4.5.2《用二分法求方程的近似解》ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.ppt

1、1.1.函数函数 有零点吗？你怎样求其零点？有零点吗？你怎样求其零点？2.2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到了三次和四次对于高次多项式方程，在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式，但对于高于方程的求根公式，但对于高于4 4次的方程，类似的努力却次的方程，类似的努力却一直没有成功一直没有成功.到了十九世纪，根据阿贝尔（到了十九世纪，根据阿贝尔（AbelAbel）和伽）和伽罗瓦（罗瓦（GaloisGalois）的研究，人们认识到高于）的研究，人们认识到高于4 4次的代数方程次的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公

2、式解同时，即使对于的公式解同时，即使对于3 3次和次和4 4次的代数方程，其公式次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法零点的近似解的方法.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条部的电话线路发生了故障这是一条10 km10 km长的线路，长的线路，如何迅速查出故障所在？如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难

3、很多每查一个如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆，点要爬一次电线杆，10km10km长，大约有长，大约有200200多根电线杆呢想多根电线杆呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？B BA AC CD DE E（1 1）通过用）通过用“二分法二分法”求方程的近似解求方程的近似解,使学生体会函使学生体会函 数的零点与方程根之间的联系数的零点与方程根之间的联系,初步形成应用函数初步形成应用函数 观点处理问题的意识；观点处理问题的意识；(重点）重点）（2 2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一）体会数学逼近过程，感受精确与

4、近似的相对统一.（难点）（难点）试求解下列方程：试求解下列方程：1 1x22 x 10；2 2x22 x 10；3 3x33 x 10；4 4ln x2 x 60；x121x？一元二次方程一元二次方程 可以用公式可以用公式求根，有没有现成的公式用来求方程求根，有没有现成的公式用来求方程 x33 x 10和方程和方程 的根呢？的根呢？)0(02acbxax062ln xx 回想一下函数的零点与相应的方程根的关系，试回想一下函数的零点与相应的方程根的关系，试想能否利用函数的有关知识来求它们的根的近似解想能否利用函数的有关知识来求它们的根的近似解（比如：精确到（比如：精确到0.010.01）呢？）呢

5、？没有没有方程方程 有实数根有实数根0)(xf函数函数 的图象与的图象与x轴有交点轴有交点)(xfy 函数函数 有零点有零点)(xfy 求方程求方程 的实数根，就是确定函数的实数根，就是确定函数 的零点，也就是函数的零点，也就是函数 的图象与的图象与x轴的交点的轴的交点的横坐标横坐标)(xfy 0)(xf)(xfy 如果函数如果函数 在区间在区间 上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的一条曲线，并且有一条曲线，并且有 ，那么，函数，那么，函数 在区在区间间 内有零点，即存在内有零点，即存在 ，使得，使得 ，这个，这个c也就是方程也就是方程 的根的根 )(xfy,ba0)()(bfaf)(xf

6、y ba,bac,0)(xf0)(xf 判断函数的零点：判断函数的零点：假设在区间假设在区间-1,5-1,5上，上，f(x)f(x)的图象是一条连续的曲线，且的图象是一条连续的曲线，且f(-1)0,f(5)0,f(5)0，即，即f(-1)f(5)0f(-1)f(5)0，我们怎样依如上方法求得，我们怎样依如上方法求得方程方程f(x)=0f(x)=0的一个解的一个解?-1 f(x)yxO12345 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法像上面这种求方程近似解的方法称为二分法.二分法的定义：二分法的定义：定义：定义：对于在区间对于在区间a,ba,b上上连续不断连续不断且且f(a)f(b)0f(a)f

7、(b)0的函的函数数y=f(x),y=f(x),通过不断地把函数通过不断地把函数f(x)f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间一一分为二分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做点近似值的方法叫做二分法二分法（bisectionbisection）.【思考】【思考】(1)(1)所有的函数都有零点吗？所有的函数都有零点吗？(2)(2)若函数有零点，是否都可用二分法求出？若函数有零点，是否都可用二分法求出？xyoxyoxyo不行不行,因为不满足因为不满足 f(a)*f(b)0例例1.1.求函数求函数f(x)=lnx+2x-6f(x

8、)=lnx+2x-6在区间（在区间（2 2，3 3）内的零点）内的零点（精确度为（精确度为0.010.01）.解：解：画出画出y=lnxy=lnx及及y=6-2xy=6-2x的图象，观察图象得，的图象，观察图象得，方程方程lnx=6-2xlnx=6-2x有唯一解，记为有唯一解，记为x x1 1，且这个解，且这个解在区间（在区间（2 2，3 3）内）内y=y=2x+62x+6y=lnxy=lnx6 6O Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y 上节课已经知道，函数上节课已经知道，函数 在在区间（区间（2，3）内有零点现在问题的关键是如何找）内有零点现在问题的关键是如何找出这个零点？出这个零

9、点？62ln)(xxxf 如果给你三次机会将零点所在的范围尽量缩小，如果给你三次机会将零点所在的范围尽量缩小，那么你会采取什么方法？那么你会采取什么方法？“取中点取中点”第一次：取区间（第一次：取区间（2 2，3 3）的中点，算得：）的中点，算得：f（2.52.5）0.0840.084 因为因为f（2.52.5）f（3 3）0,0,所以零点在区间（所以零点在区间（2.52.5，3 3）内）内 第二次：取区间（第二次：取区间（2.52.5，3 3）的中点，算得：）的中点，算得：f（2.752.75）0.5120.512 因为因为f（2.52.5）f（2.752.75）0,0,所以零点在区间（所以

10、零点在区间（2.52.5，2.752.75）内）内 第三次：取区间（第三次：取区间（2.52.5，2.75 2.75）的中点，算得：）的中点，算得：f（2.6252.625）0.2150.215 因为因为f（2.6252.625）f（2.52.5）0,0,所以零点在区间（所以零点在区间（2.52.5，2.6252.625）内）内2.52.752.625 如果重复上述步骤，那么零点所在范围会继续如果重复上述步骤，那么零点所在范围会继续越来越小吗？越来越小吗？由于由于 ，零点范围确，零点范围确实缩小了实缩小了75.2,5.23,5.23,2 这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重这样，在一定精确

11、度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间上的任意一复相同步骤后，将所得的零点所在区间上的任意一点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为零点地近似值点作为零点地近似值 0.5122.750.5(2.5,3)0.2152.6250.25(2.5,2.75)0.0662.56250.125(2.5,2.625)-0.0092.531250.0625(2.5,2.5625)0.0292.5468750.03125(2.53125,2.5625)0.0102.53906250.015625(2.53125,2.546875)0.0012

12、.535156250.0078125(2.53125,2.5390625)-0.0842.51(2,3)中点函数中点函数近似值近似值区间中点值区间中点值区间长度区间长度区间区间 当精确度为当精确度为0.010.01时，由于：时，由于：|2.5390625-2.53125|2.5390625-2.53125|0.00781250.010.00781250.01，62ln)(xxxf062ln xx所以，我们可以将所以，我们可以将x2.531252.53125作为函数作为函数 的零点的近似值，也即方程的零点的近似值，也即方程 根的近似根的近似值值注意精确度注意精确度 对于区间对于区间a,b上连续不

13、断、且上连续不断、且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x),通过不断地把函数通过不断地把函数f(x)的零点所的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法（bisection）函数零点的性质函数零点的性质是二分法求函数变号零点近似是二分法求函数变号零点近似值的重要依据必须是满足区间值的重要依据必须是满足区间a,b上连续不断、上连续不断、且且f(a)f(b)0这两个条件的函数才能用二分法求得零这两个条件的函数才能用二分法求得零点的近似值点的近似值 给定精确度给定精确度

14、,用二分法求函数用二分法求函数f(x)f(x)零点近似零点近似值的步骤如下值的步骤如下:1.确定区间确定区间a,b,验证验证f(a)f(b)0，给定精确度给定精确度；3.计算计算 ；)(1xf2.求区间求区间(a,b)的中点的中点 ；1x（1）若）若f(x1)=0，则，则x1就是函数的零点；就是函数的零点；（2）若）若f(a)f(x1)0，则令，则令b=x1（此时零点（此时零点x0(a,x1);（3）若）若f(x1)f(b)0，则令，则令a=x1（此时零点（此时零点x0(x1,b);4判断是否达到精确度判断是否达到精确度，即若，即若|a-b|，则得到零点，则得到零点近似值近似值a(或或b)，否

15、则重复步骤，否则重复步骤24+2 3-不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似的一个正的近似解解.（精确到（精确到0.1）f(2)0 2x13-+2 2.5 3f(2)0 2x12.5-+2 2.25 2.5 3f(2.25)0 2.25x12.5-+2 2.375 2.5 3f(2.375)0 2.375x12.5-+2 2.375 2.475 3f(2.375)0 2.375x12.4375 由函数的零点与相应方程根的关系，我们由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解可用二分法来求方程的近似解 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，由于

16、计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算助计算器或计算机完成计算 在计算器或计算机中安装一个方程数值解在计算器或计算机中安装一个方程数值解法的程序，当我们输入相应的方程，并给出精法的程序，当我们输入相应的方程，并给出精确度（有效数字）后，计算器或计算机就会依确度（有效数字）后，计算器或计算机就会依据程序进行运算了据程序进行运算了 例例2 2 借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到的近似解（精确到0.10.1）解解 原方程即原方程即2x+3x-

17、7=0，令，令f(x)=2x+3x-7，借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表值表x0123456 7 8f(x)-6-2310 21 4075142 273 观察图表，可知：观察图表，可知：f(1)f(2)0，说明这个函数说明这个函数在区间（在区间（1，2）内由零点）内由零点 例例2 2 借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到的近似解（精确到0.10.1）解解 原方程即原方程即2x+3x-7=0，令，令f(x)=2x+3x-7，借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应借助计算器或计算机作出该

18、函数的图象与对应值表值表1用二分法研究函数用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次的零点时，第一次计算计算f(0)0，可得其中一个零点，可得其中一个零点x0_，第二次应计算第二次应计算_以上横线应填的内容分别为以上横线应填的内容分别为()A(0,0.5)f(0.25)B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75)D(0,0.5)f(0.125)解析：解析：因为因为f(0)0，故，故x0(0,0.5).依二分依二分法，第二次应计算法，第二次应计算f(0.25)答案：答案：A2.2.二分法求函数的零点的近似值适合于二分法求函数的零点的近似值适合于()()(A)(A)零点两侧函数

19、值符号相反零点两侧函数值符号相反(B)(B)零点两侧函数值符号相同零点两侧函数值符号相同(C)(C)都适合都适合(D)(D)都不适合都不适合A A3.3.下列函数不能用二分法求零点的是下列函数不能用二分法求零点的是()()(A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=log(A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=log2 2x+2x-9x+2x-9(C)f(x)=(2x-3)(C)f(x)=(2x-3)2 2 (D)f(x)=3 (D)f(x)=3x x-3-34.4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)f(x)的一个正实数零点时，经计算的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0f(0.64)0

20、f(0.72)0，f(0.68)0f(0.68)0,f(0.74)0,则函数的一则函数的一个精确度为个精确度为0.10.1的正实数零点的近似值为的正实数零点的近似值为()()(A)0.64 (B)0.74 (C)0.7 (D)0.6(A)0.64 (B)0.74 (C)0.7 (D)0.6C CC C5.5.用二分法求函数用二分法求函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间2 2，4 4上的近似零点上的近似零点(精确精确度为度为0.01)0.01)，验证，验证f(2)f(4)f(2)f(4)0 0，取区间，取区间2,42,4的中点的中点x x1 1=3=3，计算得，计算得f(2)f(xf(2)f

21、(x1 1)0 0，则此时零点，则此时零点x x0 0所在的区间所在的区间是是_._.2+42(2,3)(2,3)6.6.某同学在借助计算器求某同学在借助计算器求“方程方程lgx=2-xlgx=2-x的近似解（精确到的近似解（精确到0.10.1）”时，设时，设f(x)=lgx+x-2,f(x)=lgx+x-2,算得算得f(1)0;f(1)0;在以下过在以下过程中，他用程中，他用“二分法二分法”又取了又取了4 4个个x x的值，计算了其函数值的的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是正负，并得出判断：方程的近似解是x=1.8.x=1.8.那么他所取的那么他所取的x x的的4 4个值中最后一个值是个值中最后一个值是_._.1.812 51.812 51.1.二分法的定义；二分法的定义；2.2.用二分法求函数零点近似值的步骤；用二分法求函数零点近似值的步骤；3.3.逐步逼近思想；逐步逼近思想；4.4.数形结合思想；数形结合思想；5.5.近似与精确的相对统一近似与精确的相对统一.世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。