一般数列求和（裂项、错位、分组）-2023届高三数学一轮复习专题.docx

1、一般数列求和一裂项求和1已知数列an满足a12，（1）设，求证：数列bn为等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设，求数列cncn+2的前n项和为Tn，2已知数列an满足a13，且an+12ann+1（1）证明：数列ann为等比数列；（2）记，求数列bn前n项的和Sn3设数列an的前n项和为Sn，已知an0，（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足，求bn的前n项和Tn4已知数列an的前n项和Sn满足2Snnan3n（nN*），且a25（1）证明数列an为等差数列，并求an的通项公式；（2）设bn，求为数列bn的前n项和Tn【裂和】5已知数列an和均为等差数列，a1（1）求数列an的通项

2、公式；（2）设数列bn满足bn（1）n，求数列bn的前n项和Sn二错位相减法6已知等差数列an满足（a1+a2）+（a2+a3）+（an+an+1）2n（n+1）（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn三分组求和【并项求和】7（2021湖南模拟）已知正项数列an的前n项和为Sn，2Snan2+an2（1）证明：数列an是等差数列（2）若bn（1）nan2，求数列bn的前2n项和为T2n【分组求和】8（2020秋湖北期中）已知数列an的前n项和为Sn，a12，Sn+13Sn+2，nN*（1）证明：数列Sn+1为等比数列；（2）若bn，求数列bn的前2n项的和T2n练习：9

3、已知数列an和均为等差数列，a1（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn（1）n，求数列bn的前n项和Sn10在数列an中，a114，an+13an+40（1）证明：数列an2是等比数列（2）设bn，记数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nN*，mTn恒成立，求m的取值范围11已知等比数列an的前n项和为Sn，a11，且S32S2+1（1）求数列an的通项公式；（2）若数列an为递增数列，数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn12已知等差数列an的前n项和为Sn，且S525，a2+a5+a1031（1）求数列an的通项公式以及前n项和Sn；（2）若求数列bn的前2n1项和T2n1答

4、案：1（2021秋湖北月考）已知数列an满足a12，（1）设，求证：数列bn为等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设，数列cncn+2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得对任意的nN*都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由【解答】（1）证明：，则又，且，数列bn是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，即，；（2）解：，则23要使对任意的nN*都成立，只要3，即，解得m4或m3m0，m3，即m的最小值为32（2020秋湖北期末）已知数列an满足a13，且an+12ann+1（1）证明：数列ann为等比数列；（2）记，Sn是数列bn前n项的和，求证：【解答】证明：（1）依题意

5、，由an+12ann+1，两边同时减去n+1，可得an+1（n+1）2ann+1（n+1）2（ann），a11312，数列ann是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）知，ann22n12n，an2n+n，则Snb1+b2+bn+，不等式成立3（2018秋荆州区校级期末）设数列an的前n项和为Sn，已知an0，（）求an的通项公式；（）若数列bn满足，求bn的前n项和Tn【解答】解：（），则，两式相减得：（an+an1）（anan12）0，an0，anan12（n2），且，an是以3为首项，2为公差的等差数列，an2n+1（）4（2019秋西湖区校级期中）已知数列an的前n项和Sn满足2

6、Snnan3n（nN*），且a25（1）证明数列an为等差数列，并求an的通项公式；（2）设bn，Tn为数列bn的前n项和，求使Tn成立的最小正整数n的值【解答】解：（1）当n2时，2Sn1（n1）an13（n1），又2Snnan3n，相减可得（n1）an1（n2）an3，当n3时，（n2）an2（n3）an13，所以（n1）an1（n2）an（n2）an2（n3）an1，可得2an1an2+an，所以an为等差数列又2S1a13，且a1S1，得a13，又a25，所以an为公差为2的等差数列，则an2n+1；（2）bn（），Tn（+）（），要使Tn成立，即（），解得n，所以最小正整数n的值为8

7、4（2019秋湖北月考）已知数列an和均为等差数列，a1（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn（1）n，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）均为等差数列，a1可得2a12+，数列an也为等差数列，公差设为d，可得（a1+d）2a12+，化为a1d，则an+（n1）n；（2）bn（1）n（1）n（1）n（+），Sn（1+）+（+）（+）+（1）n（+）1+（1）n6已知等差数列an满足（a1+a2）+（a2+a3）+（an+an+1）2n（n+1）（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn【解答】解：（a1+a2）+（a2+a3）+（an+an+1）2n

8、（n+1），（a1+a2）+（a2+a3）+（an1+an）2n（n1），由可得，an+an+14n，令nn1，可得an+an14（n1），由可得2d4，d2，a1+a24，a11，an1+2（n1）2n1，（2）（2n1）（）n1，Sn1（）0+3（）1+5（）2+（2n1）（）n1，Sn1（）1+3（）2+5（）3+（2n3）（）n+（2n1）（）n，Sn1+2（）1+2（）2+2（）3+2（）n1（2n1）（）n1+2（2n1）（）n3（2n+3）（）n，Sn6（2n+3）（）n17（2021湖南模拟）已知正项数列an的前n项和为Sn，2Snan2+an2（1）证明：数列an是等差数列（

9、2）若bn（1）nan2，求数列bn的前2n项和为T2n【解答】解：（1）证明：因为，所以当n1时，即，解得a12或a11（舍去）当n2时，则，即（an+an1）（anan11）0，因为an0，所以an+an10，则anan110，即anan11，（nN*，n2）所以数列an是等差数列（2）由（1）可得an2+n1n+1，nN*，则，nN*，从而，故T2nb1+b2+b2n1+b2n（4+1）+（42+1）+（4n+1）2n2+3n8（2020秋湖北期中）已知数列an的前n项和为Sn，a12，Sn+13Sn+2，nN*（1）证明：数列Sn+1为等比数列；（2）若bn，求数列bn的前2n项的和T

10、2n【解答】解：（1）证明：Sn+13Sn+2，又S1+13，数列Sn+1是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）解：由（1）可得，又当n2时，a12也适合上式，T2n（b1+b3+b2n1）+（b2+b4+b2n）+9（2019秋湖北月考）已知数列an和均为等差数列，a1（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn（1）n，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）均为等差数列，a1可得2a12+，数列an也为等差数列，公差设为d，可得（a1+d）2a12+，化为a1d，则an+（n1）n；（2）bn（1）n（1）n（1）n（+），Sn（1+）+（+）（+）+（1）n（+）1+（1

11、）n10在数列an中，a114，an+13an+40（1）证明：数列an2是等比数列（2）设bn，记数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nN*，mTn恒成立，求m的取值范围【解答】（1）证明：数列an满足an+13an+40，an+123（an2），即3（常数）数列an2是以12为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即bn当n为偶数时，；当n为奇数时，+当n为偶数时，是递减的，此时当n2时，Tn取最大值，则m；当n为奇数时，Tn 是递增的，此时Tn，则m综上，m的取值范围是，+）11已知等比数列an的前n项和为Sn，a11，且S32S2+1（1）求数列an的通项公式；（2）若数列a

12、n为递增数列，数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn（3）在条件（2）下，若不等式nTn3n+bn0对任意正整数n都成立，求的取值范围【解答】解：（1）等比数列an的公比设为q，前n项和为Sn，a11，且S32S2+1，可得1+q+q22（1+q）+1，解得q1或q2，则an（1）n1；或an2n1；（2）数列an为递增数列，可得an2n1，数列bn满足，即为bn（2n1）（）n，前n项和Tn1+3+（2n1）（）n，Tn1+3+（2n1）（）n+1，相减可得Tn+2（+（）n）（2n1）（）n+1+2（2n1）（）n+1，化为Tn3（2n+3）（）n；（3）不等式nTn3n+bn0对任意正整

13、数n都成立，即为（Tn3）+0，即恒成立，可令t2n1（t为正奇数），可得，由t+4，当t1时，t+5，t3时，t+，t5时，t+，可得t3，即n2时，取得最大值，则12已知等差数列an的前n项和为Sn，且S525，a2+a5+a1031（1）求数列an的通项公式以及前n项和Sn；（2）若求数列bn的前2n1项和T2n1【解答】解：（1）由S525，得5a1+d25，由a2+a5+a1031，得a1+d+（a1+4d）+（a1+9d）3a1+14d31，由解得，a11，d2，所以数列an的通项公式ana1+（n1）d2n1，前n项和Snn2（2）bn，所以T2n1（b1+b3+b2n1）+（b2+b4+b2n2）（21+25+29+22n1）+（+）+（）14