高等数学6-2课件.ppt

1、xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形xxxx x 例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面

2、面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3,2 x,0,2)1(xdxxxxdA)6(231 ,3,0)2(xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4,

3、8(),2,2(422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4,2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一

4、象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 设由曲线设由曲线)(r及射线及射线 、围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)(在在,上连续，且上连续，且0)(xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 二、极坐标系情形二、极坐标系情形)(r例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2

5、cos22a 1A例例 6 6 求心形线求心形线)cos1(ar所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0(a.解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1(02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）三、小结三、小结思考题思考题 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3,2(，且，且)(xf为单调函数

6、，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)()(2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy

7、 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3,2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy 一、一、填空题：填空题：1 1、由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_.2 2、由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_._.3 3、由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_._.4 4、计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 .5 5、由曲线

8、由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _.练练 习习 题题6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积S最最小小 .二、二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、xy1 与直线与直线xy 及及2 x；2 2、y2x与直线与直线xy 及及xy2；3 3、)cos2(2 ar；4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(taytta

9、x )20(t及及x轴；轴；5 5、cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 .三、三、求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0(和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积.四、四、求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积.五、五、求由抛物线求由抛物线axy42 与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值面积的最小值 .一、一、1 1、1 1；2 2、332；3 3、2 2；4 4、y；5 5、21 ee；6 6、21.二、二、1 1、2ln23；2 2、67；3 3、2a；4 4、23 a；5 5、45；6 6、223a.三、三、49.四、四、2e.五、五、238a.练习题答案练习题答案