数学(理)新高考二轮专项复习: 排列、组合.docx
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1、1 排列、组合 1理解加法原理和乘法原理,会解决简单的计数问题. 2理解排列、组合的概念,掌握排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题. 1两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条 件 完成一件事有两类方案,在第 1 类方案中有 m 种 不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法 结 论 完成这件事共有Nmn种不同的方法 完成这件事共有Nm n种不同的方法 【注意】【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成若能“一次性”完成,则不需分步,只需分类;否则 就分步处理 2两个
2、计数原理的区别与联系 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 区别一 每类办法都能独立完成这件事, 它是独立的、 一次的,且每次得到的是最后结果,只需一 种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果,任何一步都 不能独立完成这件事,缺少任何一步也不 可,只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的,并且既不能重复 也不能遗漏 2 3排列 (1)排列的定义排列的定义 一般地,从 n 个不同元素中取出()m mn个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一
3、个排列. (2)排列数、排列数公式)排列数、排列数公式 从 n 个不同元素中取出()m mn个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数,用符号Am n 表示. 一般地,求排列数Am n 可以按依次填 m 个空位来考虑: 假设有排好顺序的 m 个空位,从 n 个元素 12 , n a aaL中任取 m 个去填空,一个空位填 1 个元素,每一 种填法就对应一个排列,而要完成“这件事”可以分为 m 个步骤来实现. 根据分步乘法计数原理,全部填满 m 个空位共有(1)(2)(1)n nnnmL种填法. 这样,我们就得到公式Am n (1)(2)(1)n nnnmL,其
4、中,m n N,且mn.这个公式叫做排 列数公式. n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一个全排列,这时公式中mn,即有 A(1) (2)3 2 1 n n nnn L,就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用!n表示.所以 n 个不同元素的全排列数公式可以写 成A! n n n.另外,我们规定0!1. 于是排列数公式写成阶乘的形式为Am n ! ()! n nm ,其中,m n N,且mn. 注意:注意: 排列与排列数是两个不同的概念, 一个排列是指 “按照一定的顺序排成一列” , 它是具体的
5、一件事, 排列数是指“从 n 个不同元素中取出()m mn个元素的所有不同排列的个数” ,它是一个数. 4组合 (1)组合的定义)组合的定义 一般地,从 n 个不同元素中取出()m mn个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合. (2)组合数、组合数公式)组合数、组合数公式 3 从 n 个不同元素中取出()m mn个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数,用符号Cm n 表示. A(1)(2)(1) C A! m m n n m m n nnnm m L ,其中,m n N,且mn.这个公式叫做组合数公式. 因为Am n ! (
6、)! n nm ,所以组合数公式还可以写成Cm n ! !()! n m nm ,其中,m n N,且mn. 另外,我们规定 0 C1 n . (3)组合数的性质)组合数的性质 性质 1:CC mn m nn . 性质 1 表明从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合,与剩下的nm个元素的组合是一一对应关系. 性质 2: 1 1 CCC mmm nnn . 性质 2 表明从1n个不同元素中任取 m 个元素的组合,可以分为两类:第 1 类,取出的 m 个元素中不 含某个元素 a 的组合,只需在除去元素 a 的其余 n 个元素中任取 m 个即可,有Cm n 个组合;第 2 类,取 出的 m 个元
7、素中含有某个元素 a 的组合,只需在除去 a 的其余 n 个元素中任取1m个后再取出元素 a 即可,有 1 Cm n 个组合. 考向一 两个计数原理的综合应用 1(1)使用分类加法计数原理遵循的原则: 有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则 (2)应用分类加法计数原理要注意的问题: 明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎样才算是完成这件事 完成这件事的 n 类方法是相互独立的,无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再 用到其他的方法 确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属
8、于某一类方案,不同类方案的任 意两种方法是不同的方法,也就是分类时必须既不重复也不遗漏 2应用分步乘法计数原理要注意的问题: 4 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件 事的,也就是说必须要经过几步才能完成这件事 (2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步骤,这件事 都不可能完成 (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤 之间既不能重复也不能遗漏 3(1)利用两个原理解决涂色问题 解决着色问题主要有两种思路:一是按位置考虑,关键是处理好相交线
9、端点的颜色问题;二是按使用颜色 的种数考虑,关键是正确判断颜色的种数 解决此类应用题,一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分,再分类完成其余部分要切实做到合理分类, 正确分步,才能正确地解决问题 (2)利用两个原理解决集合问题 解决集合问题时, 常以有特殊要求的集合为标准进行分类, 常用的结论有 123 , n a a aa的子集有2n个, 真子集有21 n 个 典例典例 1 一个三位数,其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如 735,414 等),那么,这 样的三位数共有 A240 个 B249 个 C285 个 D330 个 【答案】C 【解析】因为十位上的数字既小于百位上的
10、数字也小于个位上的数字, 所以当十位数字是 0 时有 9 9=81 种结果, 当十位数字是 1 时有 8 8=64 种结果, 当十位数字是 2 时有 7 7=49 种结果, 当十位数字是 3 时有 6 6=36 种结果, 当十位数字是 4 时有 5 5=25 种结果, 当十位数字是 5 时有 4 4=16 种结果, 当十位数字是 6 时有 3 3=9 种结果, 5 当十位数字是 7 时有 2 2=4 种结果, 当十位数字是 8 时有 1 种结果, 所以共有 816449362516941=285 种结果 【名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略: (1)与数字有关的问题可分类解决
11、,每类中又可分步完成,也可以直接分步解决 (2)与几何有关的问题可先分类,再分步解决 (3)涂色问题可按颜色的种数分类完成,也可以按不同的区域分步完成 1高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级 要去,则不同的参观方案有 A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 考向考向二二 排列数公式和组合数公式的应用排列数公式和组合数公式的应用 A C A m m n n m m 这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系, 也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公 式都有相应的连乘形式和阶乘形式,连乘形式多用于数字计算,阶乘形式多用于对含有字母的
12、排列数或者 组合数进行变形或证明. 典例典例 2 求下列方程中的 值. (1) : . (2) 8 4 9 ; . 【解析】(1)由 : 得 ( )( ) ( ) ( ). 且 , ( )( ) ( ) ( ), 化简整理得 , 6 解得 (舍去). . (2)由 8 4 9 ; 得 3 8!4 9! 8!10!xx , 即 3 8!4 9 8! 8!1098!xxxx ,化简得 , 解得 . 且 , 原方程的解是 . 【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时,应先求出未知数的取值范围,再利用排列数公式化简 方程或不等式,最后得出问题的解. 2计算: (1) 2973 100100101
13、CCA; (2) 333 3410 CCC. 3(1)解方程: 23 99 CC xx x N(); (2)解不等式: 1 99 A6A xx x N(). 考向考向三三 排列问题的求解排列问题的求解 解决排列问题的主要方法有: (1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特 殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑,都要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置. (2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列,同时要注意捆 绑元素的内部排列. (3)解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再
14、将不相邻的元素插在前面 元素排列的空当中. 7 (4)对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列. (5)若某些问题从正面考虑比较复杂,可从其反面入手,即采用“间接法”. 典例典例 3 有8本互不相同的书,其中数学书3本,英语书3本,语文书2本,若将这些书排成一列放在书架 上,则数学书恰好排在一起,英语书也恰好排在一起的排法共有_种.(用数值回答) 【答案】864 【解析】由于数学书恰好排在一起,英语书也恰好排在一起,则将数学书捆绑成一个大元素,英语书也捆 绑成一个大元素,与两本语文书形成四个元素, 因此,所有的排法种数为 433 433 A A A864种. 故答案为8
15、64. 4用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数有 A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 5来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名,执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作,每个场地由 两名来自不同年级的裁判组成,则不同的安排方案共有_种. 考向考向四四 组合问题的求解组合问题的求解 组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素,在解答时可用直接法,也可用 间接法.用直接法求解时,要注意合理地分类或分步;用间接法求解时,要注意题目中“至少”“至多”等 关键词的含义,做到不重不漏. 典例典例 4 某学校为了迎接市春季
16、运动会,从 5 名男生和 4 名女生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛,要 求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 8 A85 B86 C91 D90 【答案】B 【解析】方法一(直接法):由题意,可分三类考虑: 第 1 类,男生甲入选,女生乙不入选: 12213 34343 C CC CC31; 第 2 类,男生甲不入选,女生乙入选: 12213 43434 C CC CC34. 第 3 类,男生甲入选,女生乙入选: 2112 3434 CC CC21. 男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31+34+21=86. 方法二(间接法):从 5 名男生和 4
17、 名女生中任意选出 4 人,男、女生都有的选法有 444 954 CCC120 种; 男、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选的方法有 44 74 CC34种, 男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 12034=86. 故选 B. 6教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文,有 4 个国家可供选择,每名教师随机选择一个国家,则恰有 2 名教师选择同一个国家的概率为 A 3 8 B 4 9 C 9 16 D 9 32 7某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘,其中甲单位招聘 2 名,乙单位招聘 2 名,丙单位招聘 1 名,并且 甲单位要至少招聘一名男生,现有 3 男 3 女参加三所单位的招聘,
18、则不同的录取方案种数为 A36 B72 C108 D144 考向考向五五 排列与组合的综合应用排列与组合的综合应用 先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法,利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步:选元素,即选出符合条件的元素; 9 第二步:进行排列,即把选出的元素按要求进行排列; 第三步:计算总数,即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数. 典例典例 5 有甲、乙、丙 3 项任务,任务甲需要 2 人承担,任务乙、丙各需要 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承 担这 3 项任务,不同的选法共有_种(用数字作答). 【答案】2520 【解析】方法一:先从 10
19、人中选出 2 人承担任务甲,再从余下 8 人中选出 1 人承担任务乙,最后从剩下的 7 人中选出 1 人承担任务丙. 根据分步乘法计数原理,不同的选法共有 211 1087 C C C2520种. 方法二:先从 10 人中选出 2 人承担任务甲,再从余下 8 人中选出 2 人分别承担任务乙、丙. 根据分步乘法计数原理,不同的选法共有 22 108 C A2520种. 8某公司有五个不同部门,现有 4 名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门 安排两名,则不同的安排方案种数为 A40 B60 C120 D240 92019 北京世园会期间,安排 5 名志愿者到 3 个展区提
20、供服务,每个展区至少一名志愿者,不同的安排方 案共有_种. 1已知 n, * mN,n m,下面哪一个等式是恒成立的 A ! C ! m n n m B ! ()! Am n n nm 10 C 11 1 CCC mmm nnn D 11 1 CCC mmm nnn 2 四大名著是中国文学史上的经典作品, 是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中, 甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著红楼梦 、 三国演义 、 水浒传 、 西 游记 (每种名著至少有 5 本) ,若每人只借阅一本名著,则不同的借阅方案种数为 A 5 4 B 4 5 C 4 5 C D 4 5
21、 A 3有 6 名学生,其中有 3 名会唱歌,2 名会跳舞,1 名既会唱歌又会跳舞,现从中选出 2 名会唱歌的,1 名会跳舞的,去参加文艺演出,则所有不同的选法种数为 A18 B15 C16 D25 4若 22 2 C A42 n ,则 ! 3!4 ! n n 的值为 A60 B70 C120 D140 5如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”,那么在由1,2,3,4,5五个数 字组成的有重复数字的四位数中,“伪豹子数”共有( )个. A16 B12 C28 D20 6某中学从 4 名男生和 4 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动,若选出的 4 人中既有男生又有女生,则
22、不 同的选法共有 A68 种 B70 种 C240 种 D280 种 7六安一中高三教学楼共五层,甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼 25 层的某一层楼上课,则满足且仅有 一人上 5 楼上课,且甲不在 2 楼上课的所有可能的情况有( )种. A27 B81 C54 D108 8如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有 5 种颜色 可供使用,则不同的染色方法种数是 11 A420 B210 C70 D35 9 某台小型晚会由 6 个节目组成, 演出顺序有如下要求: 节目甲必须排在前两位, 节目乙不能排在第一位, 节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编
23、排方案共有 A36 种 B42 种 C48 种 D54 种 104 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为 A 8 1 B 8 3 C 8 5 D 8 7 11 年平昌冬奥会期间, 名运动员从左到右排成一排合影留念,最左端只能排甲或乙,最右端不能排 甲,则不同的排法种数为 A B C4 D 4 12将 4 名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作,要求每一个地方至少安排一名志愿者,其中 甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作,则不同的安排方法共有 A24 种 B30 种 C32 种 D36 种 13 岳阳高铁站 进站口有 3 个闸机检票
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