高等数学第一章-函数极限课件.ppt

1、第一章 函数与极限第一节 函数第二节 极限第三节 函数的连续性函数的定义记作Dxxfy),(式中x称为自变量，y称为因变量，自变量x的变化范围D称为函数)(xfy 的定定义义域域，因变量y的变化范围称为函数)(xfy 的值值域域。设yx,是两个变量，D是给定的一个数集，若对于D中的每一 个x值，根据某一法则f，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么，我们就说变量y是变量x的函数。示 例24)(xxf求 的定义域 因此 所以，函数的定义域为 要使函数有意义，应满足 ，即 042 x42x22x2,2示 例 要使函数有意义，应满足 ，即 0102xx且12xx且所以，函数的定义域为)2,1()1,(

2、求 的定义域 1)2lg()(xxxf函数的表示法表格法表格法 将自变量的值与对应的函数值列成表的方法如平方表、三角函数表等在坐标系中用图形来表示函数关系的方法 例如，气象台用自动记录仪把一天的气温变化情况自动描绘在记录纸上函数的表示法图像法图像法 将自变量和因变量之间的关系用数学式子表示的方法显函数 隐函数 分段函数 公式法公式法 函数的表示法解析表达式解析表达式解析表达式函数的自变量x和因变量y的对应关系 由方程0),(yxF确定 函数y由x的解析式直接表示出来 函数在定义域的不同范围具有不同的解析表达式 12 xy0)sin(yxy0101xxxxy函数的几种特性奇偶性 设函数)(xfy

3、 的定义域D关于原点对称，且对任意Dx 均有)()(xfxf,则称函数)(xf为偶函数;若对任意Dx 均有)()(xfxf,则称函数)(xf为奇函数。函数的几种特性单调性 若函数)(xfy 对区间),(ba内的任意两点21,xx，当12xx 时，有)()(12xfxf，则称此函数在区间),(ba内单调增加。若有)()(12xfxf，则称此函数在区间),(ba内单调减少。函数的几种特性有界性 设D是函数)(xfy 的定义域，若存在一个正数M，使得对一切 Dx，都有Mxf)(，则称函数)(xf是有界函数，否则称函数)(xf为无界函数。函数的几种特性周期性 对于函数)(xfy，若存在常数0T，使得对

4、一切Dx，皆有)()(Txfxf成立，则称函数)(xf为周期函数。示 例 因为 xfxxx1111)(xxxxf判断函数 的奇偶性 11)(xxxxf所以，是奇函数 xf示 例 因为 ，故xx212判断函数 的有界性 21cos)(xxxxf21211cos)(22xxxxxxxxf所以，是有界函数 xf反函数给定函数)(xfy，如果把y作为自变量，x作为 函数，则由关系式)(xfy 所确定的函数)(yx称为 函数)(xfy 的反函数，而)(xfy 称为直接函数.示 例求函数 的反函数13 xy因为 ，所以13 xy31yx所以函数 的反函数为13 xy31xy基本初等函数复合函数如果y是u的

5、函数)(ufy，u是x的函数)(xu，当x在 某一区间上取值时，相应的u值使y有意义，则称y是x的复合函数，记作)()(xfufy，其中x是自变量，u是中间变量。由基本初等函数及常数经过有限次四则运算 及复合所得到的函数都是初等函数 示 例)(xf)1sin(sin2xu设 ，uufysin)(,1)(2xxu求 )(xf设 ，uufy)(tetu)(求 )(xf,)(3xxt)(xf3xteeu示 例1,arcsin,2xvvttueyu分析函数 的复合结构 1arcsin2xey所给函数由复合而成示 例xsvvttuuys2,2,cos,arctan,3分析函数 的复合结构 322cosa

6、rctanxy 所给函数由复合而成第一章 函数与极限第一节 函数第二节 极限第三节 函数的连续性数列的极限对于数列 ny，如果当n无限增大时，ny无限接近于某个常数A，那 么常数A就叫做数列 ny当n时的极限，记作Aynnlim.有极限的数列都是有界的有极限的数列都是有界的 几个常用数列的极限函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 对于函数)(xfy，如果当自变量的绝对值无限增大时，函数)(xf无限 接近于某个常数A，那么常数A就叫做函数)(xf当x时的极限 记作 或 当 时，Axfx)(limxAxf)(函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限 对于函数)(xfy，如果当自变量x无限接近于0

7、x时，函数)(xf无限 接近于某个常数A，那么常数A就叫做函数)(xf当0 xx 时的极限 记作 或 当 时，Axfxx)(lim00 xx Axf)(函数的极限函数的左（右）极限 记作)(lim()(lim00AxfAxfxxxx如果自变量x仅从小（大）于0 x的一侧趋近于0 x时，函数)(xf无限趋近于 A，则称A为函数)(xf当x趋近于0 x时的左（右）极限 函数)(xf在点0 x的极限存在的充分必要条件是)(xf在点0 x的左、右极限都存在且相等.示 例1)1(lim)(lim,0lim)(lim0000 xxfxxfxxxx讨论函数 当 时是否存在极限 001)(xxxxxf0 x)

8、(lim)(lim00 xfxfxx不存在)(lim0 xfx极限的运算 假定在同一极限过程中，极限 和 都存在，则极限运算存在如下法则：)(limxf)(limxg法则一)(lim)(lim)()(limxgxfxgxf法则二)(lim)(lim)()(limxgxfxgxf法则三 0)(limxg若 ，则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf示 例)532(lim)(lim311xxxfxx设 ，求532)(3xxxf)(lim1xfx5limlim3lim21131xxxxx5limlim3lim21131xxxxx0513123示 例)1()1(lim)(lim211xx

9、xxfxx设 ，求)1()1()(2xxxxf)(lim1xfx23)1(lim)1(lim121xxxxx示 例xxx11lim30求xxx11lim30 xxxxx32033lim333lim20 xxx示 例12314lim22xxxx求12314lim22xxxx3412314lim22xxxx示 例)1)(1(3)1(lim1311lim22131xxxxxxxxx求1311lim31xxx)1)(1(2lim221xxxxxx示 例xxxxxxxxxxxx22221)1)(1(lim)1(lim求)1(lim2xxxx211111lim1lim22xxxxxx极限存在的两个准则准则

10、一 若对于0 x的某邻域内的一切x（可以不包含0 x），有)()()(xhxfxg，且Axhxgxxxx)(lim)(lim00，则必有Axfxx)(lim0.准则二单调有界数列必有极限.1sinlim0 xxxennn11lim示 例xxaxxaxaxxsincos2lim)sin()sin(lim00求xxaxax)sin()sin(lim0axxaxcos2sinlimcos20示 例621030)2(1lim)21(limxxxxxx求xxx30)21(lim6 e无穷大和无穷小如果0)(lim0 xxx（或0)(limxx），则称变量)(x当0 xx（或x）时为无穷小。如果当)(li

11、m0 xfxx（或)(limxfx），则称)(xf当0 xx（或x）时为无穷大.显然，在同一变化过程中，如果0)(limxf（0)(xf），则)(1limxf，反之，如果)(limxf，则0)(1limxf.示 例032151lim325lim43443xxxxxxxxx求532lim34xxxx532lim34xxxx根据无穷小与无穷大的关系有：无穷小的性质 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。有限个无穷小之积仍为无穷小。有界变量与无穷小之积仍为无穷小。无穷小除以极限不为零的变量之商仍为无穷小。示 例x证明0sinlimxxx0sin1limsinlimxxxxxx 是无穷小，x1xsin 是有

12、界变量x1xsin与 的乘积仍然是无穷小，无穷小的比较设与是同一变化过程中的无穷小 若0lim，则称是比高阶的无穷小，记作)(o。若lim，则称是比低阶的无穷小。若0lim c，则称与是同阶无穷小。当0 x时，有：xxsinxarcsinxtanxarctan 示 例求xxx3tan5arcsinlim03535lim3tan5arcsinlim00 xxxxxxx5 ,5arcsin xx3 x3tan示 例313122lim)312)(4(82lim44xxxxxx)312)(4()312)(312(lim4312lim44xxxxxxxx 说明：当 时，无穷小 和 之间的关系4x312x

13、4x所以当 时，和 是等价无穷小4x312x4x第一章 函数与极限第一节 函数第二节 极限第三节 函数的连续性函数连续的定义设函数)(xf在点0 x的某邻域内有定义，若极限)(lim0 xfxx存在，并且 等于函数值)(0 xf，即)()(lim00 xfxfxx 则称函数)(xf在点0 xx 连续连续，此时0 x称为)(xf的连续点连续点。如果函数)(xf在点0 x处不连续，则称0 x为)(xf的间间断断点点.示 例)1()(lim1fxfx21)1(,1)(lim1fxfx指出函数 的间断点，并作出图像11211)(xxxf所以 在 处间断)(xf1x示 例0)1(lim)(lim11xx

14、fxx,2)3(lim)(lim11xxfxx指出函数 的间断点，并作出图像111311)(xxxxxxf所以 在 处间断)(xf1x)(lim)(lim11xfxfxx)(lim1xfx不存在闭区间上连续函数的性质 设函数 在闭区间 上连续，则)(xf,ba最值定理 在闭区间 上有最大值和最小值)(xf,ba有界定理 在闭区间 上有界)(xf,ba零点定理 若 与 异号，则在 内至少存在一点 ，使得)(af),(ba)(bf0)(f两个推论若)()(bfaf，对介于)(af与)(bf之间的任一数C，则在ba,内 至少存在一点，使得Cf)()(xf在ba,上的最大值与最小值分别为M和m，对介于M和m之 间的任一数C，则在ba,内至少存在一点，使得Cf)(.示 例试证方程 至少有一个小于1的正根 ，022 xex 设 ，则 在 上 连续，2)(2xexfx 1,0)(xf03)1(,01)0(2eff 且 由零点定理，得在 内至少存在一点 ，使得)1,0(0)(f