《深本数学116解题模型》（初中版）配套母题60页.ppt

1、深本数学深本数学116解题模型解题模型（初中版）配套母题（初中版）配套母题 目录1 等角套 鸡爪图（旋转大法） 内含半角模型（截长补短+旋转大法） 将军饮马（牛喝水）两村一路问题及拓展 妙趣横生的“十字架”（四边形+三角形） 中点处理策略 五大模型 角平分线处理策略（双垂、单垂、双等、与平行等腰叠加） 相似模型俱乐部 倍半角处理策略 三角比与解三角形及应用模型（确定即可求的理念进一步深化） 一次函数中K的颜值及其妙用 二次函数常用二级结论及解题套路 反比例函数中的几何模型及二级结论 完美无缺的圆（圆中的模型） 妙不可言、威力无穷的12345模型 目录2 “魔鬼模型”婆罗摩笈定理及模型 方、不、

2、函综合应用题解题策略 数与代数中的二级结论 正方体展开模型识记 方程与不等式重点、难点、易错点处理策略 瓜豆原理（相似+缩放+旋转的叠加） 胡不归（斜边打折变对边，正弦助力胡可归） 最大张角（米勒定理） 阿氏圆（子母相似邂逅圆创造奇迹） 中考六道大题破解策略总结及示例 作辅助线的的原则 初中数学116解题模型完整版 与初中数学紧密相关的几个历史人物 三角形全等的 模型与技巧讲义(初二培优特供) 初中数学通关口诀初中数学通关口诀 代数抓精髓；代入是关键。代数抓精髓；代入是关键。      代数一般式；两得全搞定。代数一般式；两得全搞定。 算功过三关；解功四门槛。算功

3、过三关；解功四门槛。      方程辨两类；函数识三型。方程辨两类；函数识三型。 函数三姐妹；勾股三用途。函数三姐妹；勾股三用途。      系数不为零；指数要相吻。系数不为零；指数要相吻。 非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。      统计要通关；两查走在前。统计要通关；两查走在前。 几何要通透；精髓是特殊。几何要通透；精髓是特殊。      四图加一表；数据整理好。四图加一表；数据整理好。 重点特殊图；识图定性判。重点特殊图；识图定性判。   &n

4、bsp;  数据分析透；三差加三数。数据分析透；三差加三数。 两图谈感情；特殊关系联。两图谈感情；特殊关系联。      概率也不难；频率能估算。概率也不难；频率能估算。 全等加相似；对称与旋转。全等加相似；对称与旋转。      列表和树型；搞清总和分。列表和树型；搞清总和分。 平移与投影；位似也要算。平移与投影；位似也要算。      鱼池鱼几多；应用记概型。鱼池鱼几多；应用记概型。 考点说举做；做题改变找。考点说举做；做题改变找。      动点巧分类；最短牛

5、喝水。动点巧分类；最短牛喝水。 条件挖隐含；分类不漏点。条件挖隐含；分类不漏点。      找准临界点；相似巧破题。找准临界点；相似巧破题。 思路技巧精；反思记模型。思路技巧精；反思记模型。      代数两特殊；首先特殊数。代数两特殊；首先特殊数。 应用均同宗；关系是根本。应用均同宗；关系是根本。      数数拉关系；方不与函数。数数拉关系；方不与函数。 元量同回代；运算有六种。元量同回代；运算有六种。 关系大小等；再加倍比分。关系大小等；再加倍比分。 每每有热点；负元巧应用。每每有热点；负元巧应用。

6、 算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。 解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、 不等式（组）的四种功力。 勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂直的三项功 能。 初中数学精髓初中数学精髓 1.几何：两个字概括特殊：特殊图形；特殊关系（全 等、相似）。 2.代数：两个字概括代入：字母的含义代入代数式、 方程、不等式或者函数。 3.几何三大方法：全等、相似、勾股定理。 4.辅助线的认识 对内分割 对外补形 5.压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。 戏说数学之代数 分式方程（可化为一元一次方程） 死数（实数） 活数（含有字母的数） 代数式（定义） 有理式 无理式

7、整式 分式 单项式 多项式 特 殊 数 数与数之间 的特殊关系 相等关系：等式及方程 不等关系：不等式（组） 全部关系：函数与图象 整式方程 一元（一次；二次） 二元（一次方程组） 代数学什么？数以及数与代数学什么？数以及数与 数的关系！数的关系！ 按照数的性质为代数式分类按照数的性质为代数式分类 代数式 死数（实数）死数（实数） 活数（含字母的数）活数（含字母的数） 永正数：非负数永正数：非负数+正数正数 非负数：平；绝；根非负数：平；绝；根 永负数：（非负数永负数：（非负数+正数）正数） 条件活数（川剧变脸）条件活数（川剧变脸） 戏说数学之几何 基本图形（点、线、面、空） 特殊图形（三、四

8、、多、圆） 特殊图形 三角形 性质 （直角等腰） （平矩菱正） 特特 殊殊 图图 图与图之间图与图之间 的特殊关系的特殊关系 全等关系 相似关系 变换关系   定义 四边形 判定 定义 性质 判定 对称兴致平移位似投影视图 多边形与圆（正、圆） 普通图形（丑） 特殊图形（美） （整容）（整容） 几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！ 学习几何要过四关 画图关：按照题意画图形。 语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语 言这三种语言的转换和翻译。 推理关：证明，推理的能力和步骤。 模型关：掌握常用的几何模型。 诀曰：等角套，套

9、等角，顺藤摸瓜找相似。 备注：等角套也叫共点等角、旋转等角。分为“内套和外套。 O A B C D O A B C D 如图：若AOBCOD（等角套：内套；外套 ） 则立得： AOCBOD（理由：             ） 等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两 个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之拨开云雾见天日！ 1 诀曰：歪八套，和歪 A，形影不离似孪生。  特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生） A B C D O 若DC，这个图形为“歪8”， 显然AODBOC，添油加醋

10、 A B C D O 若DC，这个图形为“歪8”， 显然AODBOC，添油加醋连接 AB、DC， AOBDOC相似吗？为什么？ 八字倒角八字倒角（共边等角，一等三等）：（共边等角，一等三等）： 如图：如果BAC与BDC； DAC与DBC； ABD与ACD BDA与ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。 思考：为什么叫“共边等角共边等角”？   （学了圆，理解、记忆更容易） 母题一母题一 A B C D E F 1.如图：ABC和ADE均为等边三角形， 连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE 于F，连接AF。 求证： ABDACE BFC=60 AF平分DFE 2.若

11、把上题已知条件中的等边三角形 改为等腰直角三角形，BAC和DAE 为直角，请判断：上述结论有什么变化？ 试证明你的判断。 3.若把“1”题已知条件中的等边三角形 改为顶角相等的两个等腰三角形，BAC 和DAE顶角，请判断：上述结论有什么 变化？试证明你的判断。 4.若把“1”中的条件改为： ABC中， DEBC，把 ABC旋转到如图所示的 位置。其他条件不变。请判断：上述 结论有什么变化？试证明你的判断。 A B C D E F D E 口诀：口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。手拉手，是旋转，等边等腰和任三。 母题二母题二 A B C E D F G M 1.如图：点B、C、D在一条直线上

12、，ABC与ECD 都是等边三角形，其中的点及对应的字母如图所示。 证明： BCEACD（BE=AD本质：等角套+旋转全等） CDFCEG  CBGCAF（旋转全等） CGF是等边三角形。 MC是GMF的平分线。（以点M为顶点的角有 六个60角，请你找出来并说明理由）。 A B C D E M E G 2.如图：把题“1”中的两个等边三角形绕C点 反向旋转（左逆右顺），就形成了一对新的 “双等边三角形”。 已知： ABC为任意三角形，ABAC， BAC120，分别以AB、AC为边向三角形 外侧作两个等边三角形：ABD与ACE。其中 中的点及对应的字母如图所示。 证明：BE=DC &nb

13、sp;MA是GME的平分线。（以点M为顶 点的角有六个60角，请你找出来并说明理由）。 AEG是等边三角形吗？为什么？AE=AE吗？说明理由。 注意：2中的点M为ABC的费马点： 三角形中到三个顶点距离的和最小的 点！且这个最小距离就是DC或BE（为（为 什么？）什么？） 双等边模型 母题三母题三 双正方形模型 A B C D E F G H 1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形， G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证： BG=DE  BGDE     （内含内含：歪八套歪歪八套歪A+四点共圆，与圆结合：宝藏也四点共圆，与圆结合：宝藏也） A B

14、 C D E F G H 2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形， BG交DE于H。求证： BG=DE  BGDE  （对照“对照“1”，类比推理”，类比推理）    母题四母题四 A B C 1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC 上的中点，E、F分别在AB、AC上，且EDEF， 求证：BE=AF  EDF为等腰直角三角形 BE2+CF2=EF2 SABC=2S四边形AEDF E F 2.在“1”中，若EF与AD相交于G，其他条件 不变，求证：ED2=EG EA GE GF=GA GD A B C E F G 母题五母题五

15、 母题六母题六 2 诀曰：诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。 简释简释 ：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过 角的顶点的线段（所谓的鸡爪图鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与 相同的角度，构造“等角套等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。全等三角形。利用利用 全等的性质去解决问题，事半功倍。全等的性质去解决问题，事半功倍。 A B C D A B D C E 如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段怎么做辅助线？怎么做辅助线？ 作AE=AD，且EAD= BAC（

16、或：把线段AD绕A点旋转一个 与BAC相等的度数 ），可以达到柳暗花明又一村柳暗花明又一村的奇效。 鸡爪图 母题七母题七 A B C D 如图：等腰直角BAC中，BAC=90，D为 BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量 关系并证明。 母题八母题八 四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略 1.如图：正方形ABCD内有一点E，且EA=1，EB=2 EC=3，求AEB的度数。 A B C D E 鸡爪旋转（图中几个鸡爪？ 选择哪个？为什么？） 口诀：口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。 2.如图：ABC=30， ADC=60，AD=DC， 求证：AB2+BC2=BD2 A B C

17、 D 如果AB=4，BC=3，求BD=？ A B C D 图解：图中直角=360 -（360-30-60）=90 母题九母题九 A B C E 如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5 求AEB的度数。 母题十母题十 “邻补四边形模型”口诀：“邻补四边形模型”口诀：对角补，邻边等，知二推一角平分对角补，邻边等，知二推一角平分。 A B C D 邻补四边形：邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形！对角互补，邻边相等的四边形！ 如图：四边形ABCD中，ABC=ADC=90，且AB=AC，求证：BD平 分ADC=90 DA+DC=   BD S四边形ABCD=1/2BD2 特

18、别提示：特别提示：类似题目可以用“旋转大法旋转大法”和“截长补短截长补短”法以及“角平角平 分线双垂直模型分线双垂直模型”解决，建议对比提升解 题能力。 2 母题十一母题十一 A B C D 1.如图：四边形ABCD中，ABC=60， ADC=120且AB=AC， 求证：BD平分ADC DA+DC= BD S四边形ABCD=   BD2 特别提示：特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了 什么变化？ 3 4 2.如图：四边形ABCD中，ABC+ADC=180且AB=AC， 求证：BD平分ADC 问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？ 小结，拓展：小结，拓展：上面是所谓的共

19、点等线构成的“鸡爪图鸡爪图”，旋转后构成一对 全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图鸡爪图”呢？可以如法炮制如法炮制吗？ A B C D A B D C E 如图：若已知ABAC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条线段 怎么做辅助线？怎么做辅助线？作AD：AC=m，且DAE= BAC（或：把线段AC绕 A点旋转一个与BAC相等的度数，并使 AD：AE=m ），会发生什么？ 有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似神气的一转成双！ 鸡爪图 母题十二母题十二 方法方法 3 旋转+截长补短：破解半角模型半角模型诀曰：诀曰： 共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。  鸡爪图，三线段，抓住定角也

20、旋转。 线段和，要得证，截长补短是正本。 正方形，等直三，内含半角转一转。 母题十三母题十三 1.如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的 点，且EAF=45， 证明：EF=BE+DF 证明ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。 过A作AHEF于H，证明：AH=BC 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。 2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于M，连接EM、 GF。GF与EM相交于O点。 证明：BG2+MD2=GM2  证明：AGF与AME是等腰直角三角形 证明：AE平分BEF；AF平分DFE 证明： EAB EFG； ADF EMF 图中有至少六个圆

21、内接四边形，太多的相似三角 形可以自己去找。 G M O 更多结论参考下页更多结论参考下页 正方形内含半角正方形内含半角 母题十四母题十四 邻补四边形邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形） A B C D E F A B C D E F A B C E F 1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的 点， ABC= ADC= 90且EBF=45， 猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。 2.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的 点， ABC+ADC= 180且EBF=1/2 ABC ， 猜想并证明线段EF、CE

22、、AF之间的数量关系 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。 2.如图：等腰直角ABC中， ABC =90，E、F都是AC上的点， 且EBF=45 ， 猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题其实就是母题 十二“2”中的第一问！ 自造半角模型解体策略自造半角模型解体策略：三角形：三角形作高翻折作高翻折！ 4 将军饮马将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！ 解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。 解题策略：对称、翻折对称、翻折化同为异；化异为同；化折为直。 口诀：和与差，求最值，将军饮马七七模型模型！   &n

23、bsp;A B P 两村一路（异侧）两村一路（异侧） 和最小和最小 两村一路（同侧）两村一路（同侧） 和最小和最小 一村两路和最小一村两路和最小 两村两路和最小两村两路和最小 两村一路（线段）和最小两村一路（线段）和最小 两村一路（同侧）两村一路（同侧） 差最大差最大 两村一路（异侧）两村一路（异侧） 差最大差最大 母题十五母题十五 A B 函数中的将军饮马（四大模型） 如图：平面直角坐标系中有A、B两点 A（1，3）；B（4，2）。 若x轴上有一动点P，当PA+PB最短 时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。 若x轴上有一动点P，y轴上有一动点 Q，当APQ的周长最短时，求出P、 Q两点的坐

24、标，并求出此时APQ的 周长的最小值。 若x轴上有一动点P，y轴上有一动点 Q，当四边形AQPB的周长最短时， 求出P、 Q两点的坐标。 若x轴上有一线段EF，且EF=1，当四 边形AEFB的周长最短时，求出E、F 两点的坐标。 A B O O 备用图 母题十六母题十六 “变态变态的将军饮马”的将军饮马” 造桥选址造桥选址问题问题 母题十七母题十七 两村一路 母题十八母题十八 A B C D M N 两村一路 母题十九母题十九 两村一路 母题二十母题二十 “变态的”两村一路：固定变量法 答案：答案：先设先设E点不变，画出点不变，画出P点后在确定点后在确定E的位置！的位置！固定变量法固定变量法

25、母题二十一母题二十一 E F 由面积关系得：EF与BC的距离为2， 所以，B点的对称点是A，连接AC， AC=5=PB+PC 一村两路 母题二十二母题二十二 母题二十三母题二十三 A O B P  1.如图，AOB=30，点P为AOB内部一点， 且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N， 当AMN的周长最短时，求周长的最小值。 1.如图，点P为AOB内部一点且OP=15， OA、OB上分别有两个动点M、N，当AMN的周长 最短为15   时，求AOB的度数。 A O B P  2 一村两路 母题二十四母题二十四 两村两路     &nbs

26、p;  A B C D M N P Q 如图：矩形ABCD中，AC=6，DC=4，DM=1 BN=2，P、Q分别为AB、AC上的两个动点， 当四边形MNPQ的周长最小时，求周长的最 小值。 母题二十五母题二十五 两村一路差最大两村一路差最大 O x y    A（2，2） B（8，-6） 如图：平面直角坐标系中，A、B两点的 坐标已知，在x轴上有一动点P。 当|PA-PB|最大时，求P点的坐标，并求 出|PA-PB|的最大值。 5 十字架模型： 诀曰：三角形，四边形，十字架中有乾坤 又改斜，又改正，横平竖直有矩形。 【正方形内的十字架结构正方形内的十字架结构】 1

27、、在正方形ABCD中， BNAM，则常见的结论 有哪些？垂等图垂等图 2、在正方形ABCD中，E、F、 G、H分别为AB、CD、BC、 AD边上的点，若EFGH， 证明：EF=GH若EF=GH， 证明：EFGH 以上结论，称之为“垂等图垂等图”！以上方法：改斜改斜 归正，横平竖直归正，横平竖直。 母题二十六母题二十六 如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落 在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边，求折痕FG的 长； 母题二十七母题二十七 【解析解析】 连接AE，由轴对称的性质可知，AEFG （应该是FG垂直平分AE） 这样就可以直接用上面的结论啦！ 所以由垂直得到相等，所以F

28、G=AE= （         ） 感悟：慧眼发现十字架十字架！ 解析 【十字结构在矩形中十字结构在矩形中】 【思考思考】既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现 垂直会有什么结论呢？垂直会有什么结论呢？ 1、如图，在矩形ABCD中， AB=m，AD=n，在AD上有一点 E，若CEBD，则CE和BD之间 有什么数量关系？证明请。 2、如图1，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为分别为AD、BC、AB、CD边上的点边上的点，当 EFGH时， 证明：FMEGNH  EF:GH=AB:BC 注意：红色的字很关键 否则，上述结论不成立 母题二十八母题二十八 例题例题2  如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于B、A两点，将AOB沿 着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数 经过点D时，求k的值. 母题二十九母题二十九 【解析解析】求出点D的坐标就好啦！ 这个题学生不会做，主要是图不 完整，太空啦！所以把它围成一 个矩形就好啦！（如图） 发现连接OD后，有ODAB（发 现没有，矩形内部垂直模型出来 了！） 解析 买数感丛书获取初中买数感丛书获取初中116解题模型全文解题模型全文PDF450页页