广西钦州市第三中学2020届高三3月份考试理科数学试卷含答案.docx

1、第 1 页，共 10 页 广西钦州市第三中学广西钦州市第三中学 20202020 届高三届高三 3 3 月份考试试卷月份考试试卷 理科理科数数学学 满分：150 分 时间：120 分钟 姓名： 班级： 考号： 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第 I I 卷卷( (选择题选择题) ) 一、单选题一、单选题( (本题共本题共 1212 题，每小题题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分) ) 1已知集合 2 |20Mx xx ， 2, 1,0,1,2N ，则MN （ ） A B 1 C0 1 ， D 101 ， ， 2若复数 3 (1

2、)zi，则z （ ） A22i B2 2i C22i D22i 3设sin 6 a ， 2 log 3b ， 2 3 1 4 c ，则( ) Aac b Bcab Cbac Dcba 4 某中学有三栋教学楼， 如图所示， 若某学生要从A处到达他所在的班级B处 （所 有楼道间是连通的） ，则最短路程不同的走法为（ ） A5 B10 C15 D20 5已知函数 2 1 cos 4 f xxx，则其导函数 fx的图象大致是( ) A B C D 第 2 页，共 10 页 6已知倾斜角为 6 的直线过抛物线 2 20ypx p焦点，且与抛物线相交于 ,A B两点，若AB4，则p （ ） A 1 2 B

3、1 C2 D4 7执行如图所示的程序框图，输出的S （ ） A55 B42 C33 D24 8等比数列 n a的前n项和为 n S，公比为q，若 63 9SS ， 5 62S ，则 1 a （ ） A 2 B2 C 5 D3 9如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A36 B27 C 27 2 D 25 2 10. 已 知 双 曲 线E： 22 22 1(0,0) xy ab ab 焦 距 为2c， 圆 1 C： 222 ()(0)xcyrr与圆 2 C： 222 ()4()xymrmR外切， 且E的两 条渐近线恰为两圆的公切线，则E的离心率为（ ） A 2 B5 C 6

4、 2 D 3 2 11关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验受其启 发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 120 名同学每人随机写下一个 x，y 都小于 1 的正实数对xy，再统计其中 x，y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对xy，的个数 m，最后根据统 计个数 m 估计的值如果统计结果是34m，那么可以估计的值为（ ） A 23 7 B 47 15 C 17 15 D 53 17 12已知函数 2 2 ( )ln x e f xax xx 在(0,2)上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A1,e B 2 2 , 2 e e C 2

5、, e e D 2 , 2 e e 第 3 页，共 10 页 第第 II II 卷卷( (非选择题非选择题) ) 二、填空题二、填空题( (本题共本题共 4 4 题，每小题题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13已知 5 4 x ，则函数 1 4 45 yx x 的最小值为_. 14 已 知 5432 54320 5 1 ( 21 )xa xaxa xaxa xa， 则 543210 aaaaaa _ 15已知抛物线C： 2 2ypx（ 0p ）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于P，Q两 点，交l于点A，若3PFFQ uuu ruuu r ，则 AQ QF _.

6、16在ABC中，ABAC，D为AC边上的点，且AC3AD，4BD ，则ABC面积的最大值 为_. 三、解答题三、解答题( (第第 1717 题题 1010 分，第分，第 1818- -2222 题每题题每题 1212 分，共分，共 7070 分分) ) 17已知ABC 的内角 A，B，C 满足 sinsinsinsin sinsinsinsin ABCB CABC （1）求角 A； （2）若ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积 S 的最大值 18已知各项均为正数的数列 n a的前n项和 n S满足 2 41 nn Sa（ * nN）. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设2 n

7、a nn ba，求数列 n b的前n项和 n T. 第 4 页，共 10 页 19某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在,A B实验地 分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随 机抽取各 50 株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图 所示的频率分布直方图，记综合评分为 80 分及以上的花苗为优质花苗. （1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在,A B两块实验地随机抽取 3 株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望； （2）填写下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为优质花苗与培育方法有关. 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法

8、20 乙培育法 10 合计 附：下面的临界值表仅供参考. 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd ） 20.如图，ABCD为矩形，且平面ABCD平面ABE，ABAE， 2BEAB ，2AB ，2 3AD ，点P是线段BD上的一点，且 3PDPB （1）证明：BDPE； （2）求二面角ABED的余弦值 第 5 页，共 10 页 21已知定点30A ,，3,0B，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为 1 9 ，记动点 M的

9、轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）过点1,0T的直线与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点 0,0 S x，使得直线SP与SQ斜率之 积为定值，若存在，求出S坐标；若不存在，请说明理由。 22已知函数 ln a f xxx x （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）对任意的 1 , 2 x ， 2 exxf xx恒成立，请求出a的取值范围 第 6 页，共 10 页 参考答案参考答案 1B2A3B4C5A6A7B8B9C10C11B12D 137 14243 152 169 17 （1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 根据 sinsinsinsin sinsinsin

10、sin ABCB CABC ，可得 222 abcb abcbc cabc ， 所以 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 又因为0A，所以 3 A （2）22 sin2sin3 sin3 a RaRA A ， 所以 22 32bcbcbcbcbc，所以 1133 3 sin3 2224 SbcA （bc时取等号） 18 （1）由 2 41 nn Sa * nN 知：当1n 时，有 2 11 41aa， 1 0a ，解得 1 1a 由 2 41 nn Sa， 2 11 41 nn Sa 两式相减，得： 22 11 411 nnn aaa ，化简得： 22 11 220 nn

11、nn aaaa 变形得： 11 20 nnnn aaaa ，对 * nN ，有 0 n a ， 1 2 nn aa ，即 1 2 nn aa 故 数列 n a是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，21 n an （2）2 n a nn baQ，21 n an， 21 212 n n bn (1 321) n Tn L 3521 2222 n L 2 1 4 1 (21) 21 4 n nn 2 2 42 3 n n 212 232 3 n n 212 232 3 n n n T 19 （1）由频率分布直方图可知,优质花苗的频率为(0.040.02) 100.6,即概率为0.6. 第 7 页，

12、共 10 页 设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X,则 3 5 3,XB ,于是 3 0 3 28 (0) 5125 P XC ； 2 1 3 3236 (1) 55125 P XC ； 2 2 3 3254 (2) 55125 P XC ； 3 3 3 327 (3) 5125 P XC . 其分布列为： X 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 39 ()3 55 E X （2）频率分布直方图,优质花苗的频率为(0.040.02) 100.6,则样本中优质花苗的株数为 60 株,列 联表如下表所示： 优质花苗 非优质

13、花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法 40 10 50 合计 60 40 100 可得 2 2 100(20 1030 40) 16.6676.635 60 40 50 50 K . 所以,有 99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系 20（1） 证明： 由题意知四边形ABCD是矩形， ABE是以A为直角顶点的等腰直角三角形， 且4BD ， 3PD， 3 cos 2 PDA，3PA 222 PAPDAD ，PABD 平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，AEAB， AE平面ABCD，AEBD， PAAEA，BD平面PAE PE Q平面APE，BDPE （2）解：由（1

14、）知AB，AE，AD两两垂直， 以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 第 8 页，共 10 页 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2 3)ABED， ( 2,2,0)BE ，( 2,0,2 3)BD . 设平面BED法向量为( , , )nx y z，则 220 22 30 xy xz ， 取1x ，则1y ， 3 3 z =，故 3 1,1, 3 n 为平面BED的一个法向量， 易知平面ABE的一个法向量为0,0,1m . 设二面角ABED的平面角为，由题中条件可知0, 2 ， 则 3 00 3 |7 cos 7|1

15、1 11 3 m n m n ， 二面角A BED的余弦值为 7 7 . 21 （1）设动点,M x y，则 3 3 MA y kx x ， 3 3 MB y kx x ， 1 9 MAMB kk ，即 1 339 yy xx ， 化简得： 2 2 1 9 x y。 由已知3x ，故曲线C的方程为 2 2 13 9 x yx 。 （2）由已知直线l过点1,0T，设l的方程为1xmy， 第 9 页，共 10 页 则联立方程组 2 2 1, 1 9 xmy x y ，消去x得 22 9280mymy， 设 11 ,P x y， 22 ,Q xy，则 12 2 12 2 2 , 9 8 . 9 m

16、yy m y y m 又直线SP与SQ斜率分别为 11 1010 1 SP yy k xxmyx ， 22 2020 1 SQ yy k xxmyx ， 则 12 2 22 1020 00 8 11 99 1 SPSQ y y kk myxmyx xmx 。 当 0 3x 时，mR ， 2 0 82 9 9 1 SPSQ kk x ； 当 0 3x 时，mR ， 2 0 81 18 9 1 SPSQ kk x 。 所以存在定点3,0S ，使得直线SP与SQ斜率之积为定值。 22解： （1） 2 22 1 ( )1(0) axxa fxx xxx ， 若0a ，则( )0fx ，所以函数 f x

17、在(0,)上递增； 若0a，方程 2 0xxa的判别式为1 40a， 所以方程有两根分别为 1 114 0 2 a x ， 2 114 0 2 a x ， 所以当 2 0,xx时，( )0fx； 当 2, xx时，( )0fx， 所以函数 f x在 114 0, 2 a 上递减；在 114 , 2 a 上递增. （2）不等式 2 ( )exxf xx，对任意的 1 , 2 x 恒成立， 即ln x aexx对任意的 1 , 2 x 恒成立 第 10 页，共 10 页 令( )ln x v xexx，则( )ln1 x v xex， 令( )ln1 x xex，则 1 ( ) x xe x ，

18、易知( )x在 1 , 2 上单调递增， 因为 1 2 1 20 2 e ，(1)10e ，且( )x的图象在 1 ,1 2 上不间断， 所以存在唯一的 0 1 ,1 2 x ，使得 0 ()0x，即 0 0 1 0 x e x ，则 00 lnxx 当 0 1 , 2 xx 时，( )x单调递减；当 0 (,)xx时，( )x单调递增 则( )x在 0 xx处取得最小值， 且最小值为 0 0000 00 11 ()ln1121 x xexxx xx 10 ， 所以( )0v x ，即( )v x在 1 , 2 上单调递增，所以 1 2 2 )n 2 ( 11 lv xe . 所以 1 2 11 ln 22 ae