九年级数学中考题型解析-解直角三角形(试题部分)课件.pptx
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- 九年级 数学 中考 题型 解析 直角三角形 试题 部分 课件 下载 _考试试卷_数学_初中
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1、考点一锐角三角函数考点一锐角三角函数1.(2018枣庄,11,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE的值为()A.B.C.D.24141323答案答案A四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,ADFEBF,=.点E是边BC的中点,AD=BC,=2.设EF=x,则AF=2x,在RtABE中,可得BF=x.=2,DF=2x.在RtDEF中,tanBDE=.故选A.ADEBAFEFDFBFADEBAFEFDFBF2DFBF2EFDF2 2xx242.(2018日照,10,3分)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的O的圆心O在格点上,则BE
2、D的正切值等于()A.B.C.2D.552 5512答案答案D如图,在RtABC中,AB=2,BC=1,tanBAC=.BED=BAD,tanBED=.BCAB12123.(2017聊城,2,3分)在RtABC中,cosA=,那么sinA的值是()A.B.C.D.1222323312答案答案BcosA=,A=60,sinA=sin60=.12324.(2016淄博,9,4分)如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上.线段AB,PQ相交于点M.则图中QMB的正切值是()A.B.1C.D.2123答案答案D设每个小正方形的边长为1,过点P作PCAB,连接QC,
3、则QMB=P.PC=2,QC=4,PQ=2,PC2+QC2=PQ2,PCQ为直角三角形,且C=90,tanP=2,即tanQMB=2.故选择D.2210QCPC5.(2018滨州,15,5分)在ABC中,C=90,若tanA=,则sinB=.12答案答案2 55解析解析设RtABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=90,根据tanA=,可设a=1,则b=2,c=,所以sinB=.125252 556.(2018德州,16,4分)如图,在44的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点都在格点上,则BAC的正弦值是.答案答案55解析解析由勾股定理可得,AB2=32+42=25
4、,BC2=12+22=5,AC2=22+42=20,AB2=BC2+AC2,ACB=90,sinBAC=.BCAB52555考点二解直角三角形考点二解直角三角形1.(2018泰安,14,3分)如图,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为.答案答案42解析解析如图,连接OB,OC,A=45,O=2A=245=90,在RtOBC中,OC=BCsin45=4=2,O的直径为4.22222.(2017烟台,14,3分)在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,则sin=.32A答案答案12解析解析在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,sinA=,A=60,sin=sin30=.3
5、322A123.(2015滨州,14,4分)如图,菱形ABCD的边长为15,sinBAC=,则对角线AC的长为.35答案答案24解析解析连接BD,交AC于点O,四边形ABCD是菱形,ACBD,在RtAOB中,AB=15,sinBAO=,BO=9,AO=12,AC=2AO=24.35BOAB3522ABOB22159考点三解直角三角形的应用考点三解直角三角形的应用1.(2016济南,12,3分)如图,为了测量石坝的坡度(坡面的垂直高度与水平宽度的比称为坡度).把一根长5m的竹竿斜靠在石坝旁,测得竹竿长1m处的点D离地面的高度DE=0.6m,又测量出竹竿的底端距石坝的距离AB=3m,则石坝的坡度为
6、()A.B.3C.D.43213答案答案B如图,过点C作CFAB于点F,则DECF.ADEACF.=.AD=1m,DE=0.6m,AC=5m,=.CF=3m.在RtACF中,由勾股定理,得AF=4m.AB=3m,BF=1m.石坝的坡度i=tanCBF=3.ADACDECF150.6CFCFBF31易错警示易错警示本题易错处有三处:一是不理解坡度的意义,找不到解题的思路,无法切入解题过程;二是不会构造直角三角形,不能将实际问题转化为数学问题;三是不能综合利用几何知识求出坡面BC的垂直高度与水平距离,导致求不出坡面BC的坡度.方法规律方法规律解决解直角三角形的应用题一般有以下几个步骤:(1)把实际
7、问题转化为数学问题,转化的过程要注意识别方位角,仰角,俯角和坡度等概念;(2)分析题目中的已知条件和要求的线段的关系;(3)用逆推法找出已知条件和未知条件之间需要用哪些中间量(线段或角);(4)解直角三角形(有时还需先构造直角三角形);(5)写出答案.2.(2016济南,12,3分)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60,若学生的身高忽略不计,1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为()A.47mB.51mC.53mD.54m3答案答案B根据题意得A=30
8、,DBC=60,DCAC,ADB=DBC-A=30,ADB=A=30,BD=AB=60m,CD=BDsin60=60=3051(m).故选B.3233.(2018济宁,14,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60的方向上,从B站测得船C在北偏东30的方向上,则船C到海岸线l的距离是km.答案答案3解析解析如图所示,过点C作CHl,垂足为H.由题意得ACH=60,CBH=60,BCH=30.设CH=xkm,在RtACH中,AH=CHtanACH=xtan60=x.在RtBCH中,BH=CHtanBCH=xtan30=x.
9、因为AH-BH=AB,所以x-x=2,解得x=,即船C到海岸线l的距离是km.333333334.(2018潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速,若以75海里/小时的速度继续航行,则小时即可到达.(结果保留根号)答案答案186 35解析解析过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.AB=601.5=90海里,设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向可
10、知,PAQ=45,AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里,在RtPBQ中,PBQ=90-30=60,tan60=,90 xx3解得x=135+45.经检验,x=135+45是分式方程的解,且符合题意.在RtBMN中,MBN=90-60=30,BM=2MN=2x=2(135+45)=(270+90)海里,航行时间为=小时.333327090 375186 35思路分析思路分析解题的关键是构造直角三角形,先过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.设PQ=MN=x海里,解RtAPQ和RtPBQ求得x的值,再解RtBMN求出BM的长度,利用路程、速度和时间的关系解答即可.5.(20
11、15东营,14,3分)4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30,B处的俯角为45.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、D、B在同一直线上,则A、B两点的距离是米.答案答案200(+1)3解析解析由题意,得A=30,B=45.在RtACD中,tanA=,即tan30=,解得AD=200(米).在RtBCD中,B=45,BCD=45.BD=CD=200米.AB=AD+BD=200+200=200(+1)米.即A、B两点的距离是200(+1)米.故答案为200(+1)
12、.CDAD200AD333336.(2018临沂,22,7分)如图,有一个三角形的钢架ABC,A=30,C=45,AC=2(+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门.3解析解析如图,过点B作BDAC,垂足为D.在RtABD中,A=30,ABD=90-A=60,AD=tanABDBD=BD;在RtBCD中,C=45,CD=BD,AC=AD+CD=BD+BD=(+1)BD=2(+1),解得BD=2,又2m80km/h,这辆汽车超速.33270.99.(2017菏泽,18,6分)如图,某小区号楼与号楼隔河相望,李明家住在号楼,他很想知道号楼的高度,于是他做了一些测量
13、,他先在B点测得C点的仰角为60,然后到42米高的楼顶A处,测得C点的仰角为30,请你帮李明计算号楼的高度CD.解析解析过点A作AECD于E,则四边形ABDE是矩形,所以AE=BD,AB=ED.在RtBCD中,tanCBD=,所以CD=BDtan60=BD,在RtACE中,tanCAE=,所以CE=AEtan30=AE,所以CE=BD,因为AB=DE=CD-CE,所以BD-BD=42,BD=42,解得BD=21,所以CD=BD=21=63(米).答:号楼的高度CD为63米.CDBD3CEAE33333332 33333310.(2016潍坊,22,9分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下
14、落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD.测得BC=6米,CD=4米,BCD=150,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30,试求电线杆的高度.(结果保留根号)解析解析延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DFCE于点F,在RtDCF中,CD=4,DCF=180-150=30,(1分)则DF=CDsinDCF=4sin30=2,(2分)CF=CDcosDCF=4cos30=2,(3分)在RtDEF中,E=30,(4分)tanE=,解得EF=2,(6分)在RtABE中,3DFEF2EF333BE=BC+CF+EF=6+2+2=6+4,(7分)tanE=,解得AB=4+2,即电线杆的高度是(4+2)
15、米.(9分)333ABBE64 3AB3333思路分析思路分析延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DFCE于点F,解RtDCF求出DF和CF,解RtDFE求出EF,进一步求出BE的长度,解RtABE求出AB的长.B B组组2014201820142018年全国中考题组年全国中考题组考点一锐角三角函数考点一锐角三角函数1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为()A.3B.C.D.1310103 1010答案答案AAC=1,BC=3,C=90,tanA=3.BCAC2.(2017天津,2,3分)cos60的值等于()A.B.1C.D.32212
16、答案答案D根据特殊角的三角函数值,可得cos60=,故选D.123.(2017浙江金华,4,3分)在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,则tanA的值是()A.B.C.D.34433545答案答案A在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,AC=4,tanA=.22ABBC2253BCAC344.(2016贵州安顺,9,3分)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都在格点上,则ABC的正切值是()A.2B.C.D.2 555512答案答案D连接AC,如图,易得ABC为直角三角形,且CAB=90,由勾股定理得AC=,AB=2,所以tanABC=,故选择D.22112222
17、22ACAB125.(2016甘肃白银等9市,13,4分)如图,点A(3,t)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为,tan=,则t的值是.32答案答案92解析解析如图,过点A作ABx轴,垂足为B,因为点A的坐标为(3,t),且在第一象限,所以OB=3,AB=t,在RtOAB中,tan=,即=,解得t=.323t32926.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果:sin27+sin2830.122+0.992=0.9945,sin222+sin2680.372+0.932=1.0018,sin229+sin2610.482+0.872=0.9873,sin237+sin25
18、30.602+0.802=1.0000,sin245+sin245=+=1.据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1.(1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.222222解析解析(1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260=+=+=1.所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,ABC中,C=90,设A=,则B=90-.sin2+sin2(90-)=+=1.21223214342BCAB2ACA
19、B222BCACAB22ABAB考点二解直角三角形考点二解直角三角形1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()A.2B.3C.D.22432832答案答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF,AE=AD=,故选D.212223832思路分析思路分析首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,然后通过角平分线的性质及直角三角形中30
20、度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.2.(2016甘肃兰州,4,4分)在RtABC中,C=90,sinA=,BC=6,则AB=()A.4B.6C.8D.1035答案答案D在RtABC中,因为C=90,所以sinA=,所以=,解得AB=10,故选择D.BCAB356AB3.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为.3答案答案3 3,22解析解析如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=,BA
21、O=30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中,AC=AOcos60=,OC=AOsin60=.OC=AO-AC=.O.33333232323 3,22考点三解直角三角形的应用考点三解直角三角形的应用1.(2017湖南益阳,7,3分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,CAB=,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.B.C.D.hcossinhcoshtanh答案答案B因为CDAB,ACBC,所以CAB+ACD=90,ACD+BCD=90,所以CAB=BCD=.在RtBCD中,cos=,故BC=,故选B.hBCcosh2
22、.(2017广西玉林、崇左,10,3分)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测得灯塔P位于其北偏东30方向上,此时轮船与灯塔P的距离是()A.15海里B.30海里C.45海里D.30海里答案答案B由题意可知PAB=90-60=30,ABP=90+30=120,APB=180-120-30=30,PAB=APB=30,PB=AB=30海里,故选B.3.(2017辽宁葫芦岛,16,3分)一艘货轮由西向东航行,在A处测得灯塔P在它的北偏东60方向,继续航行到达B处,测得灯塔P在它的东北方向,若灯塔P正南方向4海里的C处是港口,点A,B,C在
23、一条直线上,则这艘货轮由A到B航行的路程为海里(结果保留根号).答案答案4-43解析解析根据题意得PC=4海里,PBC=90-45=45,PAC=90-60=30,在RtAPC中,PAC=30,C=90,AC=PC=4海里,在RtBPC中,PBC=45,C=90,BC=PC=4海里,AB=AC-BC=(4-4)海里.3334.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为3
24、9.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan39.30.82,tan84.310.02)解析解析解法一:由题意知,AEB=FED=45,AEF=90.在RtAEF中,=tanAFE=tan84.3,在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED,ABEFDE,=tan84.3,AB=FDtan84.31.810.02=18.03618(米).答:旗杆AB的高度约为18米.解法二:作FGAB于点G,AEFEABFDAEFE由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形,AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB
25、+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在RtAFG中,=tanAFG=tan39.3,即=tan39.3,解得AB=18.218(米).答:旗杆AB的高度约为18米.AGFG1.81.8ABAB思路分析思路分析思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形中对应边的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.5.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得
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