《一元二次方程的根与系数的关系》优课教学创新课件.pptx

1、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 如果一个方程的如果一个方程的两根之和两根之和为为1，两根之积两根之积为为-2，你能说出这个方程吗？，你能说出这个方程吗？今天我们进一步学习一元二次方程今天我们进一步学习一元二次方程根与根与系数的关系系数的关系.知识点1 思考：从因式分解法可知，方程思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数为已知数)的两根为的两根为x1和和x2,将方程化为将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出的形式，你能看出x1，x2与与p，q之间之间的关系吗？的关系吗？把方程把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般

2、的左边展开，化成一般形式，得方程形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0.这个方程的二这个方程的二次项系数为次项系数为1，一次项系数，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项，常数项q=x1x2.于是于是x1+x2=-p,x1x2=q.思考：一般的一元二次方程思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，中，二次项系数二次项系数a未必是未必是1，它的两根的和、积与，它的两根的和、积与系数又有怎样的关系呢？系数又有怎样的关系呢？已知方程已知方程ax2+bx+c=0(a0)，当，当b2-4ac0时，两根分时，两根分别为别为x1=，x2=。x1+x2=，x1x2=.242bbaca 242b

3、baca 22442222bbacbbacbbaaaa 222224422()(4)4bbacbbacaabbaccaa 因此，方程的两个根因此，方程的两个根x1，x2和系数和系数a，b，c有如下关系：有如下关系：bcxxx xaa 1212,.例例 根据一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，求下列求下列方程两根方程两根x1，x2的和与积的和与积.(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 解：解：(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15121279(2),333xxx x xxxxx x 21212(3)4510551,.4

4、44方方程程化化为为，不解方程，求下列方程两根的和与积不解方程，求下列方程两根的和与积.x2-3x=15；5x2-1=4x2+x解：解：x1+x2=3 x1x2=-15解：化简得解：化简得 x2-x-1=0 x1+x2=1 x1x2=-1 设一元二次方程设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别的两个根分别为为x1，x2，则有，则有0且且x1x200且且x1x20 x1+x20 x1+x20 x1+x20 x1+x20两根同为正数两根同为正数两根同为负数两根同为负数两根异号且正根的绝对值大两根异号且正根的绝对值大两根异号且负根的绝对值大两根异号且负根的绝对值大1.关于关于x的方程的

5、方程x2+px+q=0的根为的根为x1=1+，x2=1-，则则p=，q=.2.已知方程已知方程5x2+kx6=0的一根是的一根是2，则另一根，则另一根是是 ，k .2-2-1-735 23.求下列方程的两根求下列方程的两根x1，x2的和与积：的和与积：（1）x23x+2=0；（2）x2+x=5x+6解：解：x1+x2=3 x1x2=2解：化简得解：化简得 x2-4x-6=0 x1+x2=4 x1x2=-64.已知两个数的和为已知两个数的和为8，积为，积为9.75，求这两个数，求这两个数.解：设其中一个数为解：设其中一个数为x，则另一个数为则另一个数为(8-x).根据题意，得根据题意，得x(8-

6、x)=9.75，整理，整理，得得x2-8x+9.75=0.解得解得x1=6.5,x2=1.5.当当x=6.5时，时，8-x=1.5；当当x=1.5时，时，8-x=6.5.这两个数是这两个数是6.5和和1.5.5.x1，x2是方程是方程x25x7=0的两根，不解方的两根，不解方程求下列各式的值：程求下列各式的值：（1）；（；（2）.1211xx 2212xx 解：解：x1，x2是方程是方程x2-5x-7=0的两根的两根.则则x1+x2=5，x1x2=-7.1212121155(1)77xxxxx x 221222112212212122(2)22()252(7)39xxxx xxx xxxx x

7、 6.已知关于已知关于x的方程的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等于的两根之和等于 两根之积，求两根之积，求m的值的值.解：设方程解：设方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根为的两根为x1，x2.x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得根据题意得m2=2m+3，解得，解得m1=3，m2=-1.当当m=3时，原方程为时，原方程为x2-9x+9=0，b2-4ac=450.方程有实数根方程有实数根.当当m=-1时，原方程为时，原方程为x2-x+1=0，b2-4ac=-30.方程无实数根，此方程无实数根，此m值舍去值舍去.m的值为的值为3.若方程若方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别为的两个根分别为x1，x2，则，则若方程若方程x2+px+q=0有两个实根有两个实根x1，x2，则则x1+x2=-p,x1x2=q.bcxxx xaa 1212,.