内蒙古赤峰市2020届高三上学期期末试卷理科数学(解析版).doc
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- 内蒙古 赤峰市 2020 届高三 上学 期末试卷 理科 数学 解析
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1、赤峰市赤峰市 2020 年高三期末考试试卷年高三期末考试试卷 理科数学理科数学 一、选择题一、选择题 1.已知集合 2 230Ax xx,lg1Bxx,则集合 RA B ( ) A. 0,10 B. C. 0,10 D. 0,1 【答案】A 【分析】 化简集合,A B,根据补集定义和交集定义,即可求得答案. 【详解】 2 230Ax xx RA R lg1010Bxxxx 010 RA Bxx 故选:A. 【点睛】 本题考查了集合的补集运算和交集运算,解题关键是掌握补集定义和交集定义,考查了计算能力,属于 基础题. 2.若复数 2 34 ai i 为纯虚数,i是虚数单位,则实数a ( ) A.
2、 3 2 B. 3 2 C. 8 3 D. 8 3 【答案】D 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简,因为复数 2 34 ai i 为纯虚数,则实部为0且虚部不为0联立方程,即可求得 答案. 【详解】 2(2 )(34 )3846 34(34 )(34 )2525 aiaiiaa zi iii 复数 2 34 ai i 为纯虚数 实部为0且虚部不为0 可得 380 460 a a 解得: 8 3 a 故选:D. 【点睛】本题考查根据复数为纯虚数求参数,解题关键是掌握复数代数形式的乘除运算和复数的纯虚数的定 义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 3.下表是某城市在 2019年 1 月份
3、至 10月份各月最低温与最高温()的数据表,已知该城市的各月最低温与 最高温具有相关关系,根据该表,则下列结论错误的是( ) 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 12 3 1 2 7 17 19 23 25 10 A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最低温与最高温的平均值在前 8个月逐月增加 C. 月温差(最高温减最低温)的最大值出现在 1月 D. 1 至 4月温差(最高温减最低温)相对于 7至 10 月,波动性更大 【答案】B 【分析】 根据题意,逐项分析,即可求得答案. 【详解】对于 A,由题意可知该城市
4、的各月最低温与最高温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最高温为 正相关,故 A正确; 对于 B,由表中数据,每月最高温与最低温的平均值依次为: 3.5,3,5,4.5,12,20.5,23,26.5,28,15.5,在前8个月不是逐月增加,故 B错误; 对于 C,由表中数据,月温差依次为:17,12,8,13,10,7,8,7,6,11;月温差的最大值出现在1月,故 C正确; 对于 D,由 C 的结论,分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月,波动性更大, 故 D 正确. 故选:B. 【点睛】本题的解题关键是掌握正负相关的定义和掌握统计学的基本概念,考查了分析能力,属于基础题. 4.设函
5、数 22 sincosf xxx,则下列结论正确的是( ) A. f x的最小正周期为2 B. f x的一个零点为 3 4 C. f x在, 2 上单调递增 D. f x 图象关于直线 5 4 x 对称 【答案】B 分析】 将 22 sincosf xxx,化简为 cos2f xx ,根据余弦图像,逐项判断,即可求得答案. 【详解】 2222 sincoscossincos2f xxxxxx 对于 A, cos2f xx ,可得 2 根据余弦函数最小正周期计算公式可得: 2 T 可得:T,故 A 错误; 对于 B, cos2f xx cos2cos2f xxx 根据余弦函数图像可得f x零点为
6、: 0 2, 2 xkkZ 可得: 0 , 24 xkkZ , 当2k 时, 0 3 4 x ,故 B 正确; 对于 C, cos2f xx 根据余弦函数图像可得增区间为:222.kxkkZ . 2 kxkkZ ,则 2 x 不是 f x增区间,故 C 错误; 对于 D, cos2f xx 根据余弦函数图像可得其对称轴为: 0 2,xkkZ 0 , 2 xkkZ ,则直线 5 4 x 不是 f x对称轴,故 D错误; 故选: B. 【点睛】本题的解题关键是掌握余弦图像的基础知识,掌握整体代入求单调区间的解法,考查了分析能力和 计算能力,属于基础题. 5.函数 1 lnf xxx x 的图象大致
7、是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 因为函数 1 lnf xxx x ,判断函数的奇偶性和单调性,结合图像,即可求得答案. 【详解】函数 1 lnf xxx x 函数定义域为:(,0)(0,) 11 ()lnln( )fxxxxxf x xx 函数 f x定义域为(,0)(0,)的奇函数. 当01x时, 2 ln0,10xx 则 1 ( )lnf xxx x 2 222 11111 ( )1ln1ln0 x fxxxx xxxxx 此时函数( )f x是减函数 当1x 时,ln0,x 由 2 1 0 x x ,可得 1 0x x 1 ( )ln0f xxx x 综上所述,函
8、数 1 lnf xxx x 是定义域为(,0)(0,)的奇函数. 当01x时,函数 ( )f x是减函数 当1x 时( )0f x 只有 C图像符合题意. 故选: C. 【点睛】本题考查了根据函数解析求解函数图像,解题关键是掌握奇偶性的定义和根据导数求函数单调性的 求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 6.设、表示三个不同的平面,m nl、 、表示三条不同的直线,则 的一个充分条件是( ) A. , B. m,n C. l,m n,lm,ln D. /m,m 【答案】D 【分析】 根据充分条件的定义,逐项检验,即可求得答案. 【详解】对于 A, 由 ,不能推出,故 A 错误; 对于 B
9、, 由m,n,不能推出,故 B错误; 对于 C, 由一个平面内的一条直线垂直另一个平面的相交直线,则两个平面垂直.由,m n,无法判断 ,m n 是否相交,故由l,m n,lm,ln,不能推出,故 C错误; 对于 D, 根据一个平面内的一条直线垂直另一个平面,则这两个平面垂直,由/m , m,则中存在垂 直平面的直线,可以推出,故 D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了求一个命题的充分条件,解题关键是掌握充分条件的定义和判断面面垂直的方法,考查了 分析能力,属于基础题. 7.已知 为圆周率,e 为自然对数的底数,则 A. e 3e B. 2 3e3 2e C. log e 3 log e
10、D. 3 log e3log e 【答案】D 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出 【详解】对于 A:函数 y=xe是(0,+)上的增函数,A 错; 对于 B:3e23e23e3e3,而函数 y=xe3是(0,+)上的减函数,B错; 对于 C: 3 11 3 3 ee ee log elog eloglog loglog ,而函数 y=logex是(0,+)上的 增函数,C错, 对于 D: 3 3 3 3333 3 ee ee log elog eloglog loglog ,D正确; 故答案为:D 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能
11、力,属于基础题 8.已知双曲线 22 22 1 xy ab (0a ,0b )的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,过 2 F的直线交双曲线右支于,P Q两 点,且 1 PQPF,若 1 3 4 PQPF,则该双曲线离心率e ( ) A 10 3 B. 10 5 C. 17 3 D. 37 5 【答案】C 【分析】 由 1 PQPF, 1 3 4 PQPF, 可 得 1 QF与 1 PF的 关 系 , 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 1212 2aPFPFQFQF,解得| 1 PF,然后利用 12 Rt PFF,推出 , a c的关系,可得双曲线的离心 率. 【详解】设,P Q为双曲线右支
12、上一点, 由 1 PQPF, 1 3 4 PQPF, 在直角三角形 1 PFQ中 2 2 111 5 | 4 QFPFPQPF 由双曲线的定义可得: 1212 2aPFPFQFQF 1 3 4 PQPF 221 3 4 PFQFPF 可得: 111 53 22 44 PFaPFaPF 1 35 14 44 PFa 解得 1 8 3 a PF 21 2 2 3 a PFPFa 在 12 Rt PFF中根据勾股定理: 22 12 82 2 33 aa cFF 解得: 2 17 2 3 ca 17 3 c e a 故选:C. 【点睛】 本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件
13、画出草图,数形结合,寻找几 何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9.设抛物线 C: 2 xpy(0p )焦点为 F,点 M在 C 上,且3MF ,若以 MF为直径的圆过点 2,0,则 C 的方程为( ) A. 2 4xy或 2 8xy B. 2 2xy或 2 4xy C. 2 4xy或 2 16xy D. 2 2xy或 2 16xy 【答案】A 【分析】 根据抛物线C: 2 xpy(0p ),可得其焦点坐标为:0, 4 p ,准线为 4 p y ,设,M x y,故M点到准线 的距离为:+ 4 p y,根据抛物线定义可得:+ 4 p MFy,画出图形,结合已知,即可求得答案. 【详
14、解】设以 MF为直径的圆的圆心为N 画出几何图形: 抛物线C: 2 xpy(0p ) 其焦点坐标为:0, 4 p ,准线为 4 p y 设,M x y,故M点到准线的距离为: 4 p y 根据抛物线定义可得:+ 4 p MFy 3 44 pp yMF 根据中点坐标公式可得:,M F的中点N为: 2 , 22 p y x 以 MF 为直径的圆过点2,0,根据几何关系可得:2 2 x 2 2x 2 2,3 4 p M 代入 2 xpy 可得: 2 2 23 4 p p ,即: 2 12320pp 解得:4p 或8p C的方程为: 2 4xy或 2 8xy 故选:A. 【点睛】本题考查了求抛物线方程
15、,解题关键是掌握抛物线的定义和根据题意画出几何图形,数形结合,寻找 几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 10.“31N 猜想”是指对于每一个正整数n,若n为偶数,则让它变成 2 n ;若n为奇数,则让它变成31n.如 此循环,最终都会变成1,若数字4 5 6 7 8、 、 、 、按照以上的规则进行变换,则变换次数为偶数的频率是( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 【答案】B 【分析】 分别对数字4 5 6 7 8、 、 、 、按照若n为偶数,则让它变成 2 n ;若n为奇数,则让它变成31n.如此循环,最终都会 变成1,进行计算,即可求得变换次数为偶数的
16、频率. 【详解】当4n ,第1次运算为: 4 2 2 ,第2次运算为: 2 1 2 ,运算次数为2; 当5n ,第1次运算:3 5 1 16 ,第2次运算为: 16 8 2 , 第3次运算为: 8 4 2 ,第4次运算为: 4 2 2 , 第5次运算为: 2 1 2 ,运算次数为5; 当6n,第1次运算为: 6 3 2 ,第2次运算为:3 3 1 10 , 第3次运算为: 10 5 2 ,第4次运算为:3 5 1 16 , 第5次运算为: 16 8 2 ,第6次运算为: 8 4 2 , 第7次运算为: 4 2 2 ,第8次运算为: 2 1 2 ,运算次数为8; 当7n,第1次运算为:3 7 1
17、22 ,第2次运算为: 22 11 2 , 第3次运算为:3 11 134 ,第4次运算为: 34 17 2 , 第5次运算为:3 17 152 ,第6次运算为: 52 26 2 , 第7次运算为: 26 13 2 ,第8次运算为:3 13 140 , 第9次运算为: 40 20 2 ,第10次运算为: 20 10 2 , 根据可知当10n ,还需要6次运算,运算次数为16; 当8n ,根据可知当8n ,还需要3次运算,运算次数为3; 故数字4 5 6 7 8、 、 、 、按照以上的规则进行变换,变换次数为偶数的为3次 变换次数为偶数的频率为: 3 5 . 故选:B. 【点睛】 本题考查了根据
18、运算规律求频率问题,解题关键是掌握在求解运算规律问题时,应在运算中寻找规律, 减少运算步骤,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 11.在三棱锥PABC中,ABC与PBC均为边长为1的等边三角形, , , ,P A B C四点在球O的球面上,当 三棱锥PABC的体积最大时,则球O的表面积为( ) A. 5 3 B. 2 C. 5 D. 20 3 【答案】A 【分析】 由ABC与PBC均为边长为1的等边三角形, , ,P A B C四点在球O的球面上,当三棱锥PABC的体积 最大时,即面ABC与面PBC垂直,画出图像,求出此时的三棱锥PABC外接球的半径,即可求得答案. 【详解】当三棱锥PAB
19、C的体积最大时,即面ABC与面PBC垂直 画出立体图像: 设PBC外接圆圆心为M,ABC外接圆圆心为N,PABC外接球的半径为R, 取BC中点为Q PBC等边三角形 PQBC 又 面ABC面PBC垂直 PQ面ABC AQ 面ABC PQAQ ABC与PBC均为边长为1的等边三角形 可得ABC与PBC外接圆半径为: 3 3 即 3 3 ANPM 则 3 6 NQMQ 又 OM 面PBC,ON 面ABC 四边形OMNQ是正方形, 3 6 NQMQOMON 在Rt PMO中有: 222 POOMPM 解得: 22 2335 3612 PO 故PABC外接球的半径为 2 5 12 R 球的表面积公式为
20、: 2 55 44 123 SR 故选:A. 【点睛】 本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图 形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 12.设曲线 1 C:1 x m ye (0m )上一点 11 ,A x y,曲线 2 C:lnyx上一点 22 ,B xy,当 12 yy时,对 于任意 1 x、 2 x,都有 2 ABe恒成立,则m的最小值为( ) A. 1 B. e C. 1e D. 2 e1 【答案】D 【分析】 因为 11 ,A x y在曲线 1 C:1 x m ye 上,可得 1 1 1 xm ye ,解得:
21、 11 ln1xym, 22 ,B xy在曲线 2 C:lnyx上,可得 22 lnyx,解得: 2 2 y xe, 结合已知可得: 1 211 ln1 y ABxxeym ,通过 构造函数 ln1 x f xexm,求其最值,即可求得答案. 【详解】 11 ,A x y在曲线 1 C:1 x m ye 上 1 1 1 xm ye ,解得: 11 ln1xym 22 ,B xy在曲线 2 C:lnyx上 22 lnyx,解得: 2 2 y xe 根据曲线 1 C和曲线 2 C图像可知: 21 xx,可得 2 21 xxe 2 211 ln1 y ABxxeym 12 yy,可得 1 211 l
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