5.5.2简单的三角恒等变换（ppt课件）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.pptx

1、简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 一、复习回顾一、复习回顾二倍角正弦、余弦、正切公式及变式二倍角正弦、余弦、正切公式及变式sin2=2sin cos2cos2=2cos-122=cos-sin2=1-2sin 22tan=1+tan221cos2=2cos1-cos2=2sin：升升幂幂公公式式221cos2cos21cos2sin2降降 幂幂 公公 式式：221-tan=1+tan 学习了和学习了和(差差)角公式、倍角公角公式、倍角公式以后，我们就有了进行三角变式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这内容、思路和方法

2、更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提为提高我们的推理、运算能力提供了新的平台供了新的平台.222 cossin,cos,tan.2272试试例例以以表表示示2：是是的的角角解解二二倍倍.,2cos2=1-2sin在在公公式式中中2cos=1-2sin 221-cossin=2222以以 代代替替,以以代代替替,得得2cos2=2cos-1,在在公公式式中中2cos=2cos-1221+coscos=2222以以 代代替替,以以代代替替,得得21-costan=21+cos可可表表示示为为:二、半角公式二、半角公式.2称称为为,符符号号由由所所在在象象半半角角公公式式限限决决定定1-coss

3、in=221+coscos=221-costan=21+cos21-cossin=2221+coscos=2221-costan=21+cos 因为不同的三角函数式不仅会有结因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当公式，的联系，并以此为依据选择适当公式，这是三角式恒等变形的一个重要特点这是三角式恒等变形的一个

4、重要特点.证明证明:sin(+)sin cos+cos sin 1sin cos=sin+sin-2 sin(-)sin cos -cos sin 两式相加两式相加,得得sin(+)+sin(-)2sin cos 两式相减两式相减,得得sin(+)sin(-)2cos sin 1cos sin=sin+-sin-2 1:(1)sin cos=sin+sin-28 求求例例证证cos(+)cos cos -sin sin 1cos cos=cos+cos-2 cos(-)cos cos +sin sin 两式相加两式相加,得得cos(+)+cos(-)2cos cos 两式相减两式相减,得得co

5、s(+)cos(-)2sin sin 1sin sin=-cos+-cos-2 三、积化和差公式三、积化和差公式1sin cos=sin+sin-2 1cos sin=sin+-sin-2 1cos cos=cos+cos-2 1sin sin=-cos+-cos-2 设设 +=,-=-=2 把把 ,的值代入上面的式子的值代入上面的式子,即得即得+=2 则则1sin cos=sin+sin-2Q：证证明明1cos sin=sin+-sin-2+-sin+sin=2sincos22+-sin-sin=2cossin22+-(2)sin+sin=2sinco8 s2 2：例例求求证证把把 ,的值代

6、入上面的式子的值代入上面的式子,即得即得+-cos+cos=2coscos22+-cos-cos=-2sinsin22 1cos cos=cos+cos-2 1sin sin=-cos+-cos-2 设设 +=,-=-=2+=2 则则四、和差化积公式四、和差化积公式+-cos+cos=2coscos22 +-cos-cos=-2sinsin22 +-sin+sin=2sincos22+-sin-sin=2cossin22 分析：分析：便于求周期和最大便于求周期和最大(小小)值的三角函数式是值的三角函数式是y=Asin(x+)，利用和角公式将其展开，可化为，利用和角公式将其展开，可化为y=asi

7、nx+bcosx的形式的形式.=sin+3cosyxx解解：13=2(sin+cos)22xx=2(sin cos+cos sin)33xx=2sin(+)3x 所以，函数的周期是所以，函数的周期是2，最大值是，最大值是2，最，最小值是小值是-2.反之，利用和反之，利用和(差差)角公式，角公式，可将可将y=asinx+bcosx转化为转化为y=Asin(x+)的形式，的形式，进而就可以求得其周期和最值了进而就可以求得其周期和最值了.(1)=sin+39cosyxx求求下下列列函函数数的的周周期期，最最大大值值和和最最小小值值.例例(2)=3sin49+cosyxx求求下下列列函函数数的的周周期

8、期，最最大大值值和和最最小小值值.例例=3sin+4cossi(2)n(+)：，xx Ax解解设设则则 所以，函数的周期是所以，函数的周期是2，最大值是，最大值是5，最，最小值是小值是-5.=3sin+4cossin cos+cos sinxx AxAxcos3sin4，A=A=于于是是 2222cos+sin25AA=于于是是 225A=所所以以 =.345 cossin55，A=取取 =5sin(+)，yx所所以以分析分析:要求当角要求当角 取何值时取何值时,矩形矩形ABCD 面积面积S最大最大,可分二步进行可分二步进行.由得出的函数关系由得出的函数关系,求求S的最大值的最大值.找出找出S

9、与与 之间的函数关系之间的函数关系;解：解：在在RtOBC中中,OB=cos ,BC=sin 在在RtOAD中中,o=tan60=3DAOA3=3OADA33=sin33BC10例例=S AB BC3=(cos-sin)sin323=sin cos-sin313=sin2-1-cos226()1313=sin2+cos2-226313=sin(2+)-6630,3由由于于 2+=,62所所以以当当 ,=6即即 时时133=-=663S最最大大解：解：在在RtOBC中中,OB=cos ,BC=sin 在在RtOAD中中,o=tan60=3DAOA3=3OADA33=sin33BC3=-=cos-

10、sin3ABOB OAsin1-costan=21+cossin：求求证证练练习习22sincossin22=1+cos1+2cos-12：证证明明22sincos222cos221-(1-2sin)1-cos2=sin2sincos22=tan222sin2=2sincos22=tan21、对变换过程中体现的换元、逆向使、对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用会灵活运用.五、归纳小结：五、归纳小结：2、通过三角变换、通过三角变换,把形如把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如的函数转化为形如y=Asin(x+)的函数的函数,从而使问题得到简化从而使问题得到简化.这个过程蕴涵了化这个过程蕴涵了化归思想归思想.