5.4.3 正切函数的性质与图象 ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.pptx

1、5.4.3正切函数的性质与图象【问题问题】根据根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，你认为应如何你认为应如何研究研究正切正切函函 数数的图象与性质呢的图象与性质呢？提示：研究一个新的函数，应从函数的定义域画图象，根据图象研究周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面.【问题问题】你能用不同的方法研究正切函数吗你能用不同的方法研究正切函数吗？提示：定义域出发研究性质，再利用性质研究它的图像.分析分析正切正切函数函数 是否是否为周期函数？哪个诱导公式能够体现为周期函数？哪个诱导公式能够体现？奇偶性呢？奇偶性呢？()()fxfxtanyx周期函

2、数周期函数奇函数奇函数注意注意点点：注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式为：TBMT(1,0)Ayx表示正切的线1 11 11 11 1 如如 图图 所所 示示，设设 x x 0 0，），2 2在在 直直 角角 坐坐 标标 系系 中中 画画 出出 角角 x x的的 终终 边边 与与 单单 位位 圆圆 的的 交交 点点B B（x x，y y,),过过 B B 作作 x x 轴轴的的 垂垂 线线，垂垂 足足 为为 MM；过过点点 A A(1 1,0 0)作作 x x 的的 垂垂 线线 与与 角角x x 的的 终终 边边 交交 于于 点点 T T，则则：y yMM B BA

3、 A T Tt ta a n n x x=A A T T,x xO O MMO O A A问题如何画出函数ytan x的图象？由由此此可可见见，当当x x 0 0，）时时，2 2线线段段A AT T的的长长度度就就是是相相应应角角x x的的正正切切值值，我我们们可可以以利利用用线线段段 A AT T画画出出函函数数y y=t ta an nx x，x x 0 0，）2 2的的图图像像，如如图图所所示示：观观察察可可知知，当当x x 0 0，）时时，随随x x的的2 2增增大大,线线段段A AT T的的长长度度也也在在增增大大，而而且且当当x x趋趋向向于于时时，A AT T的的长长度度趋趋向向

4、于于无无穷穷 大大，相相应应地地，函函数数y y=t ta an nx x,x x 0 0，）2 2的的图图像像从从左左向向右右呈呈不不断断上上升升趋趋势势，且且 向向右右上上方方无无限限逼逼近近x x=。2 22作法如下作法如下：作直角坐标系，并作直角坐标系，并在在 直角坐标直角坐标系系y y轴轴左侧左侧 作作单位圆。单位圆。找横坐标（把找横坐标（把x x轴上轴上 到到到这到这一段一段 分成分成8 8等份）等份）在单位圆在单位圆右半圆中右半圆中作作 出正切值对应的线出正切值对应的线。找交叉点。找交叉点。连线。连线。2。根根据据正正切切函函数数是是奇奇函函数数，只只要要画画出出 y y=t t

5、a an nx x,x x 0 0，）的的图图像像关关于于原原点点2 2 的的对对称称图图形形，即即得得到到y y=t ta an nx x,x x-，0 0）2 2的的图图像像，根根据据正正切切函函数数的的周周期期性性，只只 要要把把函函数数y y=t ta an nx x，x x（-，）的的图图像像2 2 2 2向向左左右右平平移移，每每次次平平移移 个个单单位位，就就可可以以 得得到到正正切切函函数数y y=t ta an nx x，x xR R,x x+k k 2 2k kZ Z的的图图像像，我我们们把把它它叫叫做做正正切切曲曲线线如如图图所所示示：032正切曲线是被互相平行的正切曲线

6、是被互相平行的直线直线 所所隔开的隔开的无穷多支曲线组成的无穷多支曲线组成的.=,2xkkZ在在 内为增函数内为增函数Zkkk),2,2(xxtan)tan(23223xyO正切正切函数的性质函数的性质:(1)定义域定义域:Zkkxx,2(2)值域值域:RtantanxxTQ(3)周期性周期性:(4)奇偶性奇偶性:奇函数奇函数(5)单调性单调性:(6)对称中心对称中心:Zkk),0,2(【悟】(1)判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即x k，kZ.(2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略一般

7、地，函数yAtan(x)的最小正周期为T ，常常利用此公式来求周期.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(x)与f(x)的关系.A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数解:因为f(x)sin xtan x，f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，故函数为奇函数.【悟】正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键.【练2】(1)ya(a为常数)与ytan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离

8、为故原函数的最小正周期为4.【悟悟】(1)1)运用正切函数单调性比较大小的方法运用正切函数单调性比较大小的方法 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.运用单调性比较大小关系.(2)2)求函数求函数y ytan(tan(xx)的单调区间的的单调区间的方法方法令tan xt，则t1,1.故所求函数的值域为4,4.yt24t1(t2)25.1tan()3.32214.xfxfx（）求函数的定义域、周期、求不等式单调区间及对称中心；的解集例112,2323.xkxk kZ解（）由1|2,3x xk kZ函数的定义域是。,tan()tanz,23tan()tan(2323zxzxx设又),t

9、an2+)tan(2323xx（）),1|2,3tan2)tan(),23232.xx xkkZxxT 又都有（）函数的周期5122,223233kxkkxk kZ由-512233kZkk因此，函数的单调递增区间为（-，）。22=023233kZkxxkk由-，函 数 图 像 的 对 称 中 心 为（-，）。2-1tan()3,-234233.xkxkkZ（）解由得：（），77-2-2;1226kxkkxk kZ（）7|2-1326xkxkxkZf不等式为，的解集。1tan()3.32214.xfxfx（）求函数的定义域、周期、求不等式单调区间及对称中心；的解集例【悟】解答正切函数图象与性质问

10、题的注意点tan3x 解：解：0yx323)(2,3Zkkkx由图可知：【练4 4】（1）解下列不等式解下列不等式：);421tan(3)1(xy)42tan(3)2(xy变题uyxutan3,421)1(:则令解:tan;421的单调区间为且为增函数uyxuZkkuk,22:421得由xu:)421tan(3的单调递增区间为xy24212kxkzkkk22,232);42tan(3:xy因为原函数可化为解:tan;42的单调递增区间为所以令uyxuZkkuk,22:421得由xu24212kxk:)421tan(3的单调递减区间为xyzkkk232,22【练4 4】（2）求求下列函数下列函数的单调区间的单调区间：