BNBD， 1 4 PMPD，/ /MNPB PB 平面MEF，MN 平面MEF，故/ /PB平面MEF； （2）图 2 中的三角形PDE与三角形PDF分别是图 1 中的Rt ADE与Rt CDF， PDPE，PDPF， 又PEPEP，PD平面PEF，则PDEF， 又EFBD，EF平面PBD， 第 17 页（共 20 页） 则MND为二面角MEFD的平面角 可知PMPN，则在Rt MN

32、D中，1PM ，2PN ，则 22 3MNPMPN 在MND中，3MD ，3 2DN ，由余弦定理，得 222 6 cos 23 MNDNMD MND MN DN 二面角MEFD的余弦值为 6 3 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为( 2F，0)，过点F且垂直于x轴的直线 与椭圆相交所得的弦长为 2 （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆内一点(0, )Pt，斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点，设直线OM，(ON O 为坐标原点）的斜率分别为 1 k， 2 k，若对任意k，存在实数，使得 12 kkk，求实数 的取值范围 【解答】解： （1）椭圆 22 22

33、:1(0) xy Cab ab 的右焦点为( 2F，0)，则2c ， 过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2， 22 22 1 cy ab ，解得 2 b y a ， 2 2 2 b a ， 即 2 ba， 222 2abca， 解得2a ， 椭圆的方程为 22 1 42 xy ， （2）设直线l的方程为ykxt 由 22 1 42 xy ykxt ，消元可得 222 (21)4240kxktxt， 第 18 页（共 20 页） 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 12 2 4 21 kt xx k ， 2 12 2 24 21 t x x k ， 而 1

34、21212 12 22 12121212 1144 2(22 242 yykxtkxtxxktk kkktktkt xxxxxxx xtt ， 由 12 kkk，得 2 4 2 k k t ， 因为此等式对任意的k都成立，所以 2 4 2t ，即 2 4 2t 由题意得点(0, )Pt在椭圆内，故 2 02t ，即 4 0 22 ， 解得2， 故实数的取值范围为2，) 21已知函数 2 1 ( )()4 2 x f xexa （1）若( )f x在(,) 上单调递增，求a的取值范围； （2）若0x，不等式( ) 0f x 恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （1）( )() x fxexa，

35、 若( )f x在(,) 上单调递增， 则() 0 x exa即 x a xe在R恒成立， 令( ) x h xxe，则( )1 x h xe ， 令( ) 0h x，解得：0x， 令( ) 0h x，解得：0x， 故( )h x在(,0)递增，在(0,)递减， 故( )(0)1 max h xh ， 故1a； （2）由 2 1 ( )()4 2 x f xexa，得( ) x fxexa， 令( ) x h xexa，则( )1 0 x h xe ， 故( )h x在0，)递增，且(0)1ha ， 当1a时，( ) 0fx，函数( )f x递增， 由于( ) 0f x 恒成立，则有 2 1

36、(0)50 2 fa，即1010a剟， 故110a 剟满足条件， 第 19 页（共 20 页） 当1a 时，则存在 0 (0,)x ，使得 0 ()0h x， 当 0 0xx时，( )0h x ，则( )0fx，( )f x递减， 当 0 xx时，( )0h x ，则( )0fx，( )f x递增， 故 0 2 00 1 ( )()()4 0 2 x min f xf xexa ， 又 0 x满足 0 00 ()0 x h xexa，即 0 0 x xae， 故 00 2 1 4 0 2 xx ee ，则 00 2 28 0 xx ee ， 即 00 (4)(2) 0 xx ee，得 0 04

37、xln， 又 0 0 x axe，令( ) x u xxe，则( )1 x u xe ， 可知，当04x ln 时，( )0u x，则( )u x递减， 故( )44u xln ， 此时441lna ，满足条件， 综上，a的范围是 44ln ，10 22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的 极坐标方程为4cos （1）求M的普通方程； （2）将圆M平移使其圆心为 1 ( 2 N ，0)，设P是圆N上的动点，点A与N关于原点O对 称，线段PA的垂直平分线与PN相交于点Q，求Q的轨迹的参数方程 【解答】解： （1）将原参数方程两端同乘以cos，sin得： 2

38、22 22 coscos sinsin ， 即 222 22 xcos ysin 2 2 得 22 (2)4xy，即M的普通方程为： 22 (2)4xy， （2）依题意Q点坐标为 1 ( 2 ，0)，A点坐标为 1 ( 2 ，0)，且圆的半径2r Q在线段PA的垂直平分线上，| |PQAQ | | | | 1rNPNQPQQNQANA ， 第 20 页（共 20 页） 根据椭圆的定义，Q的轨迹为，以N，A为焦点，以 2 为长轴长的椭圆即1a ， 1 2 c ， 3 2 b ， Q的参数方程为： cos 3 sin 2 x y 23设0a ，0b ，且abab （1）若不等式|2|xxab恒成立，求实数x的取值范围 （2）是否存在实数a，b，使得48ab？并说明理由 【解答】 解：（1）0a ，0b ，2abab ， 2 () 4 ab ab ， 2 () 4 ab ab ，4ab ， 即ab的最小值为 4，2ab时取得最小值 不等式|2|xxab恒成立等价于|2|4xx， 0 2 4 x xx 或 02 2 4 x xx 或 2 2 4 x xx ， 解得：13x 剟， 所以实数x的取值范围是 1，3 （2）联立 48 abab ab 消去b得 2 41180aa，121 1280， 2 41180aa无 解， 所以不存在实数a，n使得48ab