初中数学知识点图形与几何图形的性质角的概念.ppt

1、初中数学知识点图形与几何图形的性质角的概念角的概念及分类角的概念及分类内容内容角角静态静态定义定义有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边动态动态定义定义角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形的图形.旋转开始时的射线叫作角的始边，旋转终止旋转开始时的射线叫作角的始边，旋转终止时的射线叫作角的终边时的射线叫作角的终边.在角的形成过程中，射线旋在角的形成过程中，射线旋转时经过的平面部分是角的内部，未经过的平面部转时经

2、过的平面部分是角的内部，未经过的平面部分是角的外部分是角的外部知识知识解读解读（1）角的两边是射线，而非线段，因此角的）角的两边是射线，而非线段，因此角的大小与角的两边的长短无关，只与角的两边张大小与角的两边的长短无关，只与角的两边张开的幅度有关；开的幅度有关；（2）角的符号是）角的符号是“”,注意不能写成注意不能写成“355.故选故选D.D考点二考点二 度、分、秒的换算度、分、秒的换算例例11 （四川雅安中考）（四川雅安中考）1.45=_.解析：解析：1.45=60+(0.4560)=87.87核心素养核心素养例例12 (1)当过点当过点O的射线有的射线有3条时，如图条时，如图4-3.1-7

3、（1），则图），则图中共有中共有_个角，个角，它们分别是它们分别是_.(2)当过点当过点O的射线有的射线有4条时，如图条时，如图4-3.1-7（2），则图中共），则图中共有有_个角，个角，它们分别是它们分别是_.(3)当过点当过点O的射线有的射线有5条时，如图条时，如图4-3.1-7（3），则图中共），则图中共有有_个角，它们分别是个角，它们分别是_.AOCAODAOEAOBCODCOECOBDOEDOBEOB 3AOCAOBCOB.6AOCAODAOBCODCOBDOB.10(4)当过点当过点O的射线有的射线有n（n为大于为大于3的正整数）条时，请的正整数）条时，请你猜想图中共有你猜想图中共

4、有_个角，并简述理由个角，并简述理由.解：（解：（1）3 AOCAOBCOB.（2）6 AOCAODAOBCODCOBDOB.（3）10.AOCAODAOEAOBCODCOECOBDOEDOBEOB.112n n(4)理由如下：理由如下：由由(1)(2)(3)小题可知，小题可知，由此猜想当过点由此猜想当过点O的射线有的射线有n（n为大于为大于3的正整数）的正整数）条时，则图中共有条时，则图中共有 个角个角.133312 112n n 116441,1055122 112n n 角的比较与运算角的比较与运算内容内容角的角的比较比较方法方法测量测量法法先用量角器量出角的度数，再比较其大小先用量角器

5、量出角的度数，再比较其大小叠合叠合法法把两个角的顶点和一边重合，两个角的另把两个角的顶点和一边重合，两个角的另一边落在重合边的同侧，根据另一边的位一边落在重合边的同侧，根据另一边的位置关系来比较大小置关系来比较大小比较角的大小的方法比较角的大小的方法知知识识解解读读（1）角的大小关系和角的度数的大小关系是一致的，）角的大小关系和角的度数的大小关系是一致的，这是从这是从“数数”的方面来进行比较的；的方面来进行比较的；（2）使用叠合法时应注意顶点重合，一边重合，两）使用叠合法时应注意顶点重合，一边重合，两个角的另一边落在重合边的同侧；个角的另一边落在重合边的同侧；（3）两个角的比较还可用中间值法，

6、通过两个角与）两个角的比较还可用中间值法，通过两个角与中间值的比较，得出大小关系中间值的比较，得出大小关系巧记乐背巧记乐背比较两个角大小，比较两个角大小，通过测量可分晓；通过测量可分晓；若用叠合来比较，若用叠合来比较，“重合重合”“”“同侧同侧”要记牢；要记牢；若是差别比较大，若是差别比较大，估测也能比大小估测也能比大小.例例1 不用量角器，比较图不用量角器，比较图4-3.2-1和图和图4-3.2-2中角的大小中角的大小.（用（用“”连接）连接）图图4-3.2-1图图4-3.2-2分析：图分析：图4-3.2-1中中和和均为锐角，因此，在不测均为锐角，因此，在不测量的情形下，我们可以将图中的量的

7、情形下，我们可以将图中的向向平移，使平移，使与与的顶点和一边重合，观察另一边的位置来比的顶点和一边重合，观察另一边的位置来比较角的大小较角的大小.图图4-3.2-2中的三个角按角的分类，中的三个角按角的分类，1为为锐角，锐角，2为直角，为直角，3为钝角，因此通过估测可直接为钝角，因此通过估测可直接比较出它们的大小比较出它们的大小.图图4-3.2-3 解：如图解：如图4-3.2-3，将，将向向平移，使平移，使与与的顶点和一边重合，观察另一边的位置，发现的顶点和一边重合，观察另一边的位置，发现落落在在内部，因此内部，因此.由图由图4-3.2-2可知，可知，1为锐角，即为锐角，即190；2为直角，即

8、为直角，即2=90；3为钝角，即为钝角，即90321.在不用量角器测量角的度数的情况下比较角的在不用量角器测量角的度数的情况下比较角的大小有两种方法大小有两种方法:一种是运用典型的一种是运用典型的“叠合法叠合法”比较比较大小；另一种是运用大小；另一种是运用“估测法估测法”，按照常见的，按照常见的“锐锐角角 直角直角 钝角钝角 平角平角 45,BOF45,进而得出结论进而得出结论解：（解：（1）FOD45，BOFBOF.(3)用量角器量，得用量角器量，得AOE=30，DOF=30，所，所以以AOE=DOF.方法点拨方法点拨：本题用了三种方法比较角的大小，一般需根本题用了三种方法比较角的大小，一般

9、需根据具体情况选择合适的方法来比较据具体情况选择合适的方法来比较.叠合法在具体叠合法在具体运用时不是很方便，因此在某些情况下，常利用运用时不是很方便，因此在某些情况下，常利用题图中的题图中的“同边同边”构造叠合法构造叠合法.题型二题型二 角的代数计算角的代数计算例例7 计算：计算：（1）4839+6731；（2）78-473456；（3）22165；（4）42155.解：（解：（1）4839+6731=11570=11610.（2）78-473456=775960473456=30254.（3）22165=225+165=11080=11120.（4）42155=8+2155=8+1355=8

10、27.方法点拨方法点拨：在进行角的加减运算时，应把度与度、分与分、在进行角的加减运算时，应把度与度、分与分、秒与秒分别相加减，并在运算中注意进位或借位的进秒与秒分别相加减，并在运算中注意进位或借位的进率都是率都是6060；当角度乘某数时，要分别与度、分、秒相；当角度乘某数时，要分别与度、分、秒相乘，然后按进率乘，然后按进率6060整理相乘结果；当角度除以某数时，整理相乘结果；当角度除以某数时，要先把度相除并把余数化为分，再与分相除并把余数要先把度相除并把余数化为分，再与分相除并把余数化为秒，最后与秒相化为秒，最后与秒相除除.题型三题型三 几何图形中角的和、差、倍、分计算几何图形中角的和、差、倍

11、、分计算例例8 如图如图4-3.2-11，DOE BOE=1 2，DOC COA=1 2，如果，如果AOB=120，那么，那么COE是多少度？是多少度？图图4-3.2-11解：因为解：因为DOE BOE=1 2，DOE+BOE=BOD，所以所以DOE=BOD.因为因为DOC COA=1 2，DOC+COA=AOD，所以所以DOC=AOD.因为因为AOB=AOD+BOD=120，所以所以COE=DOE+DOC=BOD+AOD=（BOD+AOD）=AOB=40.131313131313方法点拨方法点拨：在几何图形中进行角的计算时，首先仔细观在几何图形中进行角的计算时，首先仔细观察图形，察图形，弄清

12、各角之间的和、差、倍、分关系；然后看根据已知弄清各角之间的和、差、倍、分关系；然后看根据已知角的度数能否直接求出未知角的度数，若能可直接计算，角的度数能否直接求出未知角的度数，若能可直接计算，若不能可将角的和差作为一个整体，如此题，不能单独若不能可将角的和差作为一个整体，如此题，不能单独求出求出BOD和和AOD的度数，将的度数，将“BOD+AOD”作为整体，便找到了其与已知作为整体，便找到了其与已知AOB的关系，的关系，进而求出结果进而求出结果.题型四题型四 求折叠图形中角的度数求折叠图形中角的度数例例9 如图如图4-3.2-12，把一张长方形的纸片，把一张长方形的纸片ABCD沿沿EF折叠后，

13、点折叠后，点D，C分别落在点分别落在点D，C的位置上，的位置上，ED与与BC的交点为的交点为G，若，若EFG=55，求，求GFC的度数的度数.图图4-3.2-12思路导图思路导图由由EFG=55，EFG与与EFC的和是的和是180，可求得可求得EFC的的度数度数求出求出EFC与与EFG的差，的差，便得便得GFC的的度数度数由折叠的性由折叠的性质，可知质，可知EFC与与EFC的的度数相等度数相等解：因为解：因为EFG=55，EFG+EFC=180，所以所以EFC=180-EFG=180-55=125.由折叠的性质知由折叠的性质知EFC=EFC=125.所以所以GFC=EFC-EFG=125-55

14、=70.把一张纸片沿某条直线折叠，则出现两个相互把一张纸片沿某条直线折叠，则出现两个相互重合的角，这个现象说明：如果把折叠后互相重合重合的角，这个现象说明：如果把折叠后互相重合的两个角展开并看成一个角，那么折痕是这个角的的两个角展开并看成一个角，那么折痕是这个角的平分线，这是折叠图形的一个显著特点，求折叠图平分线，这是折叠图形的一个显著特点，求折叠图形中角的度数时常利用这个特点形中角的度数时常利用这个特点.知识链接知识链接解读中考：解读中考：本节内容在中考中的考点主要有：本节内容在中考中的考点主要有：（1 1）角的大小比较，一般结合圆周角（后面学习）考）角的大小比较，一般结合圆周角（后面学习）

15、考查，单独命题的几率很小；查，单独命题的几率很小；（2 2）角的和、差、倍、分计算，常与折叠结合考查，）角的和、差、倍、分计算，常与折叠结合考查，题型有选择题和填空题；题型有选择题和填空题；（3 3）角的平分线的定义，常融合于角的计算中，不会）角的平分线的定义，常融合于角的计算中，不会单独考查单独考查.例例10 （浙江金华中考）足球射门，不考虑其他因素，（浙江金华中考）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射的张角大小时，张角越大，射门越好门越好.在图在图4-3.2-14的正方形网格中，点的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿

16、均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的方向进攻，最好的射点在（射点在（）A.点点CB.点点D或点或点EC.线段线段DE(异于端点异于端点)上一点上一点D.线段线段CD(异于端点异于端点)上一点上一点图图4-3.2-14C考点一考点一 角的大小比较角的大小比较解析：如图解析：如图4-3.2-15，连接，连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，通过测量各角的度数可知，射点在线段，通过测量各角的度数可知，射点在线段DE上时上时角最大，射点在点角最大，射点在点D右上方或点右上方或点E左下方时角度较小左下方时角度较小.故选故选C.图图4-3.2-15例例11 （湖北恩施中考）已知（湖北恩施中考）已知

17、AOB=70，以，以O为端为端点作射线点作射线OC，使，使AOC=42，则，则BOC的度数为的度数为（）A.28 B.112 C.28或或112 D.68C 考点二考点二 角的和、差、倍、分计算角的和、差、倍、分计算图图4-3.2-17解析：解析：如图如图4-3.2-17，当点，当点C与点与点C1重合时，重合时，BOC=AOB-AOC=70-42=28；当点当点C与点与点C2重合时，重合时，BOC=AOB+AOC=70+42=112.核心核心素养素养例例12 已知已知AOB=90，OC为一条射线，为一条射线，OM，ON分分别平分别平分BOC，AOC，求，求MON的度数的度数.分析：由于本题没有

18、指明分析：由于本题没有指明OC在在AOB的内部还是外部，的内部还是外部，因此应分情况讨论因此应分情况讨论.解：当解：当OC在在AOB的内部时，如图的内部时，如图4-3.2-18（1）.因为因为OM，ON分别平分分别平分BOC，AOC，所以所以COM=BOC，CON=AOC.因为因为AOB=AOC+BOC=90，1212所以所以MON=CON+COM=AOC+BOC=（AOC+BOC）=AOB=45.当当OC在在AOB的外部时，如图的外部时，如图4-3.2-18（2）.因为因为OM，ON分别平分分别平分BOC，AOC，所以所以COM=BOC，CON=AOC.因为因为AOB=BOC-AOC=90，

19、所以所以MON=COM-CON=BOC-AOC=（BOC-AOC）=AOB=45.综上所述，综上所述，MON的度数为的度数为45.12121212121212121212图图4-3.2-18方法点拨方法点拨：当题目中没有给出图形时，应根据题意画出图形，当题目中没有给出图形时，应根据题意画出图形，考虑到所有可能出现的情况，分情况讨论解题考虑到所有可能出现的情况，分情况讨论解题.余角与补角余角与补角余角和补角的概念余角和补角的概念内容内容余角余角如果两个角的和等于如果两个角的和等于90（直角），就说这（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角

20、的余角补角补角如果两个角的和等于如果两个角的和等于180（平角），就说这（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角的补角知识知识解读解读(1)互余（补）特指两个角之间的一种特殊关系，如果互余（补）特指两个角之间的一种特殊关系，如果三个或三个以上的角相加等于三个或三个以上的角相加等于90（或（或180）时，不能）时，不能说这些角互余（补）；说这些角互余（补）；(2)互余（补）是指两个角之间的数量关系，而不是位互余（补）是指两个角之间的数量关系，而不是位置关系，即互余（补）的两个角可能相邻，也可能不置关系，即互余（补）的两个角可能相邻，也可能

21、不相邻，还可能有一部分重合；相邻，还可能有一部分重合；(3)在某个图形中，一个角可能没有余（补）角，也可在某个图形中，一个角可能没有余（补）角，也可能有一个或多个余（补）角；能有一个或多个余（补）角；(4)若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角和一个钝角角和一个钝角巧记乐背巧记乐背余角补角不孤独，余角补角不孤独，它们总是成对出；它们总是成对出；和为直角称互余，和为直角称互余，和为平角称互补和为平角称互补.例例1 如图如图4-3.3-1，O是直线是直线A

22、B上的一点，上的一点，AOC=BOC=DOE=90.(1)图中互为余角的角有几对？各是哪些？图中互为余角的角有几对？各是哪些？(2)1的余角是哪个？的余角是哪个？(3)1的补角是哪个？的补角是哪个？图图4-3.3-1解：（解：（1）因为）因为AOC=BOC=DOE=90，所以所以1+2=90，3+4=90，2+3=90，1+4=90.所以图中互为余角的角有所以图中互为余角的角有4对，分别是对，分别是1与与2，3与与4，2与与3，1与与4.(2)由由1+2=90，1+4=90，得得1的余角是的余角是2和和4.（3）由）由1+BOD=180，得，得1的补角是的补角是BOD.不要认为互余或互补的角一

23、定是相邻的角，事不要认为互余或互补的角一定是相邻的角，事实上，互余或互补的角对位置没有任何要求实上，互余或互补的角对位置没有任何要求.余角和补角的性质余角和补角的性质内容内容余角的性质余角的性质同角（等角）的余角相等同角（等角）的余角相等补角的性质补角的性质同角（等角）的补角相等同角（等角）的补角相等知识解读知识解读（1）得到余（补）角的性质的依据是等式）得到余（补）角的性质的依据是等式的基本性质的基本性质等式的传递性；等式的传递性；（2）同角的余（补）角相等指的是三个角）同角的余（补）角相等指的是三个角之间的关系，等角的余（补）角相等指的之间的关系，等角的余（补）角相等指的是四个角之间的关系

24、是四个角之间的关系巧记乐背巧记乐背同、等角的余角相等，同、等角的余角相等，同、等角的补角相等；同、等角的补角相等；运用的依据都相同，运用的依据都相同，图形之中找等角图形之中找等角.例例2 如图如图4-3.3-2，直线，直线AB与与COD的两边的两边OC，OD分别相交于点分别相交于点E，F，1+2=180，找出图中与，找出图中与2相等的角，并说明理由相等的角，并说明理由.分析：图中连同分析：图中连同1和和2在内总共在内总共有有9个角个角(小于平角的角小于平角的角)，2是个是个锐角，锐角，1，5，6，8是钝角，是钝角，这这4个角显然不可能与个角显然不可能与2相等，再相等，再逐一判断逐一判断3，4，

25、7，O是否是否与与2相等即可相等即可.图图4-3.3-2解：解：2=7，2=4，2=3.理由如下：理由如下：因为因为2+8=180，7+8=180（平角的定义），（平角的定义），所以所以2=7（同角的补角相等）（同角的补角相等）.因为因为1+3=180（平角的定义），（平角的定义），1+2=180（已知），（已知），所以所以2=3（同角的补角相等）（同角的补角相等）.因为因为1+4=180（平角的定义），（平角的定义），1+2=180（已知），（已知），所以所以2=4（同角的补角相等）（同角的补角相等）.“同角（等角）的余角相等同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）同角（等角）的补角相等的补

26、角相等”是推得两角相等的常用方法，实质上是推得两角相等的常用方法，实质上还是等式性质及等量代换的运用，只不过在特定的还是等式性质及等量代换的运用，只不过在特定的情况下使用起来更简捷情况下使用起来更简捷.方位角方位角内容内容方位方位角角为了准确地表示出方向，就要借助角的表示方式，为了准确地表示出方向，就要借助角的表示方式，通常以正南、正北方向为基准，配以偏东或偏西通常以正南、正北方向为基准，配以偏东或偏西的角度来描述物体所在的方向，这种方法叫作方的角度来描述物体所在的方向，这种方法叫作方位角描述法位角描述法知识知识解读解读画图标准：一般按画图标准：一般按“上北下南，左西右东上北下南，左西右东”.

27、表示表示格式：南（北）偏东（西）格式：南（北）偏东（西）度度.特殊情况：特殊情况：知识知识解读解读只用东、西、南、北四个方向中的任意一只用东、西、南、北四个方向中的任意一个方向表示时分别在其前面加个方向表示时分别在其前面加“正正”，如正东、，如正东、正西、正南、正北；正西、正南、正北；习惯上北偏东习惯上北偏东45用东北表示，北偏西用东北表示，北偏西45用用西北表示，南偏东西北表示，南偏东45用东南表示，南偏西用东南表示，南偏西45用西南表示用西南表示.巧记乐背巧记乐背方位角表示方向，方位角表示方向，习惯南、北放在前；习惯南、北放在前；多用偏字表旋转，多用偏字表旋转，测得度数知方向测得度数知方向

28、.例例3 如图如图4-3.3-3，根据，根据A，B，C，D，E各点在图中的各点在图中的方位填空方位填空.图图4-3.3-3（1）射线）射线OA表示表示_；（2）射线）射线OB表示表示_；（3）射线）射线OC表示表示_；（4）射线）射线OD表示表示_；（5）射线）射线OE表示表示_.解析：图中各射线的方向可分为三类：射线解析：图中各射线的方向可分为三类：射线OE，OC，OD为一类，表示形式为为一类，表示形式为“偏偏”，其中注意，其中注意OC与与OD中中角度的转化；射线角度的转化；射线OB，射线，射线OA各为一类各为一类.正南方向正南方向北偏西北偏西45或西北方向或西北方向南偏西南偏西60方向方向

29、南偏东南偏东70方向方向北偏东北偏东30方向方向误认为多个角的和为误认为多个角的和为9090或或180180时，也称其时，也称其为互余或互补为互余或互补例例4 如图如图4-3.3-4，O是直线是直线AB上一点，赵敏说：上一点，赵敏说：“因为因为1，2，3，4四个角组成一四个角组成一个平角，所以它们互为补角个平角，所以它们互为补角.”你认为这种说法正确吗？为什你认为这种说法正确吗？为什么？么？图图4-3.3-4 解：这种说法不正确解：这种说法不正确.因为补角特指两个角之间的因为补角特指两个角之间的一种特殊关系一种特殊关系.根据补角的概念可知，当多个角的和等根据补角的概念可知，当多个角的和等于于1

30、80时，不能称其互为补角时，不能称其互为补角.若不理解补角特指两个角之间的一种特殊关系，若不理解补角特指两个角之间的一种特殊关系，本题易误认为正确本题易误认为正确.根据余（补）角的性质寻找相等的角，考虑问题根据余（补）角的性质寻找相等的角，考虑问题不全面不全面例例5 如图如图4-3.3-5，AB与与CD交于点交于点O，且，且AOE=COF=90，AOC=30，则图中，则图中30的的角还有哪几个？角还有哪几个？图图4-3.3-5解：因为解：因为BOD+BOC=AOC+BOC=180，所，所以以BOD=AOC=30.又因为又因为EOF+COE=AOC+COE=90，所以所以EOF=AOC=30.所

31、以图中所以图中30的角还有的角还有BOD，EOF.只观察只观察AOC与与BOD是是BOC的补角，根据同的补角，根据同角的补角相等得出答案，未考虑角的补角相等得出答案，未考虑AOC与与EOF是是COE的余角，从而造成漏解的余角，从而造成漏解.对方位角的概念理解不清楚对方位角的概念理解不清楚例例6 图图4-3.3-6如图如图4-3.3-6，从点，从点B看点看点A，点，点A所在所在的方向为（的方向为（）A.南偏东南偏东58 B.北偏西北偏西32 C.南偏东南偏东32 D.东偏南东偏南58解析：根据题意，可知点解析：根据题意，可知点B是基准点，则点是基准点，则点A的的方位角是方位角是58的余角，即南偏

32、东的余角，即南偏东32.故选故选C.C 错解：不理解方位角是哪个角而误选错解：不理解方位角是哪个角而误选A；不理不理解方位角的表示形式具有规定性而误选解方位角的表示形式具有规定性而误选D；不理解不理解A，B两点中哪个点是基准点而误选两点中哪个点是基准点而误选B.易错总结易错总结例例7（1）已知）已知=5017，求，求的余角和补角；的余角和补角；（2）已知）已知的余角是的余角是651746，求，求及及的的补角补角.题型一题型一 有关余角和补角的计算有关余角和补角的计算 角度角度a 求一个角的余角或补角求一个角的余角或补角解：解：(1)因为因为90-5017=3943，180-5017=12943

33、，所以，所以的余角是的余角是3943，补角，补角是是12943.(2)因为因为90-651746=895960-651746=244214，180-244217=1795960-244214=1551746，所以所以是是244214，的补角是的补角是1551746.已知一个角求其余角或补角时，根据余角或补角已知一个角求其余角或补角时，根据余角或补角的概念直接计算即可，但要注意相减时要度、分、秒的概念直接计算即可，但要注意相减时要度、分、秒分别相减，并注意角度单位的进制分别相减，并注意角度单位的进制.方法点拨：方法点拨：角度角度b b 余角和补角的综合运算余角和补角的综合运算例例8 一个角的余角

34、比这个角的补角的一半小一个角的余角比这个角的补角的一半小30，求，求这个角的度数这个角的度数.思路导图思路导图根据根据“余角余角=补补角的一半角的一半-3030”，列出方，列出方程并求解程并求解设这个角为设这个角为x,则其余角为则其余角为(90-x),其补角为其补角为(180-x)解：设这个角为解：设这个角为x，则这个角的余角为则这个角的余角为(90-x)，补角为补角为(180-x）.由题意，得由题意，得90-x=(180-x)-30，解得解得x=60.答：这个角的度数是答：这个角的度数是60.12 解决有关余角、补角的问题时，一般都是先设解决有关余角、补角的问题时，一般都是先设未知数，再由题

35、意列出方程，最后求出结果未知数，再由题意列出方程，最后求出结果.注意注意要充分利用余角、补角这两个条件要充分利用余角、补角这两个条件.方法点拨：方法点拨：例例9 星期六，乐乐和同学们去公园游玩，在虎山上玩得非星期六，乐乐和同学们去公园游玩，在虎山上玩得非常开心，但回来后忘记了虎山在公园里所在的位置，只记常开心，但回来后忘记了虎山在公园里所在的位置，只记住了大门和游乐场的位置（如图住了大门和游乐场的位置（如图4-3.3-7），根据同学们的），根据同学们的回忆得到下列信息：回忆得到下列信息：(1)大象馆在游乐场的正北方向；大象馆在游乐场的正北方向；(2)虎山在大象馆的北偏西虎山在大象馆的北偏西66

36、的方向上；的方向上；(3)虎山在大门的北偏西虎山在大门的北偏西32的方向上；的方向上；(4)大象馆在大门的东北方向大象馆在大门的东北方向.题型二题型二 利用方位角确定点的位置利用方位角确定点的位置图图4-3.3-7思路导图思路导图根据信息根据信息(1)(4)(1)(4)确定出确定出大象馆的位置大象馆的位置 根据信息根据信息(2)(3)(2)(3)确定出确定出虎山的位置虎山的位置解：能解：能.方法如下：方法如下：(1)先过大门这个点沿东北方先过大门这个点沿东北方向画射线，再过游乐场这个点沿正北方向画射线，再过游乐场这个点沿正北方向画射线，两条射线的交点即为大象馆向画射线，两条射线的交点即为大象馆

37、的位置的位置.(2)先过大门这个点沿北偏西先过大门这个点沿北偏西32方向画方向画射线，再过大象馆这个点沿北偏西射线，再过大象馆这个点沿北偏西66方向画射线，两条射线的交点即为虎山方向画射线，两条射线的交点即为虎山的位置，如图的位置，如图4-3.3-8.图图4-3.3-8 用方位角确定位置时，首先要弄清观测点，然用方位角确定位置时，首先要弄清观测点，然后确定观测点的东南西北方向，根据方位角的含义后确定观测点的东南西北方向，根据方位角的含义来确定来确定.仅靠一个方位角只能确定点的方向而不能确仅靠一个方位角只能确定点的方向而不能确定点的位置，但两个方位角可以确定点的位置定点的位置，但两个方位角可以确

38、定点的位置.方法点拨：方法点拨：例例10 如图如图4-3.3-9(1)，AOB和和COD都是直角都是直角.(1)试猜想，试猜想，AOD和和BOC在数量在数量上是否存在相等、互余或互补关系？上是否存在相等、互余或互补关系？说明理由说明理由.(2)当当COD绕点绕点O旋转到图旋转到图4-3.3-9(2)的位置时，你的猜想还成立吗？说明的位置时，你的猜想还成立吗？说明理由理由.题型三题型三 探究角与角之间的关系探究角与角之间的关系图图4-3.3-9解：解：(1)AOD和和BOC互补互补.理由如下：理由如下：因为因为AOD=AOB+BOD=90+BOD,所以所以AOD+BOC=AOB+BOD+BOC.

39、又因为又因为BOD+BOC=COD=90，所以所以AOD+BOC=AOB+COD=90+90=180.故故AOD和和BOC互补互补.故故AOD和和BOC互补互补.(2)AOD和和BOC互补仍然成立互补仍然成立.理由如下：理由如下：因为因为AOB和和COD都是直角，都是直角，所以所以AOB+COD=180.又因为又因为AOB+BOC+COD+AOD=360,所以所以BOC+AOD=180.(1)探究角与角之间的关系，可先用眼观察、用探究角与角之间的关系，可先用眼观察、用量角器测量，作出大胆猜想，再根据所学知识去推量角器测量，作出大胆猜想，再根据所学知识去推理验证理验证.(2)探究两个角之间的关系

40、主要有三种情况：相探究两个角之间的关系主要有三种情况：相等、互余、互补等、互余、互补.方法点拨：方法点拨：本节内容在中考中的考点主要有：本节内容在中考中的考点主要有：（1 1）余角和补角的识别与计算，有时单独考查，题型）余角和补角的识别与计算，有时单独考查，题型有选择题和填空题，有时融合在其他知识中综合考查，有选择题和填空题，有时融合在其他知识中综合考查，题型有选择题、填空题和解答题；题型有选择题、填空题和解答题；（2 2）方位角的识别与计算，大多和解直角三角形（后）方位角的识别与计算，大多和解直角三角形（后面学习）综合考查，偶尔单独命题，多以选择题和填空面学习）综合考查，偶尔单独命题，多以选

41、择题和填空题的形式出现题的形式出现.解读中考：解读中考：例例11 （湖北宜昌中考）已知（湖北宜昌中考）已知M，N，P，Q四点的位置如图四点的位置如图4-3.3-10，下列结论，下列结论，正确的是（正确的是（）A.NOQ=42B.NOP=132C.PON比比MOQ大大D.MOQ与与MOP互补互补图图4-3.3-10 C考点一考点一 余（补）角的识别余（补）角的识别解析：由题图可知，解析：由题图可知，NOQ=138，故选项，故选项A错误；错误；NOP=48，故选项，故选项B错误；错误；PON=48，MOQ=42，则，则PON比比MOQ大，故选项大，故选项C正确；由以上可得，正确；由以上可得，MOQ

42、+MOP180，即，即MOQ与与MOP不互补，不互补，故选项故选项D错误错误.故选故选C.例例12 （广西玉林中考）在下面角的图示中，能与（广西玉林中考）在下面角的图示中，能与30角互补的是（角互补的是（）解析：解析：30角的补角角的补角=180-30=150，是钝角，是钝角，结合各图形，只有选项结合各图形，只有选项D是钝角是钝角.故选故选D.D例例13（辽宁鞍山中考）一个角的余角是（辽宁鞍山中考）一个角的余角是5438，则这个，则这个角的补角是角的补角是 .考点二考点二 余（补）角的计算余（补）角的计算解析：因为一个角的余角是解析：因为一个角的余角是5438，所以这个角为，所以这个角为90-

43、5438=3522，所以这个角的补角为，所以这个角的补角为180-3522=14438.14438例例14 （河北中考）已知：岛（河北中考）已知：岛P位于岛位于岛Q的正西方，由岛的正西方，由岛P，Q分别测得船分别测得船R位于南偏东位于南偏东30和南偏西和南偏西45方向上方向上.符合条符合条件的示意图是（件的示意图是（）解析：根据岛解析：根据岛P，Q分别测分别测得船得船R位于南偏东位于南偏东30和和南偏西南偏西45方向上，得方向上，得D选项符合题意选项符合题意.故选故选D.D考点三考点三 方位角的概念方位角的概念例例15 在点在点A处有一艘客轮，沿东北方向（即北偏东处有一艘客轮，沿东北方向（即北

44、偏东45）方向以方向以a km/h的速度航行，同时在点的速度航行，同时在点A正北处正北处B有一艘加有一艘加油船以油船以b km/h的速度沿正东方向航行，计划经过的速度沿正东方向航行，计划经过t h后在点后在点C处给客轮加油，但客轮因故不能按时起航，待加油船航处给客轮加油，但客轮因故不能按时起航，待加油船航行至点行至点D时，客轮才出发时，客轮才出发.(1)请根据题意，画出示意图请根据题意，画出示意图.(2)若若BD=m km，客轮要在待定地点，客轮要在待定地点C处按时加油，必须处按时加油，必须以多大的速度航行？以多大的速度航行？核心素养核心素养分析：分析：(1)根据题意及方位角的描述方法，正确画

45、出根据题意及方位角的描述方法，正确画出示意图；示意图；(2)客轮的速度等于客轮的速度等于AC的距离除以它行驶的时的距离除以它行驶的时间，但由于客轮未按时出发，因此行驶的时间不间，但由于客轮未按时出发，因此行驶的时间不是原计划的是原计划的t h，而是相当于加油船在，而是相当于加油船在CD上行驶的上行驶的时间时间.加油船的速度为加油船的速度为b km/h，从点，从点B到点到点C共用了共用了t h，所以，所以BC的距离可以表示为的距离可以表示为bt km.因为因为BD=m km，所以，所以CD=(bt-m)km，在，在CD这条这条线段上，加油船的速度不变，仍是线段上，加油船的速度不变，仍是b km/h，所以，所以CD段加油船所用的时间为段加油船所用的时间为 h，按原计划客，按原计划客轮从轮从A地到地到C地行驶地行驶t h，速度为，速度为a km/h，所以，所以AC=at km，所以可以列出式子，求得客轮的实，所以可以列出式子，求得客轮的实际速度际速度.btmb 图图4-3.3-12 解：解：(1)如图如图4-3.3-12.(2)由题意，得由题意，得AC=at km，BC=bt km，CD=(bt-m)km，所，所以客轮的实际速度为以客轮的实际速度为 （km/h）.答：客轮必须以答：客轮必须以 km/h的的速度航行速度航行.abtbtm atabtbtmbtmb