山东省青岛市2020届高三上学期期末数学试题（原卷版）.doc

1、高三教学质量检测高三教学质量检测 数学试题数学试题 第第卷卷( (选择题选择题 共共 60 分分) ) 一一 选择题选择题:(:(本大题共本大题共8小题小题, ,每小题每小题5分分, ,共共40分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项是符只有一项是符 合题目要求的合题目要求的) ) 1.已知复数 12 ,zz在复平面内对应的点分别为(1,1), (0,1)，则 1 2 z z （ ） A. 1 i B. 1i C. 1i D. 1i 2.设R，则“sin cos”是“sin21”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.

2、既不充分也不必要条件 3.向量, a b满足 1a ，2b ，( )(2)abab，则向量a与b的夹角为（） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 4.已知数列 n a中, 3 2a , 7 1a .若 1 n a 为等差数列,则 5 a ( ) A. 2 3 B. 3 2 C. 4 3 D. 3 4 5.已知点2,4M在抛物线 C: 2 2ypx(0p )上,点 M到抛物线 C的焦点的距离是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.在ABC中,2ABACAD , 20AEDE ,若EBxAByAC,则( ) A. 2yx B. 2yx C. 2xy D. 2xy 7.已

3、知双曲线 C: 22 22 1 xy ab ,(0a ,0b )左右焦点分别为 1 F, 2 F, O为坐标原点,P是双曲线在第一 象限上的点, 12 22PFPFm,(0m ), 2 12 PF PFm,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) A. 1 2 yx B. 2 2 yx C. y x D. 2yx 8.已知奇函数 f x是 R上增函数, g xxf x则( ) A. 23 32 3 1 log22 4 ggg B. 23 32 3 1 log22 4 ggg C. 23 32 3 1 22log 4 ggg D. 23 32 3 1 22log 4 ggg 二二 多项选择题多项选择题

4、: :本题共本题共 4 小题小题, ,每小题每小题 5 分分, ,共共 20 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,有多项是符有多项是符 合题目要求合题目要求, ,全部选对的得全部选对的得 5 分分, ,部分选对的得部分选对的得 3 分分, ,有选错的有选错的 0 分分. . 9.如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,则下列四个命题正确的是( ) A. 直线BC与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B. 点 C 到面 11 ABC D的距离为 2 2 C. 两条异面直线 1 DC和 1 BC所成角为 4 D. 三棱柱 1111 AADBBC外接球

5、半径为 3 2 10.要得到cos2y x的图象 1 C,只要将sin 2 3 yx 图象 2 C怎样变化得到( ) A. 将sin 2 3 yx 的图象 2 C沿 x 轴方向向左平移 12 个单位 B. 将sin 2 3 yx 的图象 2 C沿 x 轴方向向右平移11 12 个单位 C. 先作 2 C关于 x轴对称图象 3 C,再将图象 3 C沿 x轴方向向右平移 5 12 个单位 D. 先作 2 C关于 x轴对称图象 3 C,再将图象 3 C沿 x轴方向向左平移 12 个单位 11.已知集合 =,Mx y yf x,若对于 11 ,x yM, 22 ,xyM,使得 1212 0x xy y

6、成立,则 称集合 M是“互垂点集”.给出下列四个集 合: 2 1 ,1Mx y yx; 2 ,1Mx y yx; 3 , x Mx y ye; 4 ,sin1Mx y yx.其中是“互垂点集”集合的为( ) A. 1 M B. 2 M C. 3 M D. 4 M 12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇 怪函数” 1, 0, R xQ yf x xC Q 其中 R为实数集,Q 为有理数集.则关于函数 f x有如下四个命题, 正确的为( ) A. 函数 f x是偶函数 B. 1 x, 2R xC Q, 1212 f

7、xxf xf x恒成立 C. 任取一个不为零的有理数 T, ()( ) fx Tfx+=对任意的xR恒成立 D. 不存在三个点 11 ,A xf x, 22 ,B xf x, 33 C xf x，,使得ABC为等腰直角三角形 第第卷卷( (非选择题非选择题 共共 90 分分) ) 三三 填填空题空题: :本题共本题共 4 小题小题, ,每小题每小题 5 分分, ,共共 20分分. . 13.已知直线 20xya 与圆 22 :2O xy相交于A，B两点（O为坐标原点） ，且AOB为等腰直角 三角形，则实数a的值为_ 14.已知直线 2yx与曲线ln()yxa相切，则a= 15.2019年 7月

8、,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良 渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利 用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间(单位:年)的衰变规律满足 5730 0 2 T NN ( 0 N表示碳 14原有的质量),则经过 5730年后,碳 14的质量变为原来的_;经过测定,良 渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 3 7 至 1 2 ,据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730年到 _年之间.(参考数据:lg20.3,lg70.84,lg30.48) 16.

9、已知ABC的顶点A平面,点 B,C在平面异侧,且 2AB ,3AC ,若AB,AC与所成的 角分别为 3 , 6 ,则线段BC长度的取值范围为_. 四四 解答题解答题: :本题共本题共 6 小题小题, ,共共 70 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 17.已知 2cos sin3cos3f xxxx. (1)求函数 f x的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数 f x在区间,0 2 的取值范围. 18.在ABC,a,b,c 分别为内角 A,B,C 对边,且 222 8sin3abCbca,若 10a ,5c . (1)求cos A;

10、 (2)求ABC面积 S. 19.设数列 n a的前 n 项和为 n S,已知 1 1a , 1 21 nn SS ,n N. (1)证明:1 n S 为等比数列,求出 n a的通项公式; (2)若 n n n b a ,求 n b的前n项和 n T,并判断是否存在正整数n使得 1 250 n n Tn 成立?若存在求出所有 n 值;若不存在说明理由. 20.九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早 1000多年,在九章算术中,将底面 为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四 棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为

11、直角三角形的四面体.如图在堑堵 111 ABCABC中,AB AC. (1)求证:四棱锥 11 BA ACC为阳马; (2)若 1 2C CBC,当鳖膈 1 CABC体积最大时,求锐二面角 11 CABC的余弦值. 21.给定椭圆 C: 22 22 1 xy ab (0ab),称圆心在原点 O,半径为 22 ab 的圆是椭圆 C 的“卫星圆”.若 椭圆 C的离心率 2 2 ,点2, 2在 C上. (1)求椭圆 C的方程和其“卫星圆”方程; (2)点 P是椭圆 C的“卫星圆”上的一个动点,过点 P作直线 1 l, 2 l使得 1 l 2 l,与椭圆 C都只有一个交点,且 1 l, 2 l分别交其“卫星圆”于点 M,N,证明:弦长MN为定值. 22.已知函数 ln 2sinf xxxx, fx为 f x的导函数. (1)求证: fx 在0，上存在唯一零点; (2)求证: f x有且仅有两个不同的零点.