高考数学(理)必考热点新题精选练习:立体几何中的证明与计算问题(附答案与详解).doc
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1、高考数学(理)必考热点新题精选练习:高考数学(理)必考热点新题精选练习: 立体几何中的证明与计算问题 1.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1上且 C1E=3EC. (1)证明:A1C平面 BED. (2)求二面角 A1-DE-B 的余弦值. 2.如图,三棱台 ABC-EFG 的底面是正三角形,平面 ABC平面 BCGF,CB=2GF, BF=CF. (1)求证:ABCG. (2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值. 3.如图,在底面为矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PBAB. (1)证明:平面 PBC平面 PCD. (2)若异面
2、直线 PC 与 BD 所成角为 60,PB=AB,PBBC, 求二面角 B-PD-C 的大小. 4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,BAD=45,PD=2,M 为 PD 的中点,E 为 AM 的中点,点 F 在线段 PB 上,且 PF=3FB. (1)求证:EF平面 ABCD. (2)若平面PDC底面ABCD,且PDDC,求平面PAD与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. 5.如图,多面体 ABC-DB1C1为正三棱柱 ABC-A1B1C1沿平面 DB1C1切除部分所得,M 为 CB1的中点,且 BC=BB1=2. (1)若 D 为 AA1中点,求证 A
3、M平面 DB1C1. (2)若二面角 D-B1C1-B 大小为 ,求直线 DB1与平面 ACB1所成角的正弦值. 6.如图所示,等腰梯形 ABCD 的底角BAD=ADC=60,直角梯形 ADEF 所在的平 面垂直于平面 ABCD,且EDA=90,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面 ABE平面 EBD. (2)点 M 在线段 EF 上,试确定点 M 的位置,使平面 MAB 与平 面 ECD 所成的锐二面角的余弦值为. 答案与解析答案与解析 1.【解析】以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,射线 DC 为 y 轴的正半轴, 射线 DD1为 z 轴的正半轴,建立空间直角
4、坐标系 D-xyz,即可得出 B(2,2,0), C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),=(0,2,1),=(2,2,0),=(-2,2,-4),= (2,0,4). (1)因为=0,=0, 所以 A1CBD,A1CDE, 因为 BDDE=D,所以 A1C平面 BED, (2)设向量 n n=(x,y,z)是平面 DA1E 的一个法向量, 则 n n,n n, 故 2y+z=0,2x+4z=0.令 y=1,则 z=-2,x=4,n n=(4,1,-2), 等于二面角 A1-DE-B 的平面角, cos=. 2.【解析】(1)取 BC 的中点为 D,连接 DF. 由 ABC-E
5、FG 是三棱台得,平面 ABC平面 EFG,从而 BCFG. 因为 CB=2GF,所以 CDGF, 所以四边形 CDFG 为平行四边形,所以 CGDF. 因为 BF=CF,D 为 BC 的中点, 所以 DFBC,所以 CGBC. 因为平面 ABC平面 BCGF,且交线为 BC,CG平面 BCGF, 所以 CG平面 ABC,而 AB平面 ABC, 所以 CGAB. (2)连接 AD. 由ABC 是正三角形,且 D 为 BC 中点,则 ADBC. 由(1)知,CG平面 ABC,CGDF, 所以 DFAD,DFBC, 所以 DB,DF,DA 两两垂直. 以 DB,DF,DA 分别为 x,y,z 轴,
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