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1、1细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利工程数学线性代数第18讲此幻灯片可在如下网址下载：www.应用数学.cn2细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利108页3.已知向量组123123032204103124:,;:,.21011

2、1321213AB aaabbb证明B组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.证证 设A组和B组对应的矩阵是A,B,因此是要证明R(A)=R(A,B)及R(B)R(B,A)=R(A,B),因此对分块矩阵(A,B)做初等行变换变成行阶梯形.3细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利123123032204103124:,;:,.210111321213AB aaabbb032204103124(,)210111

3、3212131001/41/41/40101/21/21/20011/43/45/4000000A B4细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利可以看出R(A)=R(A,B)=3,所以B可被A线性表示,而R(B)=2R(A),所以A不能由B线性表示.当然,如果上面的矩阵还看不清楚B的秩,则可以对(B,A)做初等变换:1001/41/41/40101/21/21/2(,)0011/43/45/4000000A B12

4、41030111/23/41(,)00011/20000000B A5细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利108页4.已知向量组1212301113:1,1;:0,2,2,10111AB aabbb证明A组与B组等价。证证：假设A组与B组对应的矩阵是A,B,因此就是要证明R(A)=R(B)=R(B,A),因为A组的两个向量不成比例就说明了其秩为2,因此主要证明R(B,A)=R(B)=2,所以把B放在左边,对(B

5、,A)作初等行变换变成阶梯形矩阵.6细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利1212301113:1,1;:0,2,2,10111AB aabbb1130111301(,)02211 022111111000000B A由此看出R(B)=R(B,A)=R(A)=2,因此A组与B组等价.7细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建

6、管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利5.已知R(a1,a2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3,证明(1)a1能由a2,a3线性表示;(2)a4不能由a1,a2,a3线性表示.证证 令A=(a2,a3),B=(a1,a2,a3),则因为R(a2,a3,a4)=3,所以a2,a3,a4线性无关,则a2,a3也线性无关,R(a2,a3)=R(A)=2,(1)R(A)=2=R(a1,a2,a3)=R(A,a1),因此a1能由a2,a3线性表示.(2)R(B)=2R(B,a4)=R(a1,a2,a3,a4)3,因此a4不能由a1,a2,a3线

7、性表示.8细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利109页8.设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,求向量b用a1,a2线性表示的表示式.令A=(a1+b,a2+b),则由题意知方程组Ax=0有非零解,假设非零解为x=(x1,x2)T(x1,x2不全为零),即x1(a1+b)+x2(a2+b)=0,x1a1+x2a2+(x1+x2)b=0,(x1+x2)b=-x1a1-x2a2,因为a1,a2线性无关,

8、所以x1+x2必不为0,因此有12121212xxxxxx baa9细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利本来这个式子已经能得满分.但是也可以进一步令12121212xxxxxx baa112xcxx 则12(1)ccbaa当然这里的c是不能乱取一个数的.10细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物

9、下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利109页9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关,问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关?试举例说明.解解 不一定,例如121211221000,000110,01 aabbabab11细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利10.举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a1,a2,am是线性相关的,则a1可由a2,am线性表示.反例反例:

10、令m=2,1210,00 aaa1不可由0向量线性表示,即不存在数k使得a1=ka2.12细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利(2)若有不全为0的数l1,l2,lm,使l1a1+lmam+l1b1+lmbm=0成立,则a1,am线性相关,b1,bm亦线性相关.反例反例:m=1,l1=1,111 11 111,0000ll abab13细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课

11、标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利(3)若只有当l1,lm全为0时,等式l1a1+lmam+l1b1+lmbm=0才能成立,则a1,am线性无关,b1,bm亦线性无关.反例反例:m=2,12121 1221 122111222121000,0001()()1001llllllll aabbaabbabab14细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类

12、活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利(4)若a1,am线性相关,b1,bm亦线性相关,则有不全为0的数l1,lm,使 l1a1+lmam=0,l1b1+lmbm=0同时成立.反例反例:如果上两式同时成立,则两式相加得 l1(a1+b1)+lm(am+bm)=0,则用(3)的例就知道不存在这样的一组不全为0的数.m=212121000,0001 aabb15细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利109页,11

13、.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证证 令A=(a1,a2,a3,a4),B=(b1,b2,b3,b4),则B=AC,因此R(B)R(C)4,所以B的列向量组线性相关.其中只要证R(C)4.1001110001100011C16细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利109页,12.设b1=a1,b2=a1+a2,br=a1+a2+

14、ar,且向量组a1,a2,ar线性无关,证明向量组b1,b2,br线性无关.证证 令A=(a1,a2,ar)由题意R(A)=r,令B=(b1,b2,br)=AC,因为C为可逆,因此R(B)=R(A)=r,因此B的列向量组线性无关.111011,|100001 CC17细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利可见C的秩为34.1001100111000101011001100011001110011001010101

15、010011001100110000C18细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利109页 16.设a1,a2,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,en能由它们线性表示,证明a1,a2,an线性无关.证证 令A=(a1,a2,an),n维单位坐标向量按列拼成单位矩阵E,则R(E)=n,由题意还有R(A)=R(A,E),而R(A,E)不大于E的行数n,也不可能小于R(E),因此有R(A)=R(A,E)

16、=n,所以a1,a2,an线性无关.19细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 17.设a1,a2,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.证证 充分性.因为任一n维向量都可由它们线性表示,则单位坐标向量也可由它们线性表示,由16题可知a1,a2,an线性无关.必要性.如果a1,a2,an线性无关,则令A=(a1,a2,an),则对于任一n维向量b,方程组Ax

17、=b中R(A)=R(A,b)=n,方程组有惟一解,因此b可由a1,a2,an线性表示.20细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 18.设向量组a1,a2,am线性相关,且a10,证明存在某个向量ak(2km),使ak能由a1,a2,ak-1线性表示.证证 令A=(a1,a2,am),由题意存在非零向量x=(x1,x2,xm)T满足Ax=0,x中必存在下标最大的不为0的值xk,而且k1,因为,如果k=1,

18、必有x1a1=0,x10将导致a1=0与题意矛盾.因此必有x1a1+xk-1ak-1+xkak=0,由于xk0,所以整理此式可知结论.21细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 19.设向量组B:b1,br能由向量组A:a1,as线性表示为(b1,br)=(a1,as)K其中K为sr矩阵,且A线性无关,证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证证 令A=(a1,as),B=(b1,br),

19、B=AK,必要性.设B组线性无关,则R(B)=r R(K),但是K只有r行因此R(K)r,因此R(K)=r.充分性.已知R(K)=r,考查方程组Bx=0,22细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利即AKx=0,因为A的列向量组线性无关导致Ay=0只有零解,因此上式要成立必须Kx=0,但是因为R(K)=r,所以Kx=0必须要x=0,即方程组Bx=0只有0解,因此B的各个列向量组线性无关.23细菌耐药与抗菌药物的合理

20、应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 20.设123213121,nnnn 证明向量组a a1,a a2,a an与向量组b b1,b b2,b bn等价.证证 令A=(a a1,a a2,a an),B=(b b1,b b2,b bn),则B=AK,其中24细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一

21、节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利因此R(K)=n,K可逆,则由B=AK可推导出A=BK-1,A和B的列向量组可相互线性表示,或等价.011111111101101011110110001K25细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 21.已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x,且向量组x,Ax,A2x线性无关.(1)记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使AP=PB

22、;(2)求|A|解解 令a1=x,a2=Ax,a3=A2x,则P=(a1,a2,a3),AP=A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-A2x)=(a2,a3,3a2-a3)123000(,)103011a a aPB26细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利其中(1)000103011B(2)因为B与A是相似变换的关系,因此|A|=|B|=0.27细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光

23、峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 26.设n阶矩阵A满足A2=A,E为n阶单位阵,证明R(A)+R(A-E)=n证证 利用两个定理,一是如果AB=O,则R(A)+R(B)n,二是R(A+B)R(A)+R(B).由A2=A,A2-A=O,A(A-E)=O,因此R(A)+R(A-E)n(*)此外还有R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)RA+(E-A)=R(E)=n (*)综合(*)和(*)得证28细菌耐药与抗菌药物的合理应用

24、施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 27.设A为n阶矩阵(n2),A*为A的伴随阵,证明*,(),()1,()1,0,()2nRnRRnRnAAAA当当当证证 根据公式AA*=|A|E,当R(A)=n,A可逆,因此A*=|A|A-1也可逆,R(A*)=n;当R(A)=n-1,A中存在n-1阶行列式不为0,因此A*不是零矩阵,R(A*)0,这时因|A|=0,因此AA*=O,(接后)29细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学

25、人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 27.设A为n阶矩阵(n2),A*为A的伴随阵,证明*,(),()1,()1,0,()2nRnRRnRnAAAA当当当证证 根据公式AA*=|A|E,当R(A)=n-1,A中存在n-1阶行列式不为0,因此A*不是零矩阵,R(A*)1,这时因|A|=0,因此AA*=O,R(A)+R(A*)=n-1+R(A*)n,R(A*)1,因此R(A*)=1.30细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导

26、部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利110页 27.设A为n阶矩阵(n2),A*为A的伴随阵,证明*,(),()1,()1,0,()2nRnRRnRnAAAA当当当证证 根据公式AA*=|A|E,当R(A)n-2,A中所有n-1阶行列式都为0,因此所有代数余子式也都是0,则必有A*=O,因此R(A*)=0.31细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章

27、第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利111页 29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知h h1,h h2,h h3是它的三个解向量,1232132,4354 求该方程组的通解.解解 由题意n=4,r=3,因此导出组的基础解系的向量个数为n-r=1,而h h2-h h1和h h3-h h1都是导出组的解,因此h h2+h h3-2h h1也是,32细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套

28、利111页 29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知h h1,h h2,h h3是它的三个解向量,1232132,4354 因此通解是112323342()4556cc c为任意数.注意h h2+h h3-2h h1恰好是非零向量,才有此结论.33细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利111页 31.设111222333,abcabcabcabc证明三直线11112222223333:0,:0,(0,

29、1,2,3):0,iila xb ycla xb ycabila xb yc相交于一点的充分必要条件为:向量组a,b线性无关,且向量组a,b,c线性相关.34细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利注注:题中讲的是二维平面中的直线.对于只有一个方程ax+by=-c构成的非齐次线性方程组,变元个数n=2,系数矩阵A=(a,b),R(A)或者是1或者是0.当r=R(A)=0时,即a=b=0时,方程或者无解(-c0)或者

30、有解(c=0)但基础解系的个数为n-r=2,包含两个线性无关的二维向量,而二维空间中两个线性无关的向量的线性组合的全体包含了整个二维空间中的所有向量,即方程组0 x+0y=0没有任何约束所以不构成直线.35细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利因此方程ax+by=-c如果要代表一条直线,则a和b必须不全为零,用公式表示就是条件a2+b20.因此,三条直线相交于一点,那就不是相交于两点或者三点,也不是相互平行或者重

31、合,对应于三条直线的方程合并成一个方程组,有惟一解.而方程组Ax=b有惟一解的充分必要条件,是R(A)=R(A,b)=n,在二维平面的情况下,n=2.36细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利解解 三条直线的方程合在一起就是非齐次线性方程组xa+yb=-c,系数矩阵A=(a,b),增广矩阵为(a,b,-c),三条直线交于一点,就是此方程组有唯一解,其充要条件就是R(a,b)=R(a,b,-c)=2.而R(a,b)

32、=2说明向量组a,b线性无关,R(a,b,-c)=2说明向量组a,b,c线性相关.111222333,abcabcabcabc11112222223333:0,:0,(0,1,2,3):0,iila xb ycla xb ycabila xb yc37细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利111页 32.设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2-a3.向量b=a1+a2+a

33、3+a4,求方程Ax=b的通解.解解 由b=a1+a2+a3+a4,知方程Ax=b,即方程x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b有一个特解(1,1,1,1)T,还需要有导出组Ax=0的基础解系.由题意知a2,a3,a4是A的列向量组的最大无关组,因此R(A)=r=3,变量个数n=4,基础解系的个数n-r=4-3=1.而由a1=2a2-a3得a1-2a2+a3=0,知(1,-2,1,0)T是Ax=0的一个非零解,即是要求的基础解系.38细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下

34、册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利111页 32.设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2-a3.向量b=a1+a2+a3+a4,求方程Ax=b的通解.方程Ax=b的通解是11121110c xc为任意数39细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利111页 33.设h h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,x x1,x xn-r是对应的齐次线性

35、方程组的一个基础解系.证明(1)h h*,x x1,x xn-r线性无关;(2)h h*,h h*+x x1,h h*+x xn-r线性无关.证证(1)如果h h*,x x1,x xn-r线性相关,则h h*可由x x1,x xn-r线性表示,必然是Ax=0的解,即Ah h*=0b,这与h h*是Ax=b的解矛盾.40细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利111页 33.设h h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个

36、解,x x1,x xn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明(1)h h*,x x1,x xn-r线性无关;(2)h h*,h h*+x x1,h h*+x xn-r线性无关.证证 (2)令B=(h h*,x x1,x xn-r),由(1)可知R(B)=n-r+1,将B的第一列分别加到其它各列得矩阵C=(h h*,h h*+x x1,h h*+x xn-r),初等变换不改变矩阵的秩,因此R(C)=R(B),所以C的各个列仍然线性无关.41细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年

37、级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利111页 34.设h h1,h hs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解,k1,ks为实数,满足k1+k2+ks=1,证明x=k1h h1+k2h h2+ksh hs也是它的解.证证 将上式的x的表示式代入方程左边得A(k1h h1+k2h h2+ksh hs)=k1Ah h1+k2Ah h2+ksAh hs=k1b+k2b+ksb=(k1+ks)b=b,这就证明了x确实是方程组的解.42细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关

38、法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利111页 35.设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,h h1,h hn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解(由题33知它确有n-r+1个线性无关的解).试证它的任一解可表示为 x=k1h h1+kn-r+1h hn-r+1(其中k1+kn-r+1=1).证证 令B=(h h1,h h2,h hn-r+1),则B的列向量组线性无关,将B的第1列乘-1后加到其余各列,得C=(h h1,h h2-h h1,h hn-r+1-h h1),则C的各个列也线性无关,且后n-r列构成Ax=0的基础解系,B和C的列

39、向量组等价,且Ax=b的任一解可 43细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利可由C的列向量组线性表示,也就一定可被B的列向量组线性表示,即对于Ax=b的任一解x x,存在数k1,k2,kn-r+1使得x x=k1h h1+kn-r+1h hn-r+1将x x代入方程当然会有Ax x=A(k1h h1+kn-r+1h hn-r+1)=k1Ah h1+kn-r+1Ah hn-r+1=k1b+kn-r+1b=(k1+k

40、n-r+1)b=b,因此 (k1+kn-r+1-1)b=0,因为b0,必有k1+kn-r+1-1=0,即k1+kn-r+1=144细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利138页 7.设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B)n,证明A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.证证 任何n阶矩阵如果秩小于n都是有0特征值的,因为A,B的秩之和都小于n,因此它们有公共的特征值0,为了说明它们对于0特征值有公共的特征向量x,则

41、Ax=0和Bx=0,因此有()()RRRnAAxABBB0,左端的方程组必有非零解x x作为它们零特征值公共的特征向量45细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利138页 8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证证 设A的特征值为l,对应的特征向量为x,即Ax=lx,在上面的多项式方程两端用x右乘,得(A2-3A+2E)x=0,即A2x-3Ax+2x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0

42、,因特征向量不能是零向量,因此必有l2-3l+2=0则1,22,3981,2l46细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利138页 9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明-1是A的特征值.证:|A+E|=|A+AAT|=-|E+AT|=-|A+E|,上面用到了行列式转置不改变值的性质.因此只有|A+E|=0,即-1是A的特征值.47细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教

43、材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利138页 10.设l0是m阶矩阵AmnBnm的特征值,证明l也是n阶矩阵BA的特征值.证证 设x是AB的对应于l的特征向量,即ABx=lx,用B左乘等式两边,得BABx=lBx即BA(Bx)=l(Bx)由上式知Bx是BA的对应于特征值l的特征向量.48细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价

44、与动态无套利138页 11.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,求|A3-5A2+7A|解解 将A的三个特征值代入到多项式j(x)=x3-5x2+7x中,算得j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3,因此所求行列式的值为18.49细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利138页 14.设矩阵20131405xA可相似对角化,求x.解解 从A的第2列知A有一特征值为l1=1,剩下两个特征值设为l2,l3,tr(A)=

45、8=l2+l3+1,即l2=7-l3,|A|=6=(7-l3)l3,得l32-7l3+6=0,2,3749241,62l50细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利138页 14.设矩阵20131405xA可相似对角化,求x.解解 首先算出A的3个特征值为1,1,6,A可对角化,就要求2重特征值1必须有两个线性无关的特征向量,即齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系有2个向量,即R(A-E)=1,A-E的各行成比

46、例,算得x=310130404xAE51细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利138页 15.已知p=(1,1,-1)T是矩阵2125312abA的一个特征向量.(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;(2)问A能不能相似对角化?并说明理由.解解(1)由Ap=lp,得a=-3,b=0,对应的l=-12121111531221121111aaabbb 52细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险

47、基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利(2)由(1)知12121533,111021l Ap由tr(A)=-3=-1+l2+l3,得l3=-2-l2,再由|A|=-1=-l2l3=l2(-2-l2),l22+2l2+1=0算得l2=-1,l3=-1,因此-1是A的3重特征值,如果A能相似对角化就要求A+E=O,显然A不满足此式,所以A不能相似对角化.53细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课

48、堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利139页 21.设a=(a1,a2,an)T,a10,A=aaT,(1)证明l=0是A的n-1重零特征值;(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.解(1)因a10,则A的(1,1)元为a120,R(A)1,但R(A)=R(aaT)R(a)=1,因此R(A)=1,齐次线性方程组Ax=0的基础解系有n-R(A)=n-1个线性无关的向量,由于对称矩阵一定能对角化,A是对称矩阵,(aaT)T=aaT,所以0是n-1重特征值.54细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法

49、宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利(2)假设ln是A的非零的特征值,则ln=tr(A)=a12+a22+an2.因为0是A的n-1重特征值,因此齐次方程Ax=0只有第一个方程有意义,其它的方程都将消成0=0.因此解方程a12x1+a1a2x2+a1anxn=0,令x2,xn为自由变量,分别依次等于a1其它变量为0,就得到Ax=0的基础解系为:231112111000,000nnaaaaaax55细菌耐药与抗菌药物的合理应用施光峰上海复旦大学人寿保险基本法宣导部经理基本法课标研教材是集体备课的主要内容是高效课堂的基础高校基建管理相关法规培训七年级生物下册第七章第一节分析人类活动破坏生态环境的实例期权定价与动态无套利而因A是对称阵,则ln的特征向量x xn=(x1,x2,xn)必和0特征值对应的n-1个特征向量正交,就可以得到n-1个方程:-aix1+a1xi=0,i=2,3,n-1,则令x1=a1,则xi=ai,因此求出ln对应的特征向量为x xn=(a1,a2,an)T=a.231112111000,000nnaaaaaax