函数与极限知识点课件.ppt
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1、第一章函数与极限第一章函数与极限函数与极限函数与极限微积分中的二个重要基本概念微积分中的二个重要基本概念函数函数高等数学研究的基本对象高等数学研究的基本对象极限极限是否采用极限的运算方法,是高等数学与是否采用极限的运算方法,是高等数学与 初等数学的根本区别初等数学的根本区别1第一节第一节 函函 数数一函数概念:一函数概念:常量与变量:常量与变量:常量常量:某一变化过程中:某一变化过程中保持数值不变的量保持数值不变的量.变量变量:在某一变化过程中:在某一变化过程中取不同数值的量取不同数值的量一个量是常量还是变量只是一个量是常量还是变量只是相对相对而言的而言的例:同一地点的例:同一地点的=9.8米
2、米/秒秒2 (初等数学研究的主要对象初等数学研究的主要对象)例:自由落体例:自由落体=gt2/2中的中的S与与t都是变量都是变量.2函数的概念:函数的概念:函数关系函数关系变量之间的依赖关系变量之间的依赖关系函数定义函数定义:设设与是两个变量与是两个变量,如果对于在数集中所取的,如果对于在数集中所取的 每一个值,通过与之间的某一每一个值,通过与之间的某一对应律对应律,都有一个都有一个 (或多个或多个)确定的确定的 y 值与之对应值与之对应,则称则称 f 是上的函数是上的函数.记作:记作:y=f(x),x X称为自变量,称为因变量称为自变量,称为因变量称为函数的定义称为函数的定义域域 而所有对应
3、的值组成的数集则称为函数的值域而所有对应的值组成的数集则称为函数的值域 3函数的表示方法:函数的表示方法:解析法解析法 (如如 y=f(x)列表法列表法图象法图象法其其 他他函数的表示法函数的表示法解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如例如:cosx -x01 0 x1 1/x x 1f(x)=(分段函数分段函数)注:分段函数虽然由多个式子组成的,但它注:分段函数虽然由多个式子组成的,但它不是多个函数,而是一个函数不是多个函数,而是一个函数4 幂函数:幂函数:=xa 指数函数:指数函数:=ax 对数函数:对数函数:=logax 三角函数:三角函数
4、:=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx.反三角函数:反三角函数:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.二初等函数:二初等函数:1 1基本初等函数基本初等函数:(中学学过的)中学学过的)52 2复合函数复合函数:形如:形如:=f(x)(u=(x)定义定义:设变量设变量 y 是变量是变量 u 的函数的函数,变量变量 u 又是变量又是变量 x 的函数即的函数即 y=f(u),u=(x),如果变量如果变量x的某些值通过中间变量的某些值通过中间变量u 可以确定变量可以确定变量 y 的值时的值时,则称则称 y 是是 x 的复合函数的复合函数,记作记作
5、y=f(x)(y因变量因变量,u中间变量中间变量(既是自变量又是因变量既是自变量又是因变量),x自变量自变量)注注:函数函数u=(x)的值域不能超过函数的值域不能超过函数y=f(u)的定义域的定义域.形成复合函数的中间变量可以不止一个形成复合函数的中间变量可以不止一个,如如:y=f(x)6例:例:y=cos(2t+/3)那么拆成什么形式好呢那么拆成什么形式好呢?.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等基本初等 函数函数或是或是它们的和它们的和,差差,积积,商商.将复合函数拆成简单函数:(重点)将复合函数拆成简单函数:(重点)例:例:
6、.13sin2)13sin(2xvvuayayux,可分解为:21sin2122sin,.uxyyuvvx 可分解为:,例:例:可分解为可分解为:y=cosx,x=2t+/3.或或:y=cos2x,x=t+/673 3初等函数初等函数定义:由定义:由基本初等函数基本初等函数经过经过有限次加,减,乘,除四则运算有限次加,减,乘,除四则运算和和 有限次复合运算有限次复合运算而构成的而构成的仅用一个解析式表达仅用一个解析式表达的函数,的函数,称为初等函数称为初等函数(注:不用一个式子表示的函数就不是初等函数)(注:不用一个式子表示的函数就不是初等函数)问:分段函数是否是初等函数?问:分段函数是否是初
7、等函数?不是初等函数,但它是一个函数不是初等函数,但它是一个函数.例:例:.arcsin11cosln222xtgxxyxxayxy,都是初等函数。都是初等函数。8第二节第二节 函数的极限函数的极限 极限概念的引入极限概念的引入:例例1.有一变量其变化趋势为有一变量其变化趋势为:1,1/2,1/3,1/4,.,1/n,.则该变量的极限是则该变量的极限是0.(数列极限数列极限)9例例2.已知圆的半径为已知圆的半径为R,求圆面积求圆面积 S.解题思路解题思路:1.求圆的内接正多边形求圆的内接正多边形(正正 n 边形边形)的面积的面积2.取极限取极限(n时正时正 n 边形的面积即边形的面积即 为圆的
8、面积为圆的面积)22sinlim2sin21limlim(222RnnRnRnSSnnnn10一一.函数的极限函数的极限:对于函数对于函数 y=f(x),我们将分别考察以下两种情况的极限我们将分别考察以下两种情况的极限:1.自变量自变量 x x0 时函数的极限时函数的极限.2.自变量自变量 x 时函数的极限时函数的极限.xx0-0 时时,函数的极限函数的极限xx0+0 时时,函数的极限函数的极限x-时时,函数的极限函数的极限x+时时,函数的极限函数的极限111.1.x xx x0 0 时函数的极限时函数的极限:记作记作:定义定义:设函数设函数 f(x)在点在点 x0 附近有定义附近有定义(但在
9、但在 x0 处可以没有定义处可以没有定义),当自变量当自变量 x 以以任何方式任何方式无限趋近于定值无限趋近于定值 x0 时时,若函数若函数 f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数 A,就说当就说当 x 趋近于趋近于 x0时时,函数函数 f(x)以以 A 为极限为极限.注注:仅要求函数仅要求函数在点在点x0 附近有定义附近有定义,但在但在 x0 处可以没有定义处可以没有定义.“自变量自变量 x 以任何方式以任何方式无限趋近于定值无限趋近于定值 x0”是指是指左趋近左趋近和和 右趋近右趋近(对于一元函数对于一元函数).Axfxx)(lim012.函数的函数的单侧极限单侧极限:左极限左极限:
10、右极限右极限:x从从左侧左侧趋近于趋近于x0时产生的极限时产生的极限.记作记作:x从从右侧右侧趋近于趋近于x0时产生的极限时产生的极限.记作记作:Axfxx)(lim00Axfxx)(lim0013即左极限和右极限即左极限和右极限都存在并且相等都存在并且相等时时,才能说函数的极限存在才能说函数的极限存在例例:右图中的函数右图中的函数f(x)(分段函数分段函数)AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(:)(lim00000当且仅当当且仅当存在的充要条件存在的充要条件极限极限.BAxyx0oAxfxx)(lim00Bxfxx)(lim00AB,即左极限即左极限右极限右极限此函数此函数
11、 f(x)在在 x0处的极限不存在处的极限不存在.142.x 2.x 时函数的极限时函数的极限:函数在正无限处极限函数在正无限处极限:函数在负无限处极限函数在负无限处极限:函数在正负无限处极限函数在正负无限处极限:oxyAAxfx)(limAxfx)(limAxfx)(lim15例例:对于函数对于函数 f(x)=arctgx,x时极限是否存在时极限是否存在?解解:当当 x+时时,f(x)=arctgx/2,函数极限不存在函数极限不存在(当当 x 时时).)(lim)(limxfxfxxOYx/2-/2当当 x-时时,f(x)=arctgx-/2.AxfxfAxfxxx )(lim)(lim)(
12、:)(lim当且仅当当且仅当存在的充要条件存在的充要条件极限极限.16极限不存在极限不存在的几种情形式的几种情形式:1.当当 x x0(x)时时,f(x),极限不存在极限不存在.这时虽然这时虽然 f(x)的极限不存在的极限不存在,但也可记作但也可记作:2.左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时,极限不存在极限不存在.3.当当 x x0(x)时时,f(x)的变化趋势振荡不定的变化趋势振荡不定,此时函数极限此时函数极限 不存在不存在.)(lim0 xfxx)(limxfx17二二.无穷小和无穷大无穷小和无穷大.1.1.无穷小定义无穷小定义:以以零为极限
13、的变量零为极限的变量就是无穷小量就是无穷小量.例例:当当 x +时时,1/x 的极限为零的极限为零;注注:称一个函数是无穷小量时称一个函数是无穷小量时,必须指出其自变量的变化趋势必须指出其自变量的变化趋势.无穷小量是无穷小量是变量变量而不是常数而不是常数 0,也不是很小的数也不是很小的数(如如 10-10000)但但0可以看成是无穷小量。可以看成是无穷小量。当当 x 1时时,x-1 的极限也是零的极限也是零.182.2.无穷大定义无穷大定义:在变化过程中在变化过程中其绝对值无限变大其绝对值无限变大,(无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反)例例:当当
14、x 0 时时,1/x 的值无限增大的值无限增大;注注:称一个函数是无穷大量时称一个函数是无穷大量时,必须指出其自变量的变化趋势必须指出其自变量的变化趋势.无穷大量是无穷大量是变量变量,而不是一个很大的量而不是一个很大的量.无穷大量无穷大量,无穷小量是无穷小量是变量变量,而不是一个确定的量而不是一个确定的量.当当 x /2 时时,y=tgx 的绝对值的绝对值 y无限增大无限增大.193.3.无穷小与无穷大的无穷小与无穷大的关系关系:互为倒数互为倒数关系关系例例:当当 x 0 时时,1/x 为无穷大量为无穷大量,而而 x 为无穷小量为无穷小量.(在在同一变化过程中同一变化过程中).204.4.无穷
15、小无穷小定理定理:定理定理1.函数函数 f(x)以以A为极限的充分必要条件是函数为极限的充分必要条件是函数 f(x)与常数与常数A 之差是一个无穷小量之差是一个无穷小量.即即 lim f(x)=A 成立的充要条件是成立的充要条件是:lim f(x)-A=0亦即亦即,若函数若函数 f(x)以以A为极限为极限,若设若设 f(x)-A=,则则为该极限过程中的无穷小量为该极限过程中的无穷小量.0211lim211lim:22)(例xxxx21定理定理2.有限个有限个无穷小无穷小的代数和仍为无穷小量的代数和仍为无穷小量.定理定理3.有界函数与有界函数与无穷小无穷小的乘积仍为无穷小量的乘积仍为无穷小量.(
16、有界函数有界函数:若函数若函数 f(x)在某个区间在某个区间 X内满足内满足:Af(x)B,其中其中 A,B 是两个定数是两个定数,则称则称 f(x)在区间在区间X内有界内有界,A下界下界,B上界上界).推论推论1.常数与常数与无穷小量无穷小量之积仍为无穷小量之积仍为无穷小量.推论推论2.有限个有限个无穷小量无穷小量的乘积仍为无穷小量的乘积仍为无穷小量.0sinlimxxx例:225.5.的比较的比较 :设设,为两个无穷小为两个无穷小.若若 lim/=0(或或 lim /=),则称则称是比是比高阶的无穷小高阶的无穷小 或称或称是比是比低阶的无穷小低阶的无穷小.若若 lim/=k0,则称则称与与
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