中考数学课件第20讲直角三角形(57张).ppt

1、2022-11-812022-11-822022-11-83 结合近几年中考试题分析，直角三角形的内容考查主要结合近几年中考试题分析，直角三角形的内容考查主要有以下特点：有以下特点：1.1.命题方式为直角三角形的判定、直角三角形的性质的命题方式为直角三角形的判定、直角三角形的性质的应用、勾股定理及其逆定理的证明及应用，题型以解答题为应用、勾股定理及其逆定理的证明及应用，题型以解答题为主；主；2.2.命题的热点为勾股定理的推广与应用命题的热点为勾股定理的推广与应用.2022-11-84 1.1.判定一个三角形为直角三角形有多种方法，勾股定理判定一个三角形为直角三角形有多种方法，勾股定理的逆定理是

2、最常用的方法，在一个三角形中，如果知道三角的逆定理是最常用的方法，在一个三角形中，如果知道三角形的三边长，就可以利用勾股定理的逆定理判定此三角形的形的三边长，就可以利用勾股定理的逆定理判定此三角形的形状；形状；2.2.在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，要分清第三边是直角边还是斜边；要分清第三边是直角边还是斜边；2022-11-85 3.3.掌握直角三角形的性质，明确一个定理与它的逆定理掌握直角三角形的性质，明确一个定理与它的逆定理之间的关系；之间的关系；4.4.探究多种方法证明勾股定理探究多种方法证明勾股定理.2022-11-862

3、022-11-872022-11-882022-11-892022-11-8102022-11-8112022-11-812直角三角形的判定直角三角形的判定直角三角形的判定基本上是从两个角度去思考直角三角形的判定基本上是从两个角度去思考.其一、是观察其一、是观察三角形的角，若有一个角为直角，则此三角形为直角三角形；三角形的角，若有一个角为直角，则此三角形为直角三角形；若一个三角形中有两个角互余，则此三角形为直角三角形；若一个三角形中有两个角互余，则此三角形为直角三角形；其二、是研究三边的数量关系，当其中两边的平方和等于第其二、是研究三边的数量关系，当其中两边的平方和等于第三边的平方，可运用勾股

4、定理的逆定理判定此三角形为直角三边的平方，可运用勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形；根据三角形一边上的中线等于此边的一半判定三角形；根据三角形一边上的中线等于此边的一半判定;还可还可以与圆的有关知识结合判定以与圆的有关知识结合判定.2022-11-813【例例1 1】(2010(2010泸州中考泸州中考)在在ABCABC中，中，AB=6AB=6，AC=8AC=8，BC=10BC=10，则该三角形为则该三角形为()()(A)(A)锐角三角形锐角三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)钝角三角形钝角三角形 (D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形【思路点拨思路点拨】【自主解答自主

5、解答】选选B.B.因为因为6 62 2+8+82 2=10=102 2，所以，所以ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2,所以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形.2022-11-8141.(20101.(2010湛江中考湛江中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形下列四组线段中，可以构成直角三角形的是的是()()(A)1(A)1，2 2，3 (B)23 (B)2，3 3，4 4(C)3(C)3，4 4，5 (D)45 (D)4，5 5，6 6【解析解析】选选C.C.因为因为3 32 2+4+42 2=5=52 2，所以以，所以以3 3、4 4、5 5为三边的三角形为三边的三角

6、形为直角三角形为直角三角形.2022-11-8152.(20112.(2011苏州中考苏州中考)如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点的中点.若若EF=2,BC=5,CD=3,EF=2,BC=5,CD=3,则则tanCtanC等于等于()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)344335452022-11-816【解析解析】选选B.B.连接连接BDBD，由已知得，由已知得EFEF是是ABDABD的中位线，的中位线，BD=2EF=4BD=2EF=4，又，又BC=5,CD=3,BC=5,CD=3,根据勾股定理的逆定理得根

7、据勾股定理的逆定理得BDCBDC是直角三角形，是直角三角形，BD4tanC.CD32022-11-817直角三角形的性质直角三角形的性质直角三角形的性质是指边、角之间的关系，特别是一些特殊直角三角形的性质是指边、角之间的关系，特别是一些特殊角对边与斜边之间的数量关系即：在直角三角形中角对边与斜边之间的数量关系即：在直角三角形中3030的锐的锐角所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有角所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，则此直角边所对的锐角等于一条直角边等于斜边的一半，则此直角边所对的锐角等于3030；直角三角形中；直角三角形中4545的锐角相

8、邻的直角边相等；斜边上的锐角相邻的直角边相等；斜边上的中线等于斜边的一半的中线等于斜边的一半.2022-11-818【例例2 2】(2010(2010菏泽中考菏泽中考)如图所示，在如图所示，在RtRtABCABC中，中，C=C=9090，A=30A=30，BDBD是是ABCABC的平分线，的平分线，CD=5 cmCD=5 cm，求，求ABAB的长的长.2022-11-819【思路点拨思路点拨】2022-11-820【自主解答自主解答】在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，A=30A=30，ABC=60ABC=60，又又BDBD是是ABCABC的平分线，的平分线，ABD=CBD=30

9、ABD=CBD=30，AD=DBAD=DB，又，又RtRtCBDCBD中，中，CD=5 cmCD=5 cm，BD=10 cmBD=10 cm，BC5 3 cmAB2BC10 3 cm.，2022-11-8213.(20113.(2011丽水中考丽水中考)如图，西安路与南京路平行，并且与八如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直，如果小明站在南京路与八一街垂直，曙光路与环城路垂直，如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为程约为()()(A)600 m (B)500 m (C)400

10、m (D)300 m(A)600 m (B)500 m (C)400 m (D)300 m2022-11-822【解析解析】选选B.B.由题意可知：由题意可知：ABCDABCD，则，则ABC=DCEABC=DCE，又有，又有BAC=DEC=90BAC=DEC=90，AC=DE=400 m,AC=DE=400 m,则可证则可证ABCABCECD(AAS)ECD(AAS)，得得CE=AB=300 m;CE=AB=300 m;又由勾股定理可知，在又由勾股定理可知，在RtRtABCABC中，中，.则可得则可得BE=BC-CEBE=BC-CE=200 m=200 m，由此可得：第一条行走路线为：，由此可

11、得：第一条行走路线为：AC+CE=400+300AC+CE=400+300=700(m)=700(m)，第二条行走路线为：，第二条行走路线为：AB+BE=300+200=500(m).AB+BE=300+200=500(m).2222BCACAB4003005002022-11-8234.4.在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，D D是是ABAB的中点，的中点，CD=4 cmCD=4 cm，则，则AB=_cm.AB=_cm.【解析解析】因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以以AB=2CD=8 cm.AB=2CD=8 cm

12、.答案：答案：8 82022-11-8245.(20105.(2010乐山中考乐山中考)如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，CDCD是斜边是斜边ABAB上的高，上的高，ACD=40ACD=40,则则EBC=_.EBC=_.【解析解析】因为因为CDCD是斜边是斜边ABAB上的高，上的高，ACD=40ACD=40,所以所以A=50A=50,所以所以EBC=140EBC=140.答案：答案：1401402022-11-8256.(20106.(2010宜宾中考宜宾中考)已知，在已知，在ABCABC中，中，A=45A=45，则边，则边BCBC的长为的长为_._.【解析解析】作作CDABCDAB

13、，又因为，又因为A=45A=45，所以，所以AD=CDAD=CD，因，因为为 ，所以，所以AD=CD=1AD=CD=1，因为，因为 ，所以，所以 ，所以所以BC=2.BC=2.答案：答案：2 2AC2AB31AC2AB31BD32022-11-826勾股定理与其逆定理勾股定理与其逆定理勾股定理与逆定理是直角三角形的性质与判定之一，通过以勾股定理与逆定理是直角三角形的性质与判定之一，通过以上两个定理建立了直角三角形中的边与角之间的转化关系，上两个定理建立了直角三角形中的边与角之间的转化关系，勾股定理是利用角得到直角三角形的三边之间的数量关系；勾股定理是利用角得到直角三角形的三边之间的数量关系；而

14、勾股定理的逆定理则是利用三角形三边之间的特殊数量关而勾股定理的逆定理则是利用三角形三边之间的特殊数量关系而得知三角形中的特殊角，因此是直角三角形的重要判定系而得知三角形中的特殊角，因此是直角三角形的重要判定之一之一.2022-11-827【例例3 3】(2010(2010衢州中考衢州中考)已知已知ABCABC是边长为是边长为1 1的等腰直角三角的等腰直角三角形，以形，以RtRtABCABC的斜边的斜边ACAC为直角为直角边，画第二个等腰边，画第二个等腰RtRtACDACD，再，再以以RtRtACDACD的斜边的斜边ADAD为直角边，画第三个等腰为直角边，画第三个等腰RtRtADEADE，依此类

15、推，第依此类推，第n n个等腰直角三角形的斜边长是个等腰直角三角形的斜边长是_._.2022-11-828【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】因为因为ABCABC是边长为是边长为1 1的等腰直角三角形，所的等腰直角三角形，所以以 ，又因为，又因为ACDACD是等腰直角三角形，所以是等腰直角三角形，所以以此类推，第以此类推，第n n个等腰直角三角形的斜边长是个等腰直角三角形的斜边长是答案：答案：AC22AD2，n2.n22022-11-8297.(20107.(2010南宁中考南宁中考)图中，每个小正方形的边长为图中，每个小正方形的边长为1 1，ABCABC的三边的三边a,b,ca,b,c的

16、大小关系式的大小关系式()()2022-11-830(A)a(A)ac cb (B)ab (B)ab bc c(C)c(C)ca ab (D)cb (D)cb ba a【解析解析】选选C.C.因为每个小正方形的边长为因为每个小正方形的边长为1 1，由勾股定理，由勾股定理知：知：，b=5b=5，c=4c=4，所以，所以c ca ab.b.a172022-11-8318.(20108.(2010钦州中考钦州中考)如图是一张直角如图是一张直角三角形的纸片，两直角边三角形的纸片，两直角边AC=6 cmAC=6 cm、BC=8 cmBC=8 cm，现将现将ABCABC折叠，使点折叠，使点B B与与点点A

17、 A重合，折痕为重合，折痕为DEDE，则，则BEBE的长为的长为()()(A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm(A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm【解析解析】选选B.B.因为因为AC=6 cmAC=6 cm、BC=8 cmBC=8 cm，所以，所以AB=10 cmAB=10 cm，所以，所以BE=5 cm.BE=5 cm.2022-11-8329.(20109.(2010眉山中考眉山中考)如图，每个小正方形的边长为如图，每个小正方形的边长为1 1，A A、B B、C C是小正方形的顶点，则是小正方形的顶点，则ABCABC的度数为的度数为()

18、()(A)90(A)90 (B)60 (B)60 (C)45 (C)45 (D)30 (D)302022-11-833【解析解析】选选C.C.根据勾股定理可知根据勾股定理可知ACAC2 2=1=12 2+2+22 2=5,BC=5,BC2 2=1=12 2+2+22 2=5,=5,ABAB2 2=1=12 2+3+32 2=10,AC=BC,AC=10,AC=BC,AC2 2BCBC2 2=AB=AB2 2，ABCABC是等腰直角三是等腰直角三角形且角形且ACB=90ACB=90，ABC=BAC=45ABC=BAC=45.2022-11-83410.(201110.(2011杭州中考杭州中考)

19、在等腰在等腰RtRtABCABC中，中，C=90C=90,AC=1,AC=1，过，过点点C C作直线作直线lABAB，F F是是l上的一点，且上的一点，且AB=AF,AB=AF,则点则点F F到直线到直线BCBC的的距离为距离为_._.【解析解析】如图，如图，ABCABC为等腰为等腰直角三角形，且直角三角形，且AC=1,AC=1,又等腰直又等腰直角三角形的斜边为直角边的角三角形的斜边为直角边的 倍倍,2AB2,AD.222022-11-835又又答案：答案：116AF2,DF,2162CF,221223162FE,CF,22231F H.23122022-11-8362022-11-837勾股

20、定理的证明勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，绝大数方法是通过若干个相同的勾股定理的证明方法很多，绝大数方法是通过若干个相同的直角三角形拼出一个几何图形，结合两种方法表示拼出图形直角三角形拼出一个几何图形，结合两种方法表示拼出图形的面积，然后经过多项式的整理得到勾股定理的证明的面积，然后经过多项式的整理得到勾股定理的证明.2022-11-838【例例】(2010(2010孝感中考孝感中考)【问题情境问题情境】勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数国汉代数学家赵爽根据弦图，利用

21、面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把学家华罗庚曾提出把“数形关系数形关系”(勾股定理勾股定理)带到其他星球，带到其他星球，作为地球人与其他星球作为地球人与其他星球“人人”进行第一次进行第一次“谈话谈话”的语言的语言.2022-11-839【定理表述定理表述】请你根据图请你根据图1 1中的直角三角形叙述勾股定理中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语用文字及符号语言叙述言叙述).).2022-11-840【尝试证明尝试证明】以图以图1 1中的直角三角形为基础，可以构造出以中的直角三角形为基础，可以构造出以a a、b b为底，以为底，以a+ba+b为高的直角梯形为高的直角梯形(如图如图2)2

22、)，请你利用图，请你利用图2 2，验证勾股定理，验证勾股定理.2022-11-841【知识拓展知识拓展】利用图利用图2 2中的直角梯形，我们可以证明中的直角梯形，我们可以证明 .其证明步骤其证明步骤如下：如下：BC=a+b,AD=_.BC=a+b,AD=_.又又在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中有中有BC_AD(BC_AD(填大小关系填大小关系)，即，即_，ab2.cab2c2022-11-842【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】【定理表述定理表述】如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为a a、b b，斜边长为，斜边长为c c，那么，那么a a2 2+b+b

23、2 2=c=c2 2.2022-11-843【尝试证明尝试证明】RtRtABERtABERtECD,AEB=EDCECD,AEB=EDC，又又EDC+DEC=90EDC+DEC=90，AEB+DEC=90AEB+DEC=90，AED=90AED=90.SS梯形梯形ABCDABCD=S=SRtRtABEABE+S+SRtRtECDECD+S+SRtRtAEDAED，整理，得整理，得a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.【知识拓展知识拓展】21111ababababc.22222cab2c 2022-11-844(2011(2011温州中考温州中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，我国汉代

24、数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅创制了一幅“弦图弦图”，后人称其为，后人称其为“赵爽弦图赵爽弦图”(如图如图1).1).图图2 2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记记图中正方形图中正方形ABCDABCD，正方形，正方形EFGHEFGH，正方形，正方形MNKTMNKT的面积分别为的面积分别为S S1 1，S S2 2,S,S3 3,若若S S1 1+S+S2 2+S+S3 3=10=10，则，则S S2 2的值是的值是_._.2022-11-8452022-11-846【解析解析】SS1 1+S+S2 2+S+S3 3=

25、10,=10,CDCD2 2+HG+HG2 2+TK+TK2 2=10.=10.又又DH=CG,TK=HK-TH=DH-DG,DH=CG,TK=HK-TH=DH-DG,(DH+DG)(DH+DG)2 2+HG+HG2 2+(DH-DG)+(DH-DG)2 2=10,=10,整理得整理得答案：答案：221010HG,S.331032022-11-8471.(20091.(2009遂宁中考遂宁中考)如图，已知如图，已知ABCABC中，中，AB=5 cmAB=5 cm，BC=12 cmBC=12 cm，AC=13 cmAC=13 cm，那么，那么ACAC边上的中线边上的中线BDBD的长为的长为 _c

26、m._cm.2022-11-848【解析解析】ABAB2 2+BC+BC2 2=5=52 2+12+122 2=13=132 2=AC=AC2 2，ABCABC为直角三角形为直角三角形.又又BDBD是是ACAC边上的中线边上的中线,答案：答案：113BDACcm.221322022-11-8492.(20102.(2010益阳中考益阳中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC=8AB=AC=8，ADAD是底边是底边上的高，上的高，E E为为ACAC中点，则中点，则DE=_.DE=_.2022-11-850【解析解析】因为因为ABCABC是等腰三角形，是等腰三角形，ADAD是底边上的高

27、，所以是底边上的高，所以ADC=90ADC=90,所以在所以在RtRtADCADC中中,E,E为为ACAC的中点的中点,所以所以答案：答案：4 41DEAC4.22022-11-8513.(20103.(2010温州中考温州中考)勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣多人的兴趣.1955.1955年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图形，它可以验证勾股定理的图形，它可以验证勾股定理.在如图所示的勾股图中，已知在如

28、图所示的勾股图中，已知ACB=90ACB=90，BAC=30BAC=30，AB=4AB=4，作，作PQRPQR，使得，使得R=90R=90，点点H H在边在边QRQR上，点上，点D D、E E在边在边PRPR上，点上，点G G、F F在边在边PQPQ上，那么上，那么PQRPQR的周长等于的周长等于_._.2022-11-8522022-11-853【解析解析】过过A A作作AMQRAMQR于于M M，由，由BAC=30BAC=30，AB=4AB=4，得，得BC=2BC=2，AC=AC=，在等边，在等边GHQGHQ中，中，HQ=GH=AC=HQ=GH=AC=，在，在RtRtAHMAHM中，中，A

29、H=AC=AH=AC=，AHM=30AHM=30，得，得HM=3HM=3，在矩形，在矩形ADRMADRM中，中，RM=AD=AB=4RM=AD=AB=4，所以，所以所以所以PQRPQR的周长为的周长为答案：答案：2 32 3RQ72 3PQ144 3PR7 36，2713 3.2713 32 32022-11-8544.(20104.(2010玉林中考玉林中考)两块完全一样两块完全一样的含的含3030角的三角板重叠在一起，角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点若绕长直角边中点M M转动，使上面转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图，顶点，如图，A=30A=30，AC=10AC=10，则此时两直角顶点则此时两直角顶点C C、CC间的距离是间的距离是_._.2022-11-855【解析解析】当上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点时，当上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点时，CCABCCAB，因为，因为MC=MC,MC=MC,又因为又因为A=30A=30，所以，所以CMC=60CMC=60，所以，所以MC=MC=CC=5.MC=MC=CC=5.答案：答案：5 52022-11-856