江苏省苏州市2020届高三上学期期末考试数学试题含答案.docx

1、 苏州市 2019-2020 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高三数学 I 2020.1 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本卷共 4 页，包含填空题（第 1 题-第 14 题） 、解答题（第 15 题-第 20 题）.本卷满分 160 分， 答题时间为 120 分钟.答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规 定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 4.如需作图，须用 2B

2、 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式：锥体的体积 1 3 VSh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 球的体积 3 4 3 Vr，其中 r 表示球的半径. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡 相应位置上 . 1.已知集合1Ax x，1,0,1,4B ，则AB _. 2.已知 i 是虚数单位，复数12zbii的虚部为 3，则实数 b 的值为_. 3.从 2 名男生和 l 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，

3、则选中的恰好是一男一女的概率为_. 4.为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下 频率分布直方图（如图） ，已知在5,7之间通过的车辆数是_. 5.如图是一个算法流程图，若输入的 x 值为 5，则输出的 y 值为_. 6.已知等比数列 n a中， 1 0a ，则“ 12 aa”是“ 35 aa”的_条件.（填“充分不必要” 、 “必 要不充分” 、 “充分必要”或“既不充分又不必要” ） 7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 1 F， 2 F是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，点 P 的坐 标为0,b，若 12

4、 120FPF，则该双曲线的离心率为_. 8.若 x，y 满足约束条件 0 0 10 x xy xy ，则3zxy的最大值为_. 9.如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同. 已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5 ，弧长为4 cm的扇形，则该冰淇淋的体积是_ 3 cm. 10.在平面直角坐标系 xOy 中，若直线20xmymmR上存在点 P，使得过点 P 向圆 22 :2O xy作切线 PA（切点为 A） ，满足2POPA，则实数 m 的取值范围为_. 11.在平面直角坐标系 xOy 中，己知直线 1 : 2 l y 与函数 sin0

5、 6 f xx 的图象在 y 轴右侧的 公共点从左到右依次为 1 A， 2 A，若点 1 A的横坐标为 1，则点 2 A的横坐标为_. 12.如图，在平面四边形 ABCD 中，己知 2 AAD=3，4BC ，E，F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC， BD 的中点，则PQ EF的值为_. 13.已知实数 x，y 满足1 2x xyy ，则 22 54xy的最小值为_. 14. 已 知 函 数 ,2 48 ,2 5 x ex x e f x x x x ，（ 其 中e为 自 然 对 数 的 底 数 ）， 若 关 于x的 方 程 22 320fxa f xa恰有 5 个相异的实根，则

6、实数 a 的取值范围为_. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分） 己知向量 3 sin , 4 ax ，cos , 1bx. （1）当/ab时，求tan2x的值； （2）设函数 2f xabb，且0, 2 x ，求 f x的最大值以及对应的 x 的值. 16.（本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，CACB，D，E 分别是 AB， 1 BC的中点. （1）求证：/DE平面 11 ACC A； （2）若DEAB，求证： 1 ABBC. 17.（本小题满分 1

7、4 分） 为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村 边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜.已知扇形 AOB 中， 2 3 AOB，2 3OB （百米） ，荒地内规划修建两条直路 AB，OC，其中点 C 在AB上（C 与 A，B 不重合） ，在小路 AB 与 OC 的交点 D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区.设BDC，蜂巢区的面 积为 S（平方百米）. （1）求 S 关于的函数关系式； （2）当为何值时，蜂巢区的面积 S 最小，并求此时 S 的最小值. 18.（本小题满分 16 分） 如图，定义：以

8、椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点 P 作 x 轴的 垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的“上辅点”.已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 上的点 3 1, 2 的上辅点为 1, 3. （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OPQ的面积等于 1 2 ，求上辅点 Q 的坐标； （3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并证明你的结论. 19.（本小题满分 16 分） 已知数列 n a满足 1 2 nn Snaa， 3 4a ，其中 n S是数列 n a的前

9、n 项和. （1）求 1 a和 2 a的值及数列 n a的通项公式； （2）设 * 123 1111 2462 n n TnN SSSSn . 若 23k TT T，求 k 的值； 求证：数列（ n T中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积. 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 lnax f xaR x . （1）求函数 f x的单调区间； （2）当函数 f x与函数 lng xx图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取值集合； （3）证明：当 1 0, 2 a 时，函数 h xf xax有两个零点 1 x， 2 x，且满足 12 111 xxa . 参考答案 一、填空题（

10、共 70 分） 1.1,4 2.1 3. 2 3 4.220 5.2 6.充分不必要 7. 6 2 8.3 9. 1661 3 10.0m或 4 3 m 11.3 12. 7 4 13.4 14. 2 41 , 52e 二、解答题（共 90 分） 15.（本小题满分 14 分） 解： （1）因为/ab，所以 3 sincos0 4 xx， 2 分 因为cos0x（否则与 3 sincos0 4 xx矛盾） ，所以 3 tan 4 x ， 4 分 所以 2 2tan24 tan2 1tan7 x x x . 7 分 （2） 2 13 22sin cos2cossin2cos2 22 f xabb

11、xxxxx 9 分 3 2sin 2 42 x ， 11 分 因为0 2 x ，所以 5 2 444 x ， 所以当2 42 x ，即 8 x 时，函数 f x的最大值为 3 2 2 . 14 分 16.（本小题满分 14 分） 证： （1）连结 1 AC， 1 BC（如图） ，因为 111 ABCABC为三棱柱， 所以四边形 11 BBCC为平行四边形，所以 E 也是 1 BC中点， 2 分 因为点 D 是 AB 的中点，所以 1 / /DEAC， 4 分 又DE 平面 11 ACC A， 1 AC 平面 11 ACC A， 所以/DE平面 11 ACC A. 7 分 （2）连结 CD，因为

12、CACB，点 D 是 AB 的中点， 所以CDAB， 9 分 又DEAB，DECDD， DE 平面 CDE，CD平面 CDE， 所以AB 平面 CDE， 12 分 因为 1 BC 平面 CDE，所以 1 ABBC. 14 分 17.（本小题满分 l4 分） 解： （1）等腰OAB中，因为 2 3 AOB ，所以 6 ABO ， 所以BOD中， sinsin ODOB ABOODB ，即 2 3 sin sin 6 OD ， 所以 3 sin OD ， 2 分 于是2 AOBBODBOC SSSS 扇形 22 12113 2 3sin2 322 3sin 23262sin6 6sin 3cos6

13、 3 366 6sinsin ， 6 分 因为 2 0, 63 ，所以 5 , 66 . 7 分 （2） 222 22 sincos6sin3 63 sinsin S ， 5 , 66 ， 9 分 令0S，得 2 sin 2 ，即 4 或 3 4 ， 10 分 , 6 4 4 3 , 44 3 4 35 , 46 S 0 0 S 极小值 极大值 12 分 又3 42 f ， 5 43 3 6 f ，所以 5 46 ff ， 所以当 4 时，S 有最小值3 2 平方百米. 答：当等于 4 时，S 取到最小值3 2 平方百米. 14 分 18.（本小题满分 16 分） 解： （1）因为椭圆过点 3

14、 1, 2 ，所以 22 13 1 4ab ， 又因为点 1, 3在椭圆 E 的辅圆 222 xya上，所以 2 1 3a， 2 分 由解得 2 4a ， 2 1b ，即椭圆 E 的方程为 2 2 1 4 x y. 4 分 （2）设 00 ,P x y， 00 ,Q x y，其中 0 0x ， 0 0y . 因为点 P，Q 分别在 2 2 1 4 x y与 22 4xy上， 所以 22 00 44xy， 22 0 4 Q xy，解得 0 2 Q yy. 又因为 00 00 11 222 OPQQ x y Sx yy ，所以 00 1x y . 6 分 将 0 0 1 y x 代入 22 00

15、44xy后，得到 2 2 0 20x ， 由 0 0x 可知 0 2x ，即有 2 2, 2 P ，所以 2, 2Q. 9 分 （3）直线 PT 与椭圆相切. 证明：由（2）可设 00 ,P x y， 00 ,2Q xy，其中 0 0x ， 0 0y . 则 0 00 2 : 2 x QTyx yy ， 0 4 ,0T x . 又直线 PT 的斜率 000000 22 000 0 0 4 444 PT yx yx yx k xyy x x ， 所以直线 PT 的方程为 0 0 000 41 4 44 x yxxx yxy ， 12 分 联立方程组 22 0 44 1 4 4 xy yxx y

16、，得 222 00 2 0 1 1684 4 xx xxx y ， 即 222 2 0000 222 000 4244 0 4 xyxy xx yyy ， 14 分 因为 22 00 44xy，所以 22 00 222 000 2 0 xxxx yyy ，即 2 0 0xx，得到 0 xx. 综上可知，直线 PT 与椭圆相切. 16 分 19.（本小题满分 16 分） 解： （1）2n时， 22112 222Saaaa，所以 1 0a ， 3n时， 331 2312Saa，所以 123 6aaa，所以 2 2a . 2 分 由 1 2 nnn Snaana， 所以 11 21 nn Sna ，

17、 由得 11 21 nnn anana ， 即 1 1 nn nana ， 4 分 当2n时， 1 12 nn nana ， 由得 11 1121 nn nanana ， 即 11 2 nnn aaa ， 所以数列 n a是首项为 0，公差为 2 的等差数列， 故数列 n a的通项公式是22 n an. 6 分 （2）由（1）得1 2 n n na Sn n，所以 11 21 n Snn n ， 7 分 所以 111 1 22 31 n T n n 111111 11 223111 n nnnn ， 9 分 23 231 3421 k k TT T k ，所以1k . 10 分 法一：若存在k

18、n，tn，kt，k， * tN，使得 nkt TT T， 只需 111 nkt nkt ，所以 111nkt nkt ， 即 111 111 nkt ，即 1111 nktkt ，则 1n k t kn ， 13 分 取kn l，则2tn n， 所以对数列 n T中的任意一项 1 n n T n ，都存在 1 1 2 n n T n 和 2 2 2 2 2 1 nn nn T n ， 使得 2 1 2 nn nn TTT . 16 分 法二：对于任意 * nN， 2 12 22 121 1221 1 nn nn n nn nnn TTT nnnn n ， 所以对数列 n T中的任意一项 1 n

19、 n T n ，都存在 1 1 2 n n T n 和 2 2 2 2 2 (1) nn nn T n ， 使得 2 1 2 nn nn TTT . 16 分 20.（本小题满分 16 分） 解： （1）因为 2 1ln 0 ax fx x 时，有 1 a xe . 2 分 当 0fx 时，ln1xa ，解得 1 0 a xe ； 当 0fx 时，ln1xa ，解得 1 a xe . 所以函数 f x的单调增区间为 1 0, a e ，单调减区间为 1 , a e . 4 分 （2）设直线: l ykx与函数lnyx的图象切于点 00 ,x y， 则 0 000 1 ln k x ykxx ，

20、解得 0 xe， 1 k e . 6 分 再设直线: x l y e 与函数 f x的图象切于点 11 ,x y， 则 1 2 1 1 11 1 1ln1 ln1 ax k ex ax yx ex ，有 2 1 11 1lnln x axax e ， 即 2 1 1 1 ln 2 x ax e ，解得 1 2 e x ， 1 1111 lnlnln 22222 e ax， 所以实数 a 的取值集合为 1 ln2 2 . 9 分 （3）由 lnax ax x ，得 2 ln10xa x， 设 2 ln10h xxa xx，则 2 1 2ax hx x ，由 1 0 2 a，得 1 1 2a .

21、当 1 0 2 x a 时， 0hx ， h x单调递增； 当 1 2 x a 时， 0hx ， h x单调递减. 因为 10h，所以 h x在区间内 1 0, 2a 有且仅有 1 个零点 l； 11 分 当 1 , 2 x a 时， 1 10 2 hh a ，又 220aaaa，则 11 2aa . 设 1 lnu ttt t ，则 2 2 222 13 11124 10 t tt ut tttt ， 因为1a ，所以 11 ln10haau au aa ，所以 11 0 2 hh aa ， 又因为函数 h x的图象在 11 , 2aa 连续不间断， 所以由零点存在性定理可知 2 11 , 2 x aa ，使得 2 0h x. 14 分 所以函数 h x有两个零点 1 1x ， 2 11 , 2 x aa . 因为 1 0 2 a， 12 11 12a xx ，其中021a， 1 2 a . 所以 12 111 xxa . 16 分；