高等数学定积分的换元积分法课件.ppt

1、1复习复习6.微积分基本公式微积分基本公式4.积分上限函数积分上限函数 xattfx d)()(5.积分上限函数的导数积分上限函数的导数 )()(xattfxd1.定积分定积分定义定义 xxfbad)(iniixf 10)(lim 2.定积分的定积分的思想和方法：思想和方法：分割分割,近似近似,取和取和,求极限求极限.).()()(aFbFxfba dx)(xf牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式.3.3.定积分的定积分的值值与与积分变量积分变量使用的使用的字母无关字母无关.xxfbad)(ttfbad)(uufbad)(2)(xfy)0)(xfxoyab)(xfy baoy)(xfy xxyo

2、)(xfy ab3)(xfy)0)(xf45,1210bxxxxxann iiixfA )(，,1iixx;1 iiixxx,1iixx，i,1iixx)(if iixf)(abxyoix1x1 ix1 nxi 6iniixfA )(1 iniixfA )(lim10 ,max21nxxx abxyoix1x1 ix1 nxi 7)(tvv ,21TT，0)(tv8212101TtttttTnn 1 iiittt)(iv iinitvs )(1,max21nttt iniitvs )(lim10 1 itit i itit isiniixfA )(lim10 9bxxxxxann 1210,b

3、a,1 iiixxx，),2,1(ni),(iiix iixf)(iniixfS )(1，),2,1(ni ，nxxx ,max21,1iixx i 0 SI)(xf,ban,ba,ba10：,bainiixfI )(lim10 )(xf baxf )(iniixf 10)(lim baxf)(dx.,ba简称：简称：11iniitvs )(lim10 iniixfA )(lim10 )(xf,ba)(xf,ba baxf)(dx batf)(dt bauf)(du 21)(TTtvdt baxf)(dx.baxf)(i 12)(xf,ba)(xf baxf)(dx,ba)(xf,ba)(xf

4、,ba13A)(xfy A)(xfy baxf )(dx baxf )(dx1.0)(xfA2.0)(xf)(xf baxf)(A 4321)(AAAAxfba dx ab14)(xf baxf)(dx4.4321)(AAAAxfba dx ab15a=b；0)(baxf dxab abbaxfxf)()(dx.dx；0)(aaxf dx16iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxgxf)()(dx baxf)(dx baxg)(dxdx baxgxf )()(dxdx babaxgxf)()(17iinixkf )(lim10

5、iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 baxkf )(dx baxfk)(dx.baxkf)(dxdx baxfk)(k18,cba baxf )(dx bccaxfxf)()(dxdx.caxf)(dx cbbaxfxf)()(dxdx baxf)(dx cbcaxfxf)()(dxdx bccaxfxf)()(dxdx,bca ibaixf)(,0 baxf )(dx bccaxfxf)()(dxdx.icaixf)(,ibcixf )(,)(xfy 19,0)(xf,0)(if),2,1(ni,0 ix,0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf

6、)(lim10 .ab ba dx ba 1dx ba,0)(xf,0)(baxfdx)(ba)(xfA1)(xf.0)(baxf dx20),()(xgxf,0)()(xfxg)(xf)(xg)(ba ba,),()(xgxf babaxgxf)()(dxdx.,0)()(babaxfxg dxdx,0)()(baxfxgdx babaxgxf)()(dxdx.21,xex0,2 x 20 xedx和和 20 xdx 02xedx 20 xedx.103102的大小的大小与与比较比较 xxdxdxdx 02x dx 20 x22)(ba ,)()()(xfxfxf bababaxfxfxf)

7、()()(dxdxdx babaxfxf)()(dxdx babaxfxf)()(dxdx.23,)(Mxfm )(xfy)(ba )(xf),()()(abMxfabmba dx bababaMxfm )(dxdx).()()(abMxfabmba dx24,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x 003031sin3141 xdxdxdx.3sin31403 xdx 03sin31xdx25)(xf ba,ba,，)(ba ，ba,)()()(abMxfabmba dxMxfabmba )(1dx baxfabf)(1)(dx.baabfxf)()(b

8、aabfxf)()(dx26 baabfxf)()(dx，)(xfy)(fxyoab)(f27 baxf)(dxiniixf 10)(lim 2829解解 xxd11ttd)122(Ctt 1ln22 )1ln24()2ln26(94d11xx1ln22 xxCxx 1ln22例如例如.d1194 xx计算计算,tx 令令,2tx 则则.d2dttx tttd12 .2ln22 94).()()(aFbFxfba dx301ln22 ttx49t23另解另解.d1194 xx 94d11xx,tx 令令,2tx 则则.d2dttx tttd12 )1ln24()2ln26(.2ln22 322

9、3315-3定积分的换元法定积分的换元法一、换元公式一、换元公式则有：则有：定理定理假设假设)(xf在区间在区间,ba(1)(1)函数函数上上连续；连续；(2)(2)函数函数)(tx 在区间在区间,上上单值单值的且有的且有连续的导数；连续的导数；(3)当当 t 在区间在区间,上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在区间在区间,ba上变化时，上变化时，且且,)(a ,)(b tttfxxfbad)()(d)(32证证 )(d)(d)()(ttftttf tttfd)()(tttfd)()().()(aFbF 证毕证毕，CxFxxf )()(d设设,)(a ,)(b 注意：注意：换元公式仍然成立换

10、元公式仍然成立.当当 时，时，(1)(1)上限上限与与上限上限对应，对应，(3)(3)(2)(2)换元的换元的同时同时应换限应换限.下限下限与与下限下限对应对应.),()()(aFbFxxfba d则则),()(FF.)(CtF 对对ab仍成立仍成立.33解解例例1 1 计算计算.121022 xxxdttdsin602 602sin412 tt.8312 ,sintx 令令,dcosdttx 则则0t0 x6 21022d1xxx34解解例例2 计算计算.18ln3ln xexd原式原式ttttd12322 ttd)111(2322 3211ln212 ttt.23ln2 xln3ln8t2

11、3注意：注意：xxxfd)()(换元公式可换元公式可反过来用，反过来用，边对调地位，边对调地位，令令.)(tx ,1tex 令令),1ln(2 tx则则，tttxd12d2 只须把公式左右两只须把公式左右两t改记为改记为.x同时把同时把 battf d)(35例例3 计算计算.dsincos2 0 5 xxx解解令令,cosxt 2 001 205dsincos xxx 015dtt1066t.61,dsindxxt 另解另解 205dsincos xxx 205)cosd(cos xx206cos61 x .61 说明：说明：xt不换元时不换限，不换元时不换限，换元的换元的同时同时应换限应换

12、限.36解解ln,tx 例例4 计算计算121d.1 lnexxx 令令 1 arcsin(ln)ex1dd,txx 则则121d1 lnexxx 1211d1 lnexxx 121d(ln)1 lnexx arcsin(ln1)arcsin(ln)e 10arcsin.26 注意：注意：能凑微分就不换元，这样就不换限能凑微分就不换元，这样就不换限.37例例5计算计算 0 53.dsinsinxxx解解由于由于 xx53sinsin，xxcossin23 2053dsinsin xxx 253dsinsinxxx原式原式=2023dcossin xxx 2023sindsin xx2025si

13、n52 x ）（5252注意：注意：225sin52x.54 223d)cos(sinxxx 223sindsinxx去绝对值去绝对值或或去根号时，去根号时，应应注意其正负注意其正负，否则就会出错，否则就会出错.)sin1(sin23xx 38 d)(aaxxf即即例例6当当)(xf在在,aa 上上连续，连续，且有且有)(xf为为偶函数，偶函数，则则 aaaxxfxxf0.d)(2d)(2)(xf为为奇函数，奇函数，则则 aaxxf.0d)()(xf奇奇偶偶)(xfoxy-aa)(xfy a-axy0)(xfy，0，axxf0d)(2(1)39 0d)(axxf 0d)(attf attf0d

14、)(;d)(20 axxf aaxxfd)(.0证证,d)(d)(d)(00 aaaaxxfxxfxxf证毕证毕x-a0ta0,)(0 axxfd,d)(d)(d)(0 0 aaaaxxfxxfxxf在在 0)(axxfd中，中，令令,tx (1)(xf为为偶函数，偶函数，),()(xfxf 则则(2)(xf为为奇函数，奇函数，),()(xfxf 则则 aaxxfd)(aaxxfxxf 0 0 d)(d)(aaxxfxxf00d)(d)(40奇函数奇函数解解例例7 7 计算计算.d11cos21 1 22 xxxxx原式原式 1122d112xxx 112d11cosxxxx偶函数偶函数 1

15、0 22d114xxx 1 0 222d)1(1)11(4xxxx 1 0 2d)11(4xx 1 0 2d144xx.4 单位圆的面积单位圆的面积41证证令令tx 2,ddtx 0t0 x2 2 2020dcosdsin xxxxnn即即 2 0 dsin xxn 0 2)d)(2(sin ttn 2 0 dcos ttn.dcos2 0 xxn证明证明 2020dcosdsin xxxxnn例例8 842证证令令tx 2,ddtx 0t0 x2 2 即即 0 2sin()(d)2ftt 2 0(cos)dftt 设设f(x)在在0,1上连续，证明上连续，证明2200(sin)d(cos)d

16、fxxfxx 例例9 920(sin)dfxx 2 0(cos)d.fxx 2200(sin)d(cos)dfxxfxx 43证证*()d()(d)baabf abxxf tt ，txdd ,txba 令令，tbax 则则 battfd)(baxxf.d)(.d)(d)(xxbafxxfbaba 例例1010证明证明.d)(d)(xxbafxxfbaba ataxbb44证证，ttxdd ,0 x4 x,3 t,1 t，212 tx则则.d12240 xxx例例1111计算计算令令,12tx 40d122xxx 312d221tttt 3123)d(21tt 3133321tt )331()9

17、327(21.3224510()2()d,f xxf tt 例例1212设设f(x)是连续函数，且是连续函数，且求求().f x解解1即即则则()1.f xx 对对从从0到到1关于关于 x积分，积分，10()2()df xxf tt 10()df xx 11001()d2()d,2f xxf tt 101()d,2f xx 于是于是89年考研题年考研题111000d2()dd,x xf ttx 4610()2()d,f xxf tt 例例1212设设f(x)是连续函数，且是连续函数，且求求().f x解解2令令10()d,f tta 则则()2,f xxa 将将()2f xxa 代入代入10()df tta 中，得中，得10(2)d,tata 即即12012,2tata 也为也为12,2aa 所以有所以有1,2a 则则()1.f xx 89年考研题年考研题47定积分的换元法定积分的换元法xxfbad)(tttfd)()(小结小结主要作用：主要作用：偶偶奇奇)(d)(2)(0d)(0 xfxxfxfxxfaaa1.1.简化简化定积分的计算，定积分的计算，2.2.证明证明一些等式一些等式 2020dcosdsin xxxxnn