高等教育线性代数矩阵课件.pptx

1、1 1、某班级同学早餐情况、某班级同学早餐情况这个数表反映这个数表反映了学生的早餐了学生的早餐情况情况.姓名姓名馒头馒头包子包子鸡蛋鸡蛋稀饭稀饭周同学周同学1211张同学张同学0000陈同学陈同学0221为了方便，常用下面的数表表示为了方便，常用下面的数表表示 1220000011212 2、某航空公司在、某航空公司在，四城市之间的航线图四城市之间的航线图其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中把表中的的 改成改成,空白地方空白地方填上填上,就得到一个数表就得到一个数表:北京北京杭州杭州广州广州上海上海这个数表反映这个数表反映了四城市间交了四城市间交通联接情况通联接情况

2、.为了方便，常用下面的数表表示为了方便，常用下面的数表表示0111111100000000广州广州杭州杭州北京北京上海上海发站发站广州广州 杭州杭州 北京北京 上海上海到站到站0110101010010100 11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 3 3、线性方程组、线性方程组的解取决于的解取决于系数系数 1,2,ib im 常数项常数项11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为

3、对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.),2,1;,2,1(njmiaij 定义定义()ijm nAa ）排成的）排成的 行行 列的矩形数表，称为数域列的矩形数表，称为数域mn由数域中的个数（由数域中的个数（nm ijaF1,2,;im 1,2,jn 记作：记作：111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa m nA()ija元素元素行标行标列标列标ija称为矩阵的称为矩阵的元元.A(,)i j中的一个中的一个矩阵矩阵.mn F或或或或元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.、只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称

4、为行矩阵行矩阵,只有一列的矩阵称为只有一列的矩阵称为列矩阵列矩阵.、行数与列数相等的矩阵称为行数与列数相等的矩阵称为阶方阵阶方阵,、若，且，若，且，(),()ijm nijs tAaBb,ms nt称称两矩阵同型两矩阵同型.、称为称为方阵的行列式方阵的行列式.A若，且，若，且，(),()ijm nijm nAaBbijijab 称称两矩阵相等两矩阵相等.、例如例如 34695301实矩阵实矩阵42 1362222222i 421 9532矩阵（行矩阵）矩阵（行矩阵）41 4矩阵（阶方阵）矩阵（阶方阵）11 矩阵矩阵13（列矩阵）（列矩阵）33 复矩阵复矩阵阶方阵阶方阵121121012322两

5、矩阵同型两矩阵同型113202113202两矩阵相等两矩阵相等、零矩阵零矩阵mn 个个元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵.注意注意 不同的零矩阵未必相等的不同的零矩阵未必相等的.记作记作 或或 .Om nO、对角矩阵对角矩阵主对角线以外的所有主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为元素全为零的方阵称为对角阵对角阵.n 00000021OO不全为不全为0 0记作记作 12,.,ndiag 、单位矩阵单位矩阵主对角线上的所有主对角线上的所有元素全为元素全为1 1的对角阵称为的对角阵称为单位阵单位阵.100010001OO全为全为1 1记作记作.E4 4、数量矩阵数量矩阵000000

6、 OO记作记作.E 主对角线上的所有主对角线上的所有元素全为元素全为 的对角阵称为的对角阵称为数量阵数量阵.全为全为 5 5、三角矩阵三角矩阵形如形如形如形如11121222nnnnaaaaaa11212212nnnnaaaaaa的矩阵称为的矩阵称为上三角矩阵上三角矩阵.的矩阵称为的矩阵称为下三角矩阵下三角矩阵.上三角矩阵与下三角矩阵统称为上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵三角阵.记作记作 .tria A6 6、负矩阵负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为行行阶梯形矩阵阶梯形矩阵：1 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；）若有零行（元素全为零的行），位于底部；若若11

7、11nmmnaaAaa，则称，则称1111nmmnaaaa为为 的的负矩阵负矩阵.A记作记作.A 7 7、行行阶梯形矩阵阶梯形矩阵2 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.4000031000232001001012310014000200000121000500002121011100120005如如000010000000000 a称满足下列三个条件的矩阵为称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵行最简形矩阵：1 1）行阶梯形矩阵）行阶梯形矩阵8 8、行最简形矩阵行最简形矩阵2 2）各非零行的首非零元均为）各非零行的首非零元均为1.1.3 3

8、）首非零元所在列其它元素均为）首非零元所在列其它元素均为.0120000100001000010000100001如如000010000000000称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为标准形标准形：1 1）左上角为单位阵；）左上角为单位阵；、标准形标准形）其它元素均为）其它元素均为.1000010000001000010000100001如如100000100000100100010001000100000000000EOOO之间的关系式之间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay一个一个线性变换线性变

9、换.1212,nmnxxxmyyy个变量与个变量个变量与个变量1212,nmxxxyyy表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量ija其中其中 为常数为常数.,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211线性变换的系数构成的矩阵称为线性变换的系数构成的矩阵称为系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换.nnxyxyxy,2211对应对应 1000100

10、01单位阵单位阵.线性变换线性变换11221232.5,2.52.yxxyxx 对应对应32.52.52线性变换线性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsincosXYO yxP,111,yxP这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.(cos,sin)P rr1(cos(),sin()P rr(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念(2)(2)特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵；行矩阵与列矩阵；单位矩阵；单位矩阵；零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021 000

11、000000000000020500107030550501矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别?矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同不同.另外行列式与矩阵的记号也是不同的另外行列式与矩阵的记号也是不同的.形数形数表，称为数域表，称为数域中的一个中的一个矩阵矩阵.由数域由数域中的中的个数个数 排成的行列的矩排成的行列的矩ija记作：记作：111212122211nnmmmnaaaaaa

12、Aaaa 实矩阵实矩阵，复矩阵，行矩阵复矩阵，行矩阵，列矩阵，方阵，方阵列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等.1 1）零矩阵零矩阵个个元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵.2 2）对角矩阵对角矩阵主对角线以外的所有主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为元素全为零的方阵称为对角阵对角阵.3 3）单位矩阵单位矩阵主对角线上的所有主对角线上的所有元素全为的对角阵称为元素全为的对角阵称为单位阵单位阵.4 4）数量矩阵数量矩阵主对角线上的所有主对角线上的所有元素全为元素全为的对角阵称为的对角阵称为数量阵数量阵.5 5）三角矩阵三角矩阵上三角矩

13、阵与下三角矩阵统称为上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵三角阵.6 6）负矩阵负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵阶梯形矩阵：1 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；）若有零行（元素全为零的行），位于底部；7 7）阶梯形矩阵阶梯形矩阵2 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.称满足下列三个条件的矩阵为称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵行最简形矩阵：1 1）行阶梯形矩阵）行阶梯形矩阵8 8）行最简形矩阵行最简形矩阵2 2）各非零行的首非零元均为）各非零行的首非零元均为.3 3）首非零元所在列其它元素均为）首

14、非零元所在列其它元素均为.称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为标准形标准形：1 1）左上角为单位阵；）左上角为单位阵；9 9）标准形标准形）其它元素均为）其它元素均为.注意注意:只有只有同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法运算运算.()ijijm nABab(),()ijm nijm nAaBb，若若规定规定（设（设均是同型矩阵）均是同型矩阵）（1 1）（交换律）（交换律）ABBA（2 2）（结合结合律）律）()()ABCABC（3 3）AOA（4 4）()AAO （5 5）（减法）（减法）()ABAB (),ijm nAaR ()ijm nAAa 若若规定规定（设（设 均

15、是均是 矩阵，矩阵，）A B Cmn,R 1AA（1 1）()()AA （2 2）()ABAB（3 3）()AAA（4 4）（6 6）OO 1 1）数乘矩阵是数）数乘矩阵是数去乘去乘中的每一个元素中的每一个元素.0AO（5 5）2 2）若）若 ，则，则AO 0.0.orAOorand AO设甲、乙两家公司生产设甲、乙两家公司生产、三种三种型型111213212223aaaaaa 如果生产这三种型号的计算机每台的利润如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：单位：万万甲甲乙乙2520182416270.50.20.7112131bbb 0.50.20.7B 252018241627A 那么这两

16、家公司的月利润那么这两家公司的月利润 (单位：万元单位：万元)为多少为多少?号的计算机，月产量（单位：台）为号的计算机，月产量（单位：台）为元台元台)为为29.134.1 C 250.5200.2180.7240.5160.2270.7 甲公司每月的利润为甲公司每月的利润为29.129.1万元，乙公司的利润为万元，乙公司的利润为由例题可知矩阵由例题可知矩阵、的元素之间有下列关系的元素之间有下列关系11 11122113311121 112221233121a ba ba bcCABa ba ba bc11 111221133121 1122212331a ba ba ba ba ba b 11

17、1213212223aaaaaa112131bbb34.134.1万元万元.依题意依题意(),ijm nABCc()(),ijmnssijAaBb，若若规定规定1 1221ijijijissjikkjca ba ba ba b 其中其中1 21 2im jn（，；，）1 1）条件）条件 左左矩阵矩阵的的列列数等于数等于右右矩阵矩阵的的行行数数2 2）方法）方法Cijc等于等于左左矩阵矩阵 的的第第 行行与与右右矩阵矩阵 的的第第 列列对应元素对应元素左行右列法左行右列法矩阵乘积矩阵乘积 的元素的元素ABji乘积的和乘积的和.3 3）结果）结果 左行右列左行右列左左矩阵矩阵的的行行数数为为乘积乘

18、积的行数的行数，右右矩阵矩阵的的列列数为乘积数为乘积的列数的列数.1121111211ssbbaaab 11 11122111ssa ba ba b11kka b 1121111211ssaabbba 1s 1s 与与矩阵的乘积矩阵的乘积1s 1s 与与矩阵的乘积为矩阵的乘积为11 1111 1211 121 1121 1221 11 111 121 1ssssssa ba ba ba ba ba ba ba ba b 为一阶方阵，即一个数为一阶方阵，即一个数一个阶方阵一个阶方阵例例1 1设设225225,223162AMN解解,),.MN A MNMN A AM AN求求(,(,(2222A

19、B 3333 0000 12121212 BA 3333 2222AM AN 1661661661663333 52253162BMN 1 1、无交换律、无交换律2 2、无消去律、无消去律3 3、若、若ABBA?AMAN MN?ABO.AO orBO?（假定所有运算合法，（假定所有运算合法，是矩阵，是矩阵，）A B C,R ()AB CACBC()()()ABA BAB（2 2）()A BCABAC（3 3）（4 4）AOOAO（5 5）EAAEAOE不尽相同，不尽相同，亦不尽相同亦不尽相同.(1)()(BCACAB 定义定义对于矩阵对于矩阵 ，若，若 ，称，称 与与 可交换可交换.,A BA

20、BBA BA例例2 2设设 ，求，求 的所有可交换矩阵的所有可交换矩阵.A1021A 解解1234xxXxx 设设AXXA，于是，于是即即1212343410102121xxxxxxxx 12132422xxxxxx建立方程组得建立方程组得1423,0,xxxxR13100.,(,)xaXorXa bRxxba所以所以12234422xxxxxx kkAAAA (),ijn nAakZ 规定规定若若1 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.2 2、只能是正整数只能是正整数.k（1 1）1212kkkkAAA（2 2）121 2()kkk kAA（设（设 均是均是 阶方

21、阵，阶方阵，）A B12,k k kZ n（4 4）kEE（3 3）()kkkAA（5 5）122221kkkkkAAAA AAAAA)()()()(ABABABABABk BBAAk 1)()6(kABkkA B?（1 1）2AB?222AABB（2 2）（7 7）kAE 1122211kkkkkkkkkACACACAE例例3 3101A 设设，计算，计算23,.kAAA2110101A 解解1201 321120101AAA1301 下用下用数学归纳法数学归纳法证明证明101kkA 猜想猜想当当 时，等式显然成立时，等式显然成立.2n 当当 时，等式成立，时，等式成立，即即nk 11(1,

22、2,)0101kkkAk等式成立等式成立.所以所以猜想正确猜想正确.要证要证 时成立，此时有时成立，此时有1nk1110101kkkAAA 1101k 解解010000010000000ABE 例例4 4 设设，计算，计算 .100100A kA2001000,000B 3000000,000B 易见易见 3333kkkBB BOBOk kkABE 1122211kkkkkkkkkBCBCBCBE11222333kkkkkkkECBCBCBOO 1100010010001001000kkk.200110002000kk k 121(1)2000kkkkkkk kkk 把矩阵把矩阵 的行换成同序

23、数的列得到的新矩的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 .Aor A AA例例,854221 A1425.28TA 9 6,B 9.6TB （假定所有运算合法，（假定所有运算合法，是矩阵，是矩阵，）A BR TTAA（1 1）()TTTABAB（2 2）TTTABB A（4 4）（3 3）TTAA 121121TTTTTnnnnA AAAAAA A 例例5(),.TTTABB A求求已知已知102123,4345AB解解2162811119TAB（）2412413035TTB A 1021234345AB 所以所以而且而且()TTTABB A 显然显然2

24、162811119 2116112819 对称矩阵对称矩阵的特点是：的特点是：它的元素以它的元素以主对角线主对角线为对称轴为对称轴对应相等对应相等.0211223113101101如如设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 ，即，即 ，AnTAA ijjiaa 那么那么 称为称为对称矩阵对称矩阵.A 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵,对称对称矩阵的数乘也是对称矩阵矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵一定是对称矩阵.0121105225011210 ATAA ijjiaa 设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 ，即，即 ，n

25、那么那么 称为称为反反对称矩阵对称矩阵.A反反对称矩阵对称矩阵的主要特点是的主要特点是:主对角线上的元素为主对角线上的元素为0,0,其余其余的元素关于的元素关于主对角线主对角线互为相互为相反数反数.如如 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵,反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵阵的乘积不一定是反对称矩阵.证明证明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET 2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 例例6 6 设列

26、矩阵设列矩阵 ，满足，满足 TnxxxX,21,1 XXTEn为为 阶单位矩阵，且阶单位矩阵，且 ，证明，证明 是对是对H2THEXXTHHE 称矩阵，且称矩阵，且 .H是对称矩阵是对称矩阵.又又.E 证明任一证明任一 阶方阵阶方阵 都可表示成对称阵与都可表示成对称阵与反对称阵之和反对称阵之和.nA证明证明AAT ,C 所以所以C C为对称矩阵为对称矩阵.AAT ,B 所以所以B B为反对称矩阵为反对称矩阵.22TTAAAAA ,22BC 命题得证命题得证.例例7 7TCAA设设 TTTCAA则则,TBAA设设 TTTBAA则则 方阵与行列式是两个不同的概念方阵与行列式是两个不同的概念.由阶方

27、阵由阶方阵的元素所构成的行列式（各元的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做素的位置不变）叫做方阵方阵的行列式的行列式.记作记作.etAorDA（假定所有运算合法，（假定所有运算合法，是矩阵，是矩阵，）TAA（1 1）nAA（2 2）nnAA（4 4）（3 3）ABA BBAAB AB?例例8 83,3.ABAA求求已知已知100210211,130,324004AB解解所以所以6,20,AB易见易见120ABA B33216AA333162AA112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 按照按照 的位置所构成矩阵的

28、转置的位置所构成矩阵的转置.AijAA称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.（假定所有运算合法，（假定所有运算合法，是矩阵，是矩阵，）A BR （1 1）TTAA （2 2）ABB A ijaTnnnnnnAAAAAAAAAA 212222111211或或 nkjkikjijiAAa10同理可得同理可得.EAAAAA 证明证明.EAAAAA 所以所以112111222212nnnnnnAAAAAAAAA111212122212nnnnnnaaaaaaAAaaa .EA.A AA E AAA00当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的的共轭矩阵

29、共轭矩阵.ijaA ijaija ijaA AA（假定所有运算合法，（假定所有运算合法，是矩阵，是矩阵，）A BR AA（1 1）ABAB（2 2）AA（3 3）()TTAA（4 4）TTTABBA（6 6）ABAB（5 5）AA（7 7）矩阵运算矩阵运算 数乘数乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵伴随矩阵伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵方阵的幂方阵的幂ABBA?AMAN MN?ABO.AO orBO?.EAAAAA 加法加法矩阵运算矩阵运算 加法加法数乘数乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵伴随矩阵伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵矩阵的幂矩

30、阵的幂ABBA?AMAN MN?ABO.AO orBO?.EAAAAA 乘法运算中的，乘法运算中的，111,aaa a在数的运算中，当数在数的运算中，当数时，时，11aa 则则 称为称为 的倒数的倒数，a个矩阵个矩阵 ，1A 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，11,AAA AE则矩阵则矩阵称为的称为的可逆矩阵可逆矩阵，a（或称为（或称为 的逆的逆）；）；有有单位阵单位阵相当于数的相当于数的那么，对于矩阵那么，对于矩阵，如果存在，如果存在一一有有1A A称为称为 的逆阵的逆阵.11111221221122221122nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xaxya xaxax 它的系

31、数矩阵是一个阶矩阵它的系数矩阵是一个阶矩阵，若记若记1112111212222212,nnnnnnnnaaaxyaaaxyAXYaaaxy.YAX 则上述线性变换可表示为则上述线性变换可表示为按按CramerCramer法则，若法则，若 ，0A 则由上述线性变换可则由上述线性变换可111211212222121nninnnnnaayaaayaxAaaya 解出解出 11221iiininxA yA yA yA在按第在按第 列展开得列展开得i即即1212iiniinAAAxyyyAAA则则 可用可用 线性表示为线性表示为12,nxxx12,nyyy11111221221122221122nnnn

32、nnnnnnxb yb yb yxb yb ybyxb ybyb y 若令若令,jiijAbA 易知这个表达式是唯一的易知这个表达式是唯一的.12,nxxx12,nyyy这是从这是从 到到 的线性变换，称为的线性变换，称为原原线性变换的逆变换线性变换的逆变换.若把此逆变换的系数记若把此逆变换的系数记作作 ，B则此逆变换也可以记作则此逆变换也可以记作XBY()()YAXA BYAB YAB为恒等变换所对应的矩阵，故为恒等变换所对应的矩阵，故ABE()()XBYB AXBA X因此因此BAE 于是有于是有ABBAE由此，可得由此，可得可见可见又又例例111122,111122AB ,ABBAE,A

33、BBAE 使得使得的逆矩阵记作的逆矩阵记作1.A A定义定义对于对于 阶方阵阶方阵 ，如果有一个，如果有一个 阶方阵阶方阵 ，nABnA则称方阵则称方阵 是是可逆可逆的，的，BA是是 的逆矩阵的逆矩阵.BA并把方阵并把方阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.若设若设 和和 是是 逆矩阵，逆矩阵，BCA则有则有,ABBAEACCAEB所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A1.BCA 说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.AA证明证明于是于是例例1 12110A 设设,求求 的逆矩阵的逆矩阵.A解解abBcd 设设则则ABBAE2110abcd B0

34、1 12()CA B()C AB CE C EB 22acbdab 1001 证明证明0.A1.AAE ，使得，使得11,AAE 两边求行列式，有两边求行列式，有若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则0.A A1A A若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则即有即有矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且且A0A 11,AAA AA 其中其中为矩阵为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵.证明证明因为矩阵与其伴随矩阵有因为矩阵与其伴随矩阵有*AAA AA E，故有，故有11AAAAEAA0A 又因为又因为所以，按逆矩阵的定义，即有所以，按逆矩阵的定义，即有11.AAA 例例2 2。是是否否可可逆逆，如如可可逆逆求求判

35、判断断方方阵阵1343122321 AA解解6205203213431223212131)2()3(rrrrA02 可可逆逆A254266232333231232221131211 AAAAAAAAA又又 222563462A即即 2225634622111AAA当当 时，时，称为称为奇异矩阵奇异矩阵；0A A证明证明推论推论ABE 若若1BA BAE 或或，则，则B 1.A 0A 当当 时，时，称为称为非非奇异矩阵奇异矩阵.A1ABE易知易知1A 0A 于是于是EB 1()A A B 1()AAB 1A E ABE 只证只证时，时，（设（设 均是均是 阶可逆方阵）阶可逆方阵）A Bn1A 1

36、1,A 1 1）若）若 11.AA 且且 111111ABB AA BBAAEAAAE 证明证明 111.ABB A 由推论，即有由推论，即有 1,A 1,0A 2 2）若）若 111.AA 且且 1,AB 111.ABAB 且且11,AB3 3）若）若 ，且，且 同阶，同阶，,A B推广推广 11112211.nnAA AAAA 11TTTAAA A TEE 11.TTAA 证明证明 1,TA 1A 4 4）若）若 11.TTAA 且且1AAE 11,A A 11.AA 11AA 1A 5 5）若）若 1,A 6 6）若）若 证明证明 1,A 11.AAAA且且证明证明1AA A 1AAA

37、1111AAAAA而而11AAA 因为因为 111AA A 所以所以 11.AAAA为整数）为整数）,k （其中（其中7 7）其它的一些公式）其它的一些公式 1nAA AAA AA E 2nAAA 1.AA A 1AA A ABB A 0AE 1kkAA A AA AA 8 8）一些规定）一些规定 111nnkAkA AkA 例例3 3 1122,0innaaaaABaaa求下列矩阵的逆，其中求下列矩阵的逆，其中解解1 1）111121naaAa 依对角矩阵的性质知：依对角矩阵的性质知：0iAa1A 1 in1 in12111naaa 依矩阵的逆的定义，必有依矩阵的逆的定义，必有111211n

38、aBaa 易知：易知：1210n niBa 1B 解解2 2）11BBB BE11a 12a 1na?即即1 in 124416TEAEAEA 计算计算其中其中例例4 4的行列式的行列式.100120.302A 解解 124416TEAEAEA 14444TEAEAEAEA 44TEAEEAE 44TEAEA24EA2500120306 2603600例例5 5300110,114A 求求解解2,AXAX设设且满足且满足2,AXAX.X有有 2AE XA1002110112AE而而220AE 12AE 1200122202211AE 12,XAEA 20030012201102211114 3

39、00210212 1AXBXA B 1XABXBA 11AXBCXA CB3 3,A 设设求求例例6 6 132.AA AA 其中其中为矩阵为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵.12A 解解 132AA 11132AA A123A 111AA 1BB B nBB 3123A 1627 例例7 7 解矩阵方程解矩阵方程142031121101X 解解11143120120111X 243110112 110112 6610112 3012 11104 0,kA 设设例例8 8证明证明 121.kEAEAAA kEAE 21kEAEAAA 121.kEAEAAA 证明证明例例9 9nAEPQQPPBQA求求

40、且且为为同同阶阶方方阵阵设设,)()(PBQPBQPBQAn 解解nEQPEPQ ,QPBAnn kkkAAAAAAAE 1212A所以所以 可逆可逆.0,A 2AEAE 12AEA 1A 220AAE由由 2A AEE，得，得例例1010,2A AE 可逆，并求它们的逆矩阵可逆，并求它们的逆矩阵.2340AEAEE 11.2AAE 220AAE由由设方阵设方阵A满足方程满足方程，证明，证明220AAE 1234AEAEE 12AE 12314AEAE证明证明2AE 所以所以 可逆可逆.132.4EAAE 20,AE 逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方

41、法1AAA 利利用用公公式式0.A 逆矩阵逆矩阵 存在存在1A 定义法定义法初等变换法（后面介绍）初等变换法（后面介绍）,ABBAE 使得使得的逆矩阵记作的逆矩阵记作1.A A定义定义 对于阶矩阵对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，如果有一个阶矩阵，则称矩阵则称矩阵是是可逆可逆的，的，并把矩阵并把矩阵称为称为的的逆矩阵逆矩阵.说明说明 若若是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.若矩阵若矩阵可逆，则可逆，则0.A 矩阵矩阵可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且0A 11,AAA A 其中为矩阵其中为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵.当当 时，时，称为称为奇异矩阵奇异矩阵；0A 0A

42、 当当 时，时，称为称为非奇异矩阵非奇异矩阵.（设（设均是阶方阵）均是阶方阵）1A 1,A 1 1）若）若 11.AA 且且 1,A 1,0A 2 2）若）若 111.AA 且且 1,AB 11,AB3 3）若）若 ，且，且 同阶，同阶，,A B推广推广 11112211.nnAA AAAA 1,TA 1A 4 4）若）若 11.TTAA 且且11AA 1A 5 5）若）若 1,A 6 6）若）若 1,A 11.AAAA且且 111ABB A 且且（其中（其中为整数）为整数）7 7）其它的一些公式）其它的一些公式 1nAA AAA AA E 2nAAA 1.AA A 1AA A ABB A 1

43、1nn nkAkA 0AE 1kkAA A AA AA 8 8）一些规定）一些规定 1nkAkA bbaaA110101000001对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用经常采用分块法分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块子块，以子块为，以子块为元素的形式上的矩阵称为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.,321 BBB例例 A100a000101ab011b 1B2

44、B3B即即,1 BEOA 1234,AAAA bbaaA110101000001 bbaaA1101010000011010aA 1012aA 1003bA bA1004注：注：分块时首先满足分块时首先满足 ，再考虑对角或三角矩阵，再考虑对角或三角矩阵，EO然后然后考虑考虑 以及其它的特殊矩阵以及其它的特殊矩阵.按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.aaA011 1001E bbB11 0000O11111111.rrsssrsrABABABABAB 11111111,rrssrssrAABBABAABB 设设 与与 为同型矩阵，采用相同的分块法，有为同

45、型矩阵，采用相同的分块法，有AB其中其中 与与 为同型矩阵，则为同型矩阵，则ijAijB分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.1111,rssrAAARAA 1111.rssrAAAAA 则则设设 ，分块成，分块成,m ll nAB11111111,trsstttrAABBABAABB其中其中 的列数分别等于的列数分别等于 的行数的行数.12,iiitAAA12,jjtjBBB1111rssrCCABCC 1tijikkjkCA B 其中其中 1,;1,.is jr1111,ssrrAAAAA 1111.TTTTsrTrsAAAAA 则则那么那么

46、分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置.1,2,iAis 都是方阵都是方阵.设设为阶方阵，若为阶方阵，若的分块矩阵只有在主对角的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余子块全为零，那么方阵子块全为零，那么方阵就称为就称为分块对角阵分块对角阵.12,sAAAA 即如即如10000012000130000021000152000030000010020都是都是分块对角分块对角阵阵.12;sAA AA 1111;sAAA 若若则有则有11,ssABABAB11;ssA BABA B 若若 ，则有

47、，则有0iA 若若1,sAAA 1111;sAAA 则则 1,2,iAis 均为可逆方阵均为可逆方阵.若若1,sAAA 1;nnnsAAA 则则设设 12,sB 则则 12sABA 12.sAAA slijlmijbBaA )(,)(其中其中例例1 1 设设10101201,10411120B .AB10000100,12101101A 求求1211001100100001A 解解分块分块1,EOAE 1011104121001120B 221112,BEBB 则则 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB又又21111BBA 110121011121,1142

48、 02141121221BA,1333 于是于是 2212111111BABBAEBAB10101201.24331131 34100211 例例2 2 设设1.A 52002100,00120011A 求求0001211000522100A 解解12,AOOA 11112,AAOAO 111225,A 12121311,A 000000001 32 31 31 31225A -1例例3 3 设设1.A 121000000,000000nnaaAaa 求求其中其中0,ia 121000000,000000nnaaaAa 解解12,OAAOA 111111,naAa 112,nAa 11112,

49、OOAAA 111111000,000nnaAaa .A AOAOB B 例例4 4 设设 为为 阶方阵，阶方阵，分别为分别为 的伴随矩阵，的伴随矩阵，,A Bn,A B,A B分块阵分块阵AOCOB C ，则，则 （）.B AOBOA B .A BOCOA B .B BODOA A 1CC C 分析分析1AOABOB 11AOA BOB 11A B AOOA B B B AOOA B B例例5 5 设设34004300,00200022A 84,.AA求求解解 令令12,AOAOA 123420,4322AA 88182,AOAOA 其中其中所以所以88812AAA 8812AA 1610

50、44142,AOAOA 而而22125,5OAO 44145,5OAO2102,11A 44426410202,4122A所以所以 可求可求.4A称为矩阵称为矩阵A的的m个个行向量行向量.nm 矩阵矩阵A有有m个行，个行，12TTTmA 称为矩阵称为矩阵A的的n个个列向量列向量.nm 矩阵矩阵A有有n个列，个列，-按行分块与按列分块按行分块与按列分块.行记作行记作i iniiTiaaa,21 ，则矩阵，则矩阵A便记为便记为若第若第列记作列记作j若第若第12jjjmjaaa ，则矩阵，则矩阵A便记为便记为 nA ,21 对于线性方程组对于线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxax