山西省2020年1月高三适应性调研考试数学（理科）试题（A卷）附答案.docx

1、 山西省 2020 年 1 月高三适应性调研考试 数学（理科） （本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分） 祝考试顺利 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用 0.5 毫米及以上黑色笔迹签宇笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的休积公式： 1 3 VSh（其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.

2、一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集UR，集合 2 |log1Axx， 2 |0Bx xx，则AB （ ） A.|12xx B.2|x x C.2|1xx D.|14xx 2.已知复数z满足 2 1 i z i ，则z （ ） A. 1 3 2 i B.1 3 2 i C. 3 2 i D. 3 2 i 3.由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快 速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行

3、业 的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测. 结合上图，下列说法错误的是（ ） A.5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 4. 4 1 1(12 )x x 展开式中 2 x的系数为（ ） A.10 B.24 C.32 D.56 5.已知函数( ) x f xaexb， 若函数 fx在 0,0f处的切线方程为23yx， 则ab的值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.

4、函数 2 sin ( ) 1 xx f x x 在, 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7.如图， 在四棱锥PABCD中，/AD BC，2AD ，3BC ， E 是PD的中点， F 在PC上且 1 3 PFPC， G 在PB上且 2 3 PGPB，则（ ） A.3AGEF，且AG与EF平行 B.3AGEF，且AG与EF相交 C.2AGEF，且AG与EF异面 D.2AGEF，且AG与EF平行 8.已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 2 2a ， 7 28S ，则数列 1 1 nn a a 的前 2020 项和为（ ） A. 2020 2021 B. 2018 2020 C.

5、 2018 2019 D. 2021 2020 9.“角谷定理”的内容为：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它 除以 2，如此循环，最终都能够得到 1.如图为研究角谷定理的一个程序框图，若输入 n 的值为 10，则输出 i 的值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 10.设抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为 F， 准线为l.过抛物线上一点 A 作l的垂线， 垂足为 B.设 7 0, 2 p C ， AF与BC相交于点 E.若2CFAF，且ACE的面积为3 2，则 p 的值（ ） A.2 B.2 C.6 D.2 2 11.现有一副斜边长相等的直角三

6、角板.若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥 ABCD，如图所示，已知 6 DAB ， 4 BAC ，三棱锥的外接球的表面积为4，该三棱锥的体 积的最大值为（ ） A. 3 3 B. 3 6 C. 3 24 D. 3 48 12.设函数( )sin(cos)f xx，其中0，, 4 3 ，已知 fx在0,2上有且仅有 4 个零点， 则下列的值中满足条件的是（ ） A. 13 6 B. 11 6 C. 7 4 D. 3 4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若3a ，2b ，237ab，则a与b的夹角为_. 14.记 n S为等比数列 n a

7、的前 n 项和，若数列 1 2 n Sa也为等比数列，则 4 3 S S _. 15.某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重 100g，次品重 110g，现有 5 袋产品（每袋装有 10 个产品） ， 已知其中有且只有一袋次品（10 个产品均为次品）.如果将 5 袋产品以 15 编号，第 i 袋取出 i 个产品 （1,2,3,4,5i ） ，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量 y，若次品所在的袋 子编号是 2，此时的重量y _g；若次品所在的袋子的编号是 n，此时的重量y _g. 16.已知点 P 是双曲线 2 2 1 3 y x 右支上一动点， 12 ,F F是双曲线

8、的左、右焦点，动点 Q 满足下列条件： 12 2 12 0 | PFPF QF PFPF ， 12 12 0 PFPF QP PFPF ，则点 Q 的轨迹方程为_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，且sin2sin()0cBbAB. （1）求角 B 的大小； （2）设4a ，6c ，求sinC的值. 18.（12 分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民

9、的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点， 决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面 积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为 0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为 0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否 成活相互独立. （1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （2） 试验后发现乙种鱼苗较好， 扶贫工作组决定购买 n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖， 为提高鱼苗的成活率， 工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提 高了 50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后

10、可获利 10 元， 不成活则亏损 2 元， 且扶贫工作组的扶贫目标是获利不 低于 37.6 万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？ 19.（12 分）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为 2 的正方形，点 P 是圆弧CD上的一动点（不与,C D重 合） ，点 Q 是圆弧AB的中点，且点,P Q在平面ABCD的两侧. （1）证明：平面PAD 平面PBC； （2）设点 P 在平面ABQ上的射影为点 O，点,E F分别是PQB和POA的重心，当三棱锥PABC体 积最大时，回答下列问题. （i）证明：/EF平面PAQ； （ii）求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 20.（12 分）已知椭圆 22

11、22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，P 是椭圆上一动点（与左、右 顶点不重合） ，已知 12 PFF的内切圆半径的最大值为 3 3 ，椭圆的离心率为 1 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 2 F的直线 l 交椭圆 C 于,A B两点，过 A 作 x 轴的垂线交椭圆 C 与另一点 Q（Q 不与,A B重合）. 设ABQ的外心为 G，求证 2 AB GF 为定值. 21.（12 分）已知函数( )2(1 2 )ln a f xxax x . （1）讨论 fx的单调性； （2）如果方程 f xm有两个不相等的解 12 ,x x，且 12 xx，证明：

12、 12 0 2 xx f . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 2 1 2 2 xs ys （s 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为cos2 sin90. （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数( ) |1|24|f xxx. （

13、1）求不等式 6f x 的解集； （2）若函数 yf x的图象最低点为,m n，正数, a b满足6mamb，求 23 ab 的取值范围. 2020 年 1 月山西省高三适应性调研考试 数学（理科）答案 一、选择题 1.解析：由题意得 2 |log1|02Axxxx，| (1)0| 01Bx x xx xx或， 12ABxx，故选 A. 答案：A 2.解析： 2(2)(1)1 3 1(1)(1)2 iiii z iii ，故选 B. 3.解析：设备制造商的经济产出在 2029 年将被信息服务商超过，故选 C. 答案：C 4. 解 析 ： 因 为 444 11 1(12 )1 (12 )(12

14、)xxx xx ， 则 4 (12)x展 开 式 中 含 2 x的 项 为 222 4 1 C (2 )24xx， 4 1 (1 2 ) x x 展开式中含 2 x的项为 332 4 1 (2 )32Cxx x ，故 2 x的系数为243256， 故选 D. 答案：D 5.解析： 1 x fxae，所以 012fa ，解得1a ， 013fabb ，所以2b，所 以2ab，故选 B. 答案：B 6.解析： 2 sin ( ) 1 xx f x x 是奇函数，排除 A； 22 sin ( )0 11 f ，排除 B，C，故选 D. 答案：D 7.解析：取CF的中点 H，连接,DH GH，则在三角

15、形PBC中 2 3 PGPH PBPC ，所以/GH BC，且 2 2 3 GHBC，又因为/AD BC且2AD ，所以/GH AD，且GHAD，所以四边形ADHG为平 行四边形，所以/AG DH，且AGDH.在PDH中，,E F分别为PD和PH的中点，所以/EF DH， 且 1 2 EFDH，所以/EE AG，且 1 2 EFAG，即2AGEF，故选 D. 答案：D 8.解析：因为数列 n a是等差数列，所以 17 74 7 7 2 aa Sa .设公差为 d，因为 2 2a ， 7 28S ，所以 1 1 2 7328 ad ad ，解方程组得 1 1 1 a d 所以数列 n a的通项公

16、式为1 (1) 1 n ann ，所以 1 11 (1) nn a ann .设 n T为数列 1 1 nn a a 前 n 项和， 则 111111111111 1 1 22 33 4(1)(1)223341 n T nnnnnn . 2020 11111111112020 11 223342020 1202020202020 120212021 T ，故选 A. 答案：A 9.解析： （1）10,0ni； （2）5,1ni； （3）16,2ni； （4）8,3ni； （5）4,4ni； （6） 2,5ni； （7）1,6ni，故选 B. 答案：B 10.解析：根据已知0, 2 p F ，:

17、 2 p l y ，由2CFAF，得 3 2 p AF ，不妨设点,A x y在第一象 限，则 3 22 pp y，即yp，所以2xp，易知ABEFCE， |1 |2 ABAE CFEF ，所以 2EFAE， 所 以ACF的 面 积 是AEC面 积 的3倍 ， 即9 2 ACF S， 所 以 1 329 2 2 ACF Spp ，解得6p ，故选 C. 答案：C 11.解析：根据已知得三棱锥ABCD的外接球的半径1r ，因为90ADBACB，所以AB为外 接球直径，所以2AB ，且3AD ，1BD ，2ACBC.当点 C 到平面ABD距离最大时，三棱 锥ABCD的体积最大，此时平面ABC 平面

18、ABD，且点 C 到平面ABD的距离1d ，所以 1113 3 1 1 3326 A BCDC ABDABD VVSd ，故选 B. 答案：B 12.解析：设tx，则2t，所以sinyt在,2上有 4 个零点，可知 425，所以 5 2 222 ， 又, 4 3 ，所以 5 34 2 222 ，即 157 83 ，满足的只有 A，故选 A. 答案：A 二、填空题 13.解析：设a与b的夹角为，则 22 2 |2 |4494 3 2 cos4 437abaa bb ，解得： 1 cos 2 ，所以 3 . 答案： 3 14.解析：设等比数列 n a的公比为 q，由数列 1 2 n Sa为等比数列

19、，则 2 211231 aaa aaa ， 计算得 1 2 q ，故 3 4 15 14 S S . 答案： 15 14 15.解析：第 1 袋取 1 个，第 2 袋取 2 个，第 3 袋取 3 个，第 4 袋取 4 个，第 5 袋取 5 个，共取 15 个.若次 品是第 2 袋，则 15 个产品中正品 13 个，次品 2 个，此时的重量100 13 110 21520y ，若次品是 第1,2,3,4,5n n袋 ， 则15个 产 品 中 次 品n个 ， 正 品15n个 ， 此 时 的 重 量 1 0 0( 1 5)1 1 01 5 0 01 0,1 , 2 , 3 , 4 , 5ynnn n

20、. 答案：1520 1500 10 ,1,2,3,4,5n n（未给出 n 的取值范围也给分） 16.解析：设动点 Q 的坐标为, x y，延长 2 F Q交 1 PF于点 A，由条件知点 Q 在 12 FPF的角平分线上， 结合条件知 2 QFPQ， 所以在 2 PF A中， 2 PQF A.又PQ平分 2 APF， 所以 2 PF A为等腰三角形， 即 2 |PAPF， 2 |AQQF.因为点P为双曲线上的点， 所以 12 2PFPF， 即 12 2AFPAPF， 所以 1 2AF .又在 12 F AF中，Q 为 2 AF的中点，O 为 12 F F的中点，所以 1 1 |1 2 OQA

21、F，所以点 Q 的轨迹是以 O 为圆心，半径为 1 的圆，所以点 Q 的轨迹方程为 22 1 1 2 xyx . 答案： 22 1 1 2 xyx . 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理得sinsin2sinsin()0CBBAB，2 分 化简得2sinsincossinsin0CBBBC.3 分 因为在三角形中，sin0B ，sin0C ， 可得 1 cos 2 B .5 分 因为0,B，所以 3 B .6 分 （2）由余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ，8 分 解得2 7b ，10 分 由正弦定理得 sin3 21 sin 14 cB C b .12 分 18.

22、解： （1）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，1 分 则(0)0.2 0.1 0.10.002P X ，.2 分 (1)0.8 0.1 0.1 0.2 0.9 0.1 0.2 0.1 0.90.044P X ，3 分 (2)0.8 0.9 0.1 0.8 0.1 0.90.2 0.9 0.90.306P X ，4 分 (3)0.8 0.9 0.90.648P X .5 分 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.002 0.044 0.306 0.648 ()0 0.002 1 0.0442 0.3063 0.6482.6E X .6 分 （2）根据已知乙种鱼苗自然成活的

23、概率为 0.9， 依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.1 0.50.95十，8 分 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为10 0.95 2 0.059.4 元.9 分 设购买n尾乙种鱼苗， F n为购买 n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润， 则 9.4376000F nn，解得40000n11 分. 所以需至少购买 40000 尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于 37.6 万元.12 分 19.解： （1）证明：因为ABCD是轴截面，所以AD 平面PCD，所以ADPC，1 分 又点 P 是圆弧CD上的一动点（不与,C D重合） ，且CD为直径，所以PCPD，2 分 又ADPDD，PD 平面PAD，A

24、D 平面PAD，所以PC 平面PAD，PC 平面PBC，故 平面PAD 平面PBC.4 分 （2）当三棱锥PABC体积最大时，点 P 为圆弧CD的中点.所以点 O 为圆弧AB的中点，所以四边形 AQBO为正方形，且PO 平面ABO. （i）证明：连接PE并延长交BQ于点 M，连接PF并延长交OA于点 N，连接MN，则/MN AQ，5 分 因为,E F分别为三角形的重心，所以 2 3 PEPF PMPN ，所以/EF MN，6 分 所以/EF AQ，又AQ 平面PAQ，EF 平面PAQ，所以/EF平面PAQ.7 分 （ii）PO 平面ABO，AO垂直BO，所以以 O 为坐标原点，,OA OB O

25、P所在直线为, ,x y z轴建立空 间直角坐标系， 如图.则0,0,2P， 2,0,0A， 0, 2,0B， 2,0, 2PA， 2, 2,0AB ， 设平面PAB的法向量, ,nx y z，则 0 0 n PA n AB ，即 220 220 xz xy ，可取 2, 2,1n ，9 分 又平面PCD的法向量0,0,1m ，10 分 所以 15 cos, 5|5 n m n m n m ，所以 2 5 sin, 5 n m .11 分 所以平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为 2 5 5 .12 分 20.解： （1）由题意知： 1 2 c a ，2ac，又 222 bac，3bc.

26、1 分 设 12 PFF的内切圆半径为 r， 则 1 2 1212 11 (22 )() 22 PF F SPFPFFFracracr ， 故当 12 PFF面积最大时，r 最大，即 P 点位于椭圆短轴顶点时 3 3 r ，2 分 所以 3 () 3 acbc，把2 ,3ac b代入，解得：2,3ab，3 分 所以椭圆方程为 22 1 43 xy .4 分 （2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为 0，设直线AB为1xmy， 代入椭圆方程得 22 34690mymy.5 分 设 1122 ,A x yB xy，则 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ，6 分 所以AB的

27、中点坐标为 22 43 , 34 34 m mm ，7 分 所以 2 2 22 12 22 12 1 12 1 |11 3434 m m ABmyym mm .9 分 因为 G 是ABQ的外心，所以 G 是线段AB的垂直平分线与线段AQ的垂直平分线的交点， AB的垂直平分线方程为 22 34 3434 m ym x mm ， 令0y ，得 2 1 34 x m ，即 2 1 ,0 34 G m ，所以 2 2 22 133 1 3434 m GF mm ，10 分 所以 2 2 2 2 2 121 |12 34 4 333 34 m AB m mGF m ，所以 2 |AB GF 为定值，定值

28、为 4.12 分 21.解： （1） 2 222 1 22(1 2 )()(21) 2(0) aaxa xaxax fxx xxxx .1 分 当0a时，(0,)x， 0fx， fx单调递增；2 分 当0a 时，0,xa， 0fx， fx单调递减； ,xa， 0fx ， fx单调递增3 分 综上，当0a时， fx在0,单调递增； 当0a 时， fx在0,a单调递减，在, a 单调递增.4 分 （2）由（1）知，当0a时， fx在0,单调递增， f xm至多一个根，不符合题意；5 分 当0a 时， fx在0,a单调递减，在, a 单调递增，则 0fa. 不妨设 12 0xax， 要证 12 0

29、2 xx f ，即证 12 2 xx a ，即证 12 2xx，即证 21 2xax. 因为 fx在, a 单调递增，即证 21 2f xfax， 因为 21 f xf x，所以即证 11 2f xfax，即证()()f axf ax.7 分 令 ( )()()2()(12 )ln()2()(12 )ln() aa g xf axf axaxaaxaxaax axax 4(1 2 )ln()(1 2 )ln() aa xaaxaax axax ，.8 分 22 1 21 2 ( )4 ()() aaaa g x axaxaxax 22222 222222 24 2 (1 2 ) 4 () ()

30、() () a axxxaa aa axaxaxaxax .9 分 当0,xa时， 0gx， g x单调递减，又 0000gf af a， 所以0,xa时， 00g xg，即f axf ax， 即 2f xfax.11 分 又 1 0,xa，所以 11 2f xfax，所以 12 0 2 xx f .12 分 22.解： （1）消参知：C 的直角坐标方程为： 2 4yx，3 分 将cosx，siny代入l的极坐标方程得l的直角坐标方程为：290xy.5 分 （2）设 2, 1 2 2 Pss ，6 分 则点 P 到直线l的距离 22 11 2 29(2 2)5 22 145 sss d ，8

31、分 当2 2s 时，距离最小，最小值为 5 5 5 d .10 分 23.解： （1） 33,2 ( )5, 12 33,1 xx f xxx xx ，2 分 所以由 6f x 可得 2 336 x x ，或 12 56 x x ，或 1 336 x x ， 解得：2,3x或1,2x 或1x . 综上，1,3x .5 分 （2）因为 33,2 ( )5, 12 33,1 xx f xxx xx ，所以当2x 时， min3f x，最低点为2,3， 即236ab，所以1 32 ab .7 分 2323231325 2 323266 abba ababab ， 当且仅当 6 5 ab时等号成立，9 分 所以 2325 , 6ab .10 分