河北省衡中同卷2020届高三第五次调研考试文科数学试题含详解.docx

1、 河北省衡中同卷河北省衡中同卷 2020 届高三第五次调研考试届高三第五次调研考试 文文科科数数学学 第第卷卷(选择题选择题) 一一选择题选择题 1,设全集为R，集合 2 2 |log1 ,|1 ,AxxBx x，则) ( R AB C （ ） A. ( 1,1) B.( 1,2) C.(0,1) D.(0,2) 2 已知复数 2 1 , (1) i z i 则z在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 在一项由“一带一路”沿线 20 国青年参与的评选中， “高铁” 、 “支付宝” 、 “共享单车”和“网购”被称为 中国“新四大发明”.曾以古代

2、“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发 展理念，某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查，于开 学进行交流报告会，四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（ ） A 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 4.已知数列 n a 满足 * 211 (), nnnn aaaa nN 且 57 10,14aa ，则 20202019 aa（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D.-1 5.若, a b是不同的直线，, 是不同的平面，则下列四个命题：若/ / , / / ,abab ，则 .若 / /

3、, / / ,/ /abab ，则 / / . 若 ,/ /abab则/ / .若/ / ,abab ，则 / / . 正 确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D. 3 6.根据最小二乘法由一组样本点( ,) ii x y(其中1,2,.,300i )，求得的回归直线方程是,ybxa则下列 说法正确的是 （ ） A.至少有一个样本点落在回归直线ybxa上 B.若所有的样本点都在回归直线ybxa上，则变量间的相关系数为 1 C. 对所有的解释变量(1,2,.,300), i x i i bxa的值一定与 i y有误差 D.若回归直线ybxa的斜率0b ，则变量 , x y 正相关. 7.若

4、抛物线 2 2ypx的准线为圆 22 40xyx的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A. 2 16yx B. 2 8yx C. 2 16yx D. 2 8yx 8.某程序框图如图所示，其中 2 1 ( ),g x xx 若输出的 2019 2020 S ，则判断框内应填入的条件为（ ） A.2020?a B.2020?a C2020?a D. 2020?a 9.已知球O的表面上的四点, , ,A B C P满足2,2,ACBCAB若四面体PABC体积的最大值为 2 3 ，则球O的表面积为（ ） A. 25 4 B. 25 9 C. 25 16 D.8 10. 已 知 函 数( )f x如 对

5、任 意 不 相 等 的 实 数 12 ,x x都 满 足 1212 () ()() )0xxfxfx ， 若 1.20.8 1 (2),( ),(ln2) 2 afbfcf 则, ,a b c的大小关系为（ ） A. cab B.cba C. bac D.bca 11.若双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线被曲线 22 420xyx所截得的弦长为 2， 则双曲线C的离心率为（ ） A.3 B. 2 3 3 C.5 D. 2 5 5 12.数学家也有许多美丽的错误， 如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想 2 21(0,1,2,.) n n Fn是 质数，直到

6、 1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出 5 641 6700417.F 不是质数，现设 n a 2 log (1),(1,2,.), n FnSn表示数列 n a的前n项和，则不等式 2 12231 2222 . 2020 nn nn S SS SS S 成 立的最小正整数n的值是（提示 10 21024） （ ） A.11 B.10 C.9 D.8 第第卷卷(非选择题非选择题) 二二、填空题填空题 13.若点( , )M x y满足不等式 22 1,xy则2xy的最大值是 14.如图，在平行四边形OACB中，,E F分别为AC和AB上的点，且 1 , 2 AEEC BFBC，若 OCm

7、OEnOF，其中,m nR，则mn的值为 15.若函数( )f x满足(2)2( )fxf x，且( )yf x的图象与 2 1 x y x 的图象共m有个不同的交点 ( ,) ii x y，则所有交点的横、纵坐标之和 1 () m ii i xy 16.已知实数, ,a b c，若不等式 11 0 k abbcca 恒成立，则k的最大值是 三解答题三解答题 17.某城市在进行创建文明城市的活动中， 为了解居民对 “创文” 的满意程度， 组织居民给本次活动打分 （分 数为整数，满分为 100 分） ，从中随机抽取一个容量为 120 的样本，发现所有数据均在40,100内，现将这 些分数分成以下

8、 6 组，并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形， 回答下列问题： 算出第三组60,70)的频数，并补全频率分布直方图： 请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表） 18.在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知sin2sin ,BsinCA且34 ,ba 求cosB的值 若( )sin(2) 6 f xx ，求( )f B的值 19.如图，在四棱锥SABCD的三视图中，俯视图为边长为 1 的正方形，正视图与侧视图均为直角边长等 于 1 的等腰直角三角形，M是SD的中点，ANSC交SC于点N. 求证：

9、SCAM 求AMN的面积. 20.已知函数 2 ( )ln , 2 a f xxaxxxx aR 讨论函数( )f x 的导函数g( ) x 的单调性； 若函数( )f x1x 处取得极大值，求a的取值范围. 21.在平面直角坐标系xoy中，已知R为 22 1xy上的一动点，R在x轴，y轴上的射影分别为点,S T， 动点P满足TSSP，记动点P的轨迹为曲线C，曲线C与x轴交于,A B两点. 求曲线C的方程 已知直线,AP BP分别交直线 :4l x 于点,M N，曲线C在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的 值 MN NQ 的值. 22.在极坐标系下，方程2sin2的图形为如图所示的“幸运四叶

10、草”又称为玫瑰线. 当玫瑰线0, 2 时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标； 求曲线 2 2 sin() 4 上的点M与玫瑰线上的点N的距离的最小值及取得最小值时的点,M N的极坐 标（不必写详细过程）. 23.若关于的不等式 xmn 的解集为 6,2. 求实数 ,m n的值； 若实数 , y z满足 11 , 33 myzynz 求证： 1 9 z . 文数参考答案文数参考答案 一一选择题选择题 1.C【解析】由2 log1,x 得0 2x ，由 2 1x 得 1x 或 1x ，所以 | 11 , R C Bxx 所以 ()|01 , R AC Bxx 故选 C. 2.B【解析】

11、由题得， 2 1111 z, (1)222 ii i ii 所以 11 z, 22 i ，它在复平面内所对应的点在第二 象限，故选 B. 3.D【解析】将支付宝小组，网购小组，高铁小组，共享单车小组分别记为1212 ,.A A B B 则四个小组随机排 序的所有情况有：1212122121122121 (,),(,),(,),(,),A A B BA A B BA A B BA A B B 11221221 (,),(,),A B A BA B A B 2112 (,),A B A B 221111221212 (,),(,),(,),A B A BB A A BB A A B 2121221

12、1 (,),(,),B A A BB A A B 11221212 (,),(,),A B B AA B B A 21212211 (,),(,),A B B AA B B A 12122112 (,),(,),B B A AB B A A 12211122 (,),(,)B B A AB A B A 122121122211 (,),(,),(,)B A B AB A B AB A B A 共 24 种，其中支付宝小组与网购小组不相邻的有 12 种，所以所求概率为 1 , 2 故选 D 4.A【解析】由题意可知，数列 n a 为等差数列，故设数列 n a 的公差为d，则75 42aad ，

13、75 42aad ，20202019 2,aad 故选 A 5.B【解析】命题中 , 还有可能平行或相交，命题中 , 还有可能相交，命题中 , 还有可能相 交， / / ,ab ab 又 / /b 故命题正确.故选 B. 6.D【解析】回归直线必经过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故 A 错误; 所有样本点都在回归直线y bxa 上，则变量间的相关系数为 1 故 B 错误; 若所有的样本点都在回归直线y bxa 上，则i bxa 的值与i y 相等，故 C 错误; 相关系数r与b的符号相同.若回归直线y bxa 的斜率 0b ，则 0r ，样本点应该分布在从左到右是 上升的，则

14、变量x与y正相关，故 D 正确.故选 D. 7.C【解析】抛物线 2 2ypx 的准线方程为 2 p x ，垂直于x轴，而圆 22 40xyx 垂直于轴的一 条切线为 4x ，则 4 2 p ，即 8p ，故抛物线方程为 2 16yx ，故选 C 8.A【解析】由 222 1111111 (1) 11221 223(n 1)2 S nnn 111112019 ().()1 231112020 n nnnn ，解得 2019,n 所以当n的值 2019 时满足判断框内 的条件，当n的值为 2020 时，不满足判断框内的条件，推出循环，输出S的值，故结合选项，判断框内应 填入的条件为 2020?n

15、 ，故选 A. 9.A【解析】当平面ABP与平面ABC垂直时，四面体ABCP的体积最大.由 2ACBC ， 2AB 所 以 90ACB，设点P到平面ABC的距离为h则 112 22, 323 h 解得 2h ，设四面体外接 球的半径为R，则 22 (2)1RR ，解得 5 4 R ，所以球O的表面积为 2 525 4( ) 44 ，故选 A. 10.B【解析】由题得： 1.20.80.8 1 22( )21ln2, 2 又由1212 ()( ()()0,xxf xf x 可知函数 ( )f x 为单调递增函数，故 ,abc 故选 B 11.B【解析】双曲线 22 22 :1(0,0) xy C

16、ab ab 的渐近线方程为 b yx a 由对称性，不妨取 b yx a ，即 0bxay 又曲线 22 420xyx 化为 22 (2)2,xy 则其圆心的坐标为(2,0)，半径为 2，有题得： 圆心到直线的距离 22 ( 2)11,d 又由点到直线的距离公式，可得 22 20 1, b d ba 解得 2 2 1 3 b a 2222 222 2 3 1, 3 cabb e aaa 故选 B 12.C【解析】把 2 21 n n F 代入2 log (1) nn aF 2 2 log (21 1)2 n n n a 故 2(21) 2(21) 21 n n n S 1 1 2111 ()

17、4 2121 n nn nn S S ，则 2 1 12231 222112 .(1) 4212020 nn n nn S SS SS S 成立，代入计算可得 当不等式成立，n的最小值为 9，故选 C 二填空题 13. 5【解析】设2zxy ，变形为 2yxz 可知当直线 2yxz 与圆 22 1xy 在第一象限相切时，直线在y轴上的截距最大， 即z最大，此时 1 5 z 即 5z ，所以2x y 的最大值为 5. 14. 4 3 【解析】因为 1 2 OFOBBFOBOA 1 2 OEOAAEOAOB 所以 4242 , 3333 OAOEOF OBOFOE 又 424222 333333

18、OCOAOBOEOFOFOEOEOF 所以 2 3 mn ，故 4 3 mn 15.0【解析】因为 ( )f x 满足 (2)2( ),fxf x 所以 ( )yf x 的图象关于点(1, 1) 对称，从而 21 1 11 x y xx 的图象也关于点(1, 1) 对称，所以所有的交点也关于点(1, 1) 对称， 从而所有的交点的横坐标之和等于m，所有的交点的纵坐标之和等于 m ，故所有的交点的横、纵坐标之 和等于 0. 16.4【解析】因为 0,abc 由不等式 11 0 k abbcca 可得 11 acacabbcabbcbcab k abbcabbcabbc 而 2 bcab abbc

19、 （当且仅当b cab 时，取等号）所以k的最大值为 4. 三解答题： 17.解： （1）因为各组的频率之和等于 1，所以分数在60,70)内的频率为： 1 10(0.0050.0150.0300.0250.010)0.15f 所以第三组的频率分布直方图如图 （2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点， 所以从图中可看出众数的估计值为 75 又根据频率分布直方图，知样本的平均数的估计值为： (45 100.005)55 (100.015)65 (100.015) 75 (10 0.03)85 (10 0.025)95 (10 0.01)73.5()分 所以样本的众数为 75 分，平

20、均数为 73.5 分. 18 解：在 ABC 中，由正弦定理及sin sin2sinBCA 得 2bca 又因为3 4 ,ba 得到 42 ,c 33 baa 由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aab acb B ac aa 由可得 2 15 sin1cos 4 BC 从而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2oossin- 8 BBB 故 153713 57 ( )sin(2)sin2 coscos2 sin 666828216 f BBBB 19。解：由四棱锥S ABCD 的三视图，可知底面ABCD是正方形， 1.SAA

21、BCDSAAD底面， 又CD ABCDSACD平面， ,CDADSAADACDSAD，平面 ,AMADCDAM平面S， 又 1.SAADM 是SD的中点， ,AMSD ,SDCDDAMSCD 平面 .SCDCSCAM平面S， M是SD的中点，S ACMD ACMMADC VVV 111 1 11 323 2 212 S ACMACD VSSA ,.,ANSC AMSC ANAMASCAMN 平面 MN 1 3 S ACMA VSSC 3SC AMN 的面积为 33 12 S AMN AMN V S SC 20.解： （1） ( ) lnfxxaxa ( )lng xxaxa 11 ( )(0)

22、 ax g xax xx 当 0a 时， ( ) 0g x 函数 ( )g x 在(0, ) 上单调递增. 当 0a 时， 1 (0,),x a 则 ( ) 0g x 若 1 (,)x a 则 ( ) 0g x 函数 ( )g x 在 1 (0,) a 上单调递增.在 1 (,) a 上单调递减. 综上所述，当 0a 时， ( ) 0g x 函数 ( )g x 在(0, ) 上单调递增. 当 0a 时，函数 ( )g x 在 1 (0,) a 上单调递增.在 1 (,) a 上单调递减. (1)0,(1)0gf 由知当 0a 时， ( ) 0fx 函数 ( ) fx 在(0, ) 上单调递增.

23、 若 (0,1),x 则 ( ) 0fx 若 (1,)x 则 ( ) 0fx ( )f x 在(1, ) 上单调递增.在(0,1)上单调递减. ( )f x 在 1x 取得极小值，不合题意； .当 1a 时，函数 ( ) fx 在(0,1)上单调递增. ( ) fx 在(1, ) 上单调递减. ( )(1)0,( )fxff x 在(0, ) 单调递减， ( )f x 无极值，不合题意. 当0 1a 时， 1 1 a 由（1）知， ( ) fx 在 1 (0,) a 上单调递增 (1) 0,f 若 (0,1),x 则 ( ) 0,fx 若 1 (,1)x a 则 ( ) 0,fx ( )f x

24、 在 1x 处取得极小值，不合题意. 当 1a 时， 1 01 a ，由（1）知， ( ) fx 在 1 (,1) a 上单调递减. (1) 0,f 若 1 (,1)x a ，则 ( ) 0fx 若 (1,)x ， ( ) 0fx ( )f x 在 1 (,1) a 上单调递增，在(1, ) 上单调递减. ( )f x 在 1x 处取得极大值， 综上所述，a的取值范围是(1, ) . 21.解：设11 (), ( , ),R x yP x y 则 22 11 1xy 又R在x轴、y轴上的射影分别为点 ,S T ，所以11 ( ,0), (0,)S xTy 由 ,TSSP 得 1 1 2 x x

25、 yy 代入 22 11 1xy 得 2 2 1 4 x y 故曲线C的方程为 2 2 1 4 x y 设000 (,)(2)P xyx 则 2 2 0 0 1 4 x y 不妨设直线AP的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，令 4x ，得点M的纵坐标 0 0 6 2 M y y x 直线BP的方程为 0 0 (2) 2 y yx x 令 4x ，得点N的纵坐标 0 0 2 2 N y y x 由 00 22 () , 44 yk xxy xy 得 222 0000 (14)8 ()4()40kxk ykx xykx 由 0, 得 2222 0000 64()16(14)()10kyk

26、xkykx 整理得 2222 0000 214ykx yk xk 将 2 222 0 000 1,4(1) 4 x yxy 代入上式并整理，得 2 0 0 (2)0 2 x y k 解得 0 0 4 x k y 所以曲线C在点P处的切线方程为 0 00 0 () 4 x yyxx y 令 4x ，得点Q的纵坐标为 22 0000000 0 0000 (4)444(1)1 444 Q xxyxxxx yy yyyy 设 ,MQQN 所以 (), QMNQ yyyy 所以 0000 0000 1621 () 22 xyyx yxxy 将 2 2 0 0 1 4 x y 代入上式，得 00 2( 2

27、) 22 xx 解得 1, 即 1 MQ NQ 21.解：联立以极点为圆心的单位圆 1 与 2sin2 , 得2sin2 1, 所以 1 sin2. 2 因为 0, 2 ，所以 12 或 5 12 从而得到以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标为 1, 12 ， 5 1, 12 曲线的直角坐标方程为 4xy ，玫瑰线 2sin2 极径的最大值为 2，则可于点 (2,) 4 N 取得，连接 ,2, 4 O N 与 4xy 垂直，且交于点 2 2, 4 M ， 所以点M与N的距离的 2 2 sin() 4 最小值2 2 2 此时对应的点M，N的极坐标分别为 2 2, 4 M ,2, 4 N 21.解：由 xmn ，得 ,nxmn 即 ,nmxnm 则 6 2 nm nm 解得 2 4 m n 由可知 11 2,4. 33 yzyz 又因为 11 9(2)2(4 )|2|+2|4 |2 33 zyzyzyzyz 所以 1 9 z