3.1.1函数的概念 ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.pptx

1、3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念第 3章 函数的概念与性质 函数是函数是刻画刻画变量之间变量之间对应对应关系的数学模型关系的数学模型和工具。和工具。你能说你能说说初中对函数是怎样定义的吗？说初中对函数是怎样定义的吗？在一个在一个变化过程变化过程中，如果有两个变量中，如果有两个变量x x与与y y，并且对于，并且对于x x的每的每一个确定的值，一个确定的值，y y都有都有唯一确定的值唯一确定的值与其对应，那么我们就说与其对应，那么我们就说x x是是自变量，自变量，y y是是x x的函数的函数.接下来，我们看两个小问题：接下来，我们看两个小问题：(1)(1)正方形的周长正方形的周长l

2、l与边长与边长x x的对应关系的对应关系:这个函数与正这个函数与正比例函数比例函数y=4xy=4x相同吗？相同吗？xl4(2(2）与与 是同一个函数吗？是同一个函数吗？xy xxy2要解决这些问题，就需要进一步学习要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念函数概念.问题问题1 1 某某“复兴号复兴号”高速列车加速到高速列车加速到350km/h350km/h后保持匀速运行半小时后保持匀速运行半小时.(1)(1)在这半小时内，列车行进的路程在这半小时内，列车行进的路程 S S（单位：（单位：kmkm）与运行时间）与运行时间 t t（单位：（单位：h h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为的关系如何表

3、示？这是一个函数吗？为什么？什么？S=350t.这里，这里，t t 和和 S S 是是两个变量，而且对于是是两个变量，而且对于 t t 的每一个确定的每一个确定的值，的值，S S都有唯一确定的值与之对应，所以都有唯一确定的值与之对应，所以 S S 是是 t t 的函数的函数.思考思考 有人说：有人说：“根据对应关系根据对应关系S=350tS=350t，这趟列车加速到，这趟列车加速到350km/h350km/h后，运行后，运行1h1h就前进了就前进了350km”350km”，你认为这个说法正确吗？，你认为这个说法正确吗？根据问题根据问题1 1的条件，我们不能判断列车以的条件，我们不能判断列车以3

4、50km/h350km/h运行半小时运行半小时后的情况，所以，上述说法不正确，显然其原因是没有关注到后的情况，所以，上述说法不正确，显然其原因是没有关注到t t的变化范围的变化范围 .（2)2)你认为如何表示你认为如何表示问题问题1 1中中 S S 与与 t t 的对应关系的对应关系更精确？更精确？S=350t.t t的变化范围是数集的变化范围是数集 ，5.00|1ttA初中：初中：对于对于 t t 的每一个确定的值，的每一个确定的值，S S都有唯一确定的值与之对应，都有唯一确定的值与之对应，追问：追问：这里这里t t和和S S应该都是有范围的，如何表示这个范围呢？应该都是有范围的，如何表示这

5、个范围呢？对于数集对于数集 中的任一时刻中的任一时刻t t，按照对应关，按照对应关系系S=350tS=350t，在数集，在数集 中都有唯一确定的路程中都有唯一确定的路程S S和它对应和它对应.1750|1SSB5.00|1ttA变量与变量之间的对应变量与变量之间的对应St 集合与集合之间的对应集合与集合之间的对应11BA S S的变化范围是数集的变化范围是数集 1750|1SSB对应关系对应关系tS350，5.00|1ttA自变量的集合自变量的集合1750|1SSB函数值的集合函数值的集合对于对于 任何一个时刻任何一个时刻t,t,按照按照 ,在在 都有唯一确定的路程都有唯一确定的路程S S与之

6、对应与之对应.数集A1数集B1对应关系对应关系S=350tS=350t数学符号语言数学符号语言文字语言文字语言问题问题2 2 某电器维修公司要求工人每周工作至少某电器维修公司要求工人每周工作至少1 1天，至多不超过天，至多不超过6 6天天.如果公司确定的工资标准是每人每天如果公司确定的工资标准是每人每天350350元，而且每周付元，而且每周付一次工资，那么一次工资，那么(1)(1)你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(w(单位：元单位：元)是他工作天数是他工作天数d d的函数吗？的函数吗？工资工资:w,:w,天数天数:d:dw=

7、350d.w=350d.2A2B(2)(2)一个工人的工资一个工人的工资w(w(单位：元单位：元)是他工作天数是他工作天数d d的函数吗？的函数吗？对于任一个工作天数对于任一个工作天数d d，按照对应关系，按照对应关系w=350dw=350d，都有唯一确定，都有唯一确定的工资的工资w w与它对应与它对应.（3 3）你能仿照问题）你能仿照问题1 1，给出这个问题中的，给出这个问题中的w w与与d d的对应关系的精确的对应关系的精确表示吗？表示吗？对应关系对应关系dW350函数值的集合函数值的集合对于对于 任一个工作天数任一个工作天数d,d,按照按照 ,在在 都有唯一确定的都有唯一确定的工资工资w

8、 w与之对应与之对应.数集A2数集B2对应关系对应关系w=350dw=350d自变量的集合自变量的集合，6543212A.21001750140010507003502，B数学符号语言数学符号语言文字语言文字语言问题问题2 2 某电器维修公司要求工人每周工作至少某电器维修公司要求工人每周工作至少1 1天，至多不超天，至多不超过过6 6天天.如果公司确定的工资标准是每人每天如果公司确定的工资标准是每人每天350350元，而且每周元，而且每周付一次工资，那么付一次工资，那么(4)(4)问题问题1 1和问题和问题2 2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一

9、个函数吗？为什么？一个函数吗？为什么？追问：追问：影响函数的要素有哪些呢？影响函数的要素有哪些呢？自变量的集合自变量的集合函数值的集合函数值的集合对应关系对应关系问题问题3 3 图图3.1-13.1-1是北京市是北京市20162016年年1111月月2323日的空气质量指数（简日的空气质量指数（简称称AQIAQI）变化图。）变化图。（1 1）你能根据图）你能根据图3.1-13.1-1找到中午找到中午1212时的时的 AQI AQI 的值吗？的值吗？（2 2）你认为这里的）你认为这里的 I I是是 t t的函数吗？如果是，你能仿照问题的函数吗？如果是，你能仿照问题1,21,2的方法来描述的方法来

10、描述I I和和t t的对应关系吗？的对应关系吗？对应关系对应关系1-1.3图自变量的集合自变量的集合函数值函数值所在所在的集合的集合对于对于 任一时刻任一时刻d,d,按照按照 ,在在 都有唯一确定的值都有唯一确定的值I I与之对应与之对应.数集A3数集B3图图3.1-13.1-1所示的对应关系所示的对应关系，2403ttA.15003IIB数学符号语言数学符号语言文字语言文字语言333BCC，则为若设函数值的集合问题问题4 4 国际上常用恩格尔系数国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高越高.表表

11、3.1-13.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.（1 1）你认为按表）你认为按表3.1-13.1-1给出的对应关系，恩格尔系数给出的对应关系，恩格尔系数 r r 是年份是年份 y y 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？%)100(总支出金额食物支出金额rr2857.0,2935.0,2989.0,3387.0,3353.0,3515.0,3569.0,3817.0,3681.0,3669.04

12、C对应关系对应关系1-1.3表自变量的集合自变量的集合函数值的集合函数值的集合对于对于 任一任一年份年份y,y,按照按照 ,在在 都有唯一确定的都有唯一确定的系数系数r r与之对应与之对应.数集A4数集B4表表3.1-13.1-1所示的对应关系所示的对应关系;2015,2014,2013,2012,2011,2010,2009,2008,2007,20064A.10|4rrB文字语言文字语言数学符号语言数学符号语言问题问题5 5：上述上述4 4个问题中的函数有哪些共同特征？个问题中的函数有哪些共同特征？问题问题情境情境自变量的集合自变量的集合对应关系对应关系函数值所在函数值所在的集合的集合函数

13、值的集合函数值的集合问题1问题2问题3问题4tS350，5.00|1ttA1750|1SSBdW350，6543212A.21001750140010507003502，B1-1.3图，2403ttA.15003IIB1-1.3表;2015,2014,2013,2012,2011,2010,2009,2008,2007,20064A2857.0,2935.0,2989.0,3387.0,3353.0,3515.0,3569.0,3817.0,3681.0,3669.04C.10|4rrBfA数集B数集333BCC设设A,BA,B是是 ，如果对于如果对于 任意一个数任意一个数 ，按照按照 ，在在

14、 中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数 和它对应，和它对应，那么就称那么就称 为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个函数。的一个函数。非空的实数集非空的实数集集合集合A A某种确定的对应关系某种确定的对应关系f f集合集合By yx xf：AB y=f(x)，xA.记作：记作：其中，其中，x叫做叫做自变量自变量，x的取值范围的取值范围A叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与；与x的的值相对应的值相对应的y值叫做值叫做函数值函数值，函数值的集合，函数值的集合f(x)|xA叫做叫做值域值域.显然，值域是集合显然，值域是集合B B的的子集子集.一、函数的定义：定义域定义域值域值域对应关系对应关

15、系f fp 函数三要素函数三要素“y=f(x)”是函数符号，可用任意的字母表示：是函数符号，可用任意的字母表示：“y=g(x)”“y=h(x)”p 符号符号y=f(x)y=f(x)的理解：的理解：y=f(x)为为“y是是x的函数的函数”的数学表示的数学表示,仅是一个函数符号仅是一个函数符号,f(x)不是不是f与与x相乘相乘,例如：例如：y=3x+1可以写成可以写成 f(x)=3x+1,当当x=2时时y=7可以写成可以写成f(2)=7；f是对应关系是对应关系,它可以是它可以是解析式解析式,可以是可以是图象图象,表格表格,不同函数中不同函数中f 的的 具具 体含义不一样体含义不一样.追问：追问：说

16、说说说f(x)f(x)和和f(a)f(a)的区别与联系的区别与联系f(a)f(a)表示当表示当x=ax=a时，函数时，函数f(x)f(x)的值，是一个的值，是一个常量常量；而而f(x)f(x)是自变量是自变量x x的函数，表示的是的函数，表示的是变量变量.函数函数反比例函数反比例函数一次函数一次函数二次函数二次函数定义域定义域(0)kyxk(0)yax ba2 (0)yaxbx ca|0 x xRRR|0y y24|4ac by ya24|4ac by ya问题问题6：如果让你用函数的定义重新认识反比例函数、一次函数、如果让你用函数的定义重新认识反比例函数、一次函数、二次函数，你会怎样表述这些

17、函数呢？二次函数，你会怎样表述这些函数呢？对应关系对应关系值域值域a 0例1：试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式 来描述来描述.)10(xxy 解：长方形的周长为长方形的周长为2020，设一边长为，设一边长为x x，面积为，面积为y y，那么，那么)10(xxy 对应关系对应关系 f f把每一个长方形的边长把每一个长方形的边长 x x 对应到唯一确定的面积对应到唯一确定的面积1 10 0,x x0 0|x x定定义义域域：A A2 25 5,y y0 0|y y值值域域：B B问题问题7 7：(1)(1)正方形的周长正方形的周长l

18、l与边长与边长x x的对应关系的对应关系:xl4这个函数与正比例函数这个函数与正比例函数y=4xy=4x相同吗？相同吗？(2(2）与与 是同一个函数吗？是同一个函数吗？xy xxy2解解：是集合是集合A A到集合到集合B B的函数的函数.定义域是定义域是A=1A=1，2 2，3 3，4 4，55，值域对应关系值域对应关系 f f 列表如下列表如下:练习1.1.集合集合A A，B B与对应关系与对应关系f f如右图所示：如右图所示：是否为是否为从集合从集合A A到集合到集合B B的函数？如果是，那么定义域，值域与对应关系的函数？如果是，那么定义域，值域与对应关系各是什么？各是什么？BAf:BAf

19、:x12345f(x)223542.2.设集合设集合M M x x|0|0 x x22，N N y y|0|0y y22，那，那么下面的么下面的4 4个图形中，能表示集合个图形中，能表示集合M M到集合到集合N N的函数的函数关系的有关系的有()如何判断两个函数是否相同？如何判断两个函数是否相同？1。1。t tt tg(t)g(t)1,1,x xx xf(x)f(x)3 31;1;x xg(x)g(x),1 1x xf(x)f(x)2 2;2 2x x4 4x xg(x)g(x)2,2,x xf(x)f(x)1 1是否是相等函数：是否是相等函数：3.判断下列各组函数3.判断下列各组函数2 22

20、 22 22 2课堂小结课堂小结1.1.与初中学过的函数概念相比，你对函数有什么新的认识？与初中学过的函数概念相比，你对函数有什么新的认识？2.2.结合本节课函数概念的学习，谈谈如何建立数学概念呢？结合本节课函数概念的学习，谈谈如何建立数学概念呢？具体问题具体问题共同特征共同特征抽象概念抽象概念概念表示概念表示运用概念运用概念 设设a,ba,b是两个实数是两个实数,而且而且abab,我们规定：我们规定：(1)(1)满足不等式满足不等式axbaxb的实数的实数x x的集合叫做的集合叫做闭区间闭区间,表示为表示为 a,ba,b(2)(2)满足不等式满足不等式axbaxb的实数的实数x x的集合叫做

21、的集合叫做开区间开区间,表示为表示为(a,b)(a,b)(3)(3)满足不等式满足不等式axbaxb或或axbaa,xb,xa,xb,xb的实数的集合分别表示为的实数的集合分别表示为a,a,+)+)、(a,+)(a,+)、(-,b(-,b、(-,b).(-,b).二、区间的概念二、区间的概念集合表示集合表示区间表示区间表示数轴表示数轴表示x axx axbba ,b)a ,b).。x xx xaa(,a),a)。x xbx xbb,+)b,+).x xRx xR(,+),+)数轴上所有的点数轴上所有的点题型题型1:1:函数的求值问题函数的求值问题)的解析式.)的解析式.(3)求f(g(x)(3

22、)求f(g(x)）的值;）的值;(2)求f(g(2)(2)求f(g(2)g(2)的值;g(2)的值;(1)求f(2),(1)求f(2),2 2x xg(x)g(x),x x1 11 1已知f(x)已知f(x)例1例12 26)2(,31)2(gf71)6()2(fgf31)2(112)(3222xxxfxgf）解：（.)2 2则f(则f(2,2,且f(4)且f(4)f(y),f(y),f(x)f(x)都有f(xy)都有f(xy)y y，对任意实数x,，对任意实数x,0,0,的定义域为的定义域为例2已知函数f(x)例2已知函数f(x)题型题型2:2:求函数的定义域求函数的定义域.2 2x x1

23、1x x4 4(4)y(4)y;x xx x1 1x x(3)y(3)y;x x1 11 1x x(2)y(2)y;2 23x3xx xx x(1)y(1)y:域域例3求下列函数的定义例3求下列函数的定义0 02 2及定义域。及定义域。1)的表示式1)的表示式f(xf(x求y求y,x x2 21 1x x若函数f(x)若函数f(x)探索：追问：追问：若不求出若不求出y=f(x+1)y=f(x+1)的表示式，你能求出定义域吗？的表示式，你能求出定义域吗？.，求求f f(x x)的的定定义义域域0 0,1 11 1)的的定定义义域域为为函函数数f f(2 2x x2 2)的的定定义义域域。，求求f

24、 f(x x0 0,1 1为为函函数数f f(x x)的的定定义义域域1 1例例4 42 2抄：抄：已知已知f(x)f(x)的定义域为的定义域为A A，求，求f fg(x)g(x)的定义域，就是已知的定义域，就是已知g(x)g(x)的取值范围为的取值范围为A A，求出，求出x x的取值范围。的取值范围。抄：抄：已知已知f fg(x)g(x)的定义域为的定义域为B B，求，求f(x)f(x)的定义域，就是已知的定义域，就是已知x x的的取值范围为取值范围为B B，求出，求出g(x)g(x)的取值范围的取值范围(值域）值域）。.，求求f f(x x)的的定定义义域域0 0,1 11 1)的的定定义

25、义域域为为函函数数f f(2 2x x2 2)的的定定义义域域。，求求f f(x x0 0,1 1为为函函数数f f(x x)的的定定义义域域1 1例例4 42 2f(x)的定义域。f(x)的定义域。，求函数y，求函数y2,32,37)的定义域为7)的定义域为f(3xf(3x函数y函数y7)的定义域；7)的定义域；f(3xf(3x，求函数y，求函数y2,32,3-f(x)的定义域为f(x)的定义域为1.函数y1.函数y.2课堂练习：课堂练习：的定义域的定义域，求f(2x2)，求f(2x2)的定义域为2,3的定义域为2,33.函数f(x1)3.函数f(x1)f(t)的定义域为的定义域为1,4，即，即 f(x)的定义域为的定义域为1,4，要使要使 f(2x2)有意义，有意义，须使须使12x24，21x3 3.函数函数 f(2x2)的定义域为的定义域为321xxCBC