3.3 幂函数 ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.pptx

1、(1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她那么她需要支付需要支付P=_w 元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积S=_(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积V=_(5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均那么他骑车的平均速度速度v=_是是_的函数的函数a a V是是a的函数的函数t km/s v是是t 的函数的函数(4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边那么正方形的边长长_12Sa是是S的函数的函数

2、以上问题中的函数具有什么共同特征以上问题中的函数具有什么共同特征?Pwa y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1ayx_是是_的函数的函数Sa他们有以下共同特点：他们有以下共同特点：(1)都是函数；都是函数；(3)均是以自变量为底的幂；均是以自变量为底的幂；(2)指数为常数指数为常数.ayxa一般地，函数一般地，函数 叫做叫做幂函数幂函数(power function)，其中其中x x为自变量，为常数。为自变量，为常数。注意注意:幂函数的解析式必须是幂函数的解析式必须是y=y=的形式，的形式，其特征可归纳为其特征可归纳为“系数为，只有项系数为，只有项”式子式子 名称名称常数常数 x y指数

3、函数指数函数:y=a x（a0且且a1)幂函数幂函数:y=x a为底数底数指数指数为指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值幂函数与指数函数比较判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看未知数看未知数x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数函数函数判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4 21)2(xy(3)y=-x2 21)4(xy(5)y=2x2(6)y=x3+2 判一判xy2.0 xy521xy 1 xy（指数函数）（指数函数）（幂函数）（幂函数）（指数函数）（指数函数）（幂函数）（幂函数）快速反应快速反应xy 3（指数函数）（指数函

4、数）5xy（幂函数）（幂函数）。m，xmmxfm的值求是幂函数已知例3221)(:1是幂函数因为解)(:xf112mm12:mm或解之得12mm或提高训练提高训练 已知函数 是幂函数,并且是偶函数，求m的值。22233)(mxmmxf练习1：是幂函数因为解22233)(:mxmmxf1332mm12:mm或解之得是偶函数又因为)(xf舍去不符合题意，m12m是幂函数因为解22233)(:mxmmxf是幂函数因为解22233)(:mxmmxf1332mm是幂函数因为解22233)(:mxmmxf12:mm或解之得1332mm是幂函数因为解22233)(:mxmmxf是偶函数又因为)(xf12:m

5、m或解之得1332mm是幂函数因为解22233)(:mxmmxf舍去不符合题意，m1是偶函数又因为)(xf12:mm或解之得1332mm是幂函数因为解22233)(:mxmmxf(2,2),22,a因为函数过点所以2()(2,)2.,.yf x已知幂函数的图象过点试求出这个函数的解析式例12221log2log 2.2a 所以,:ayx设所求幂函数为解12.yx故所求的幂函数为范例讲解范例讲解下面研究幂函数下面研究幂函数.ayx在同一平面直角坐标系内作出这在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇

6、偶性、过定点的情况等。单调性、奇偶性、过定点的情况等。y=x0研究研究 y=x2yx3yx12yx1yx幂函数的图像幂函数的图像作出下列函数的图象作出下列函数的图象:yx2yx3yx12yx1yxy=x0幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1)yx x-2-1012 y=x-2-1012 幂函数的图像幂函数的图像定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：RR上是奇函数在R上是增函数在R幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)2yx x-

7、2-1-1/201/212y=x2411/401/414幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-2-1-1/201/212y=x2411/401/4144321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3/2-1-1/201/213/2y=x3-27/8-1-1/801/8 127/8幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1

8、)x-3/2-1-1/201/213/2y=x3-27/8-1-1/801/8 127/8幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)yxx01/91/414901/31/212312y xx 幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)yxx01/91/414901/31/212312y xx 幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y

9、=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)1y xx-3-2-1-1/2-1/31/31/2123-1/3-1/2-1-2-33211/21/3幂函数的图像幂函数的图像1y x4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-1-1/2-1/31/31/2123-1/3-1/2-1-2-33211/21/31y x幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,

10、2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0幂函数的图像幂函数的图像可以看出，常函数可以看出，常函数y=1的图像比幂函的图像比幂函数数y=x0的图像多了一的图像多了一个点个点(0,1),所以所以常函常函数数y=1不是幂函数不是幂函数.4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x04321-1-2-3-4-6

11、-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0在第一象限内在第一象限内,函数图象的变化函数图象的变化趋势与指数有什趋势与指数有什么关系么关系?在第一象限内，在第一象限内，当当a0时，图象随时，图象随x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时，图象随时，图象随x x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时时,图象还都过点图象还都过点(0,0)点点 y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性 公共点公共点奇奇偶偶奇奇非奇非奇非偶非偶奇奇(1,1)RRRx|x00,+）RR

12、y|y00,+）0,+）在在R R上增上增在（在（-，0)0)上减，上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:12在在R R上上增增在在0 0，+）上增，）上增，在（在（-，00上减上减,在在0 0，+）上增，）上增，在在(0(0，+)+)上减上减4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0在第一象限内，在第一象限内，当当a0时，图象随时，图象随x增大而上升：增大而上升：若若a1时，图象随时，图象随x增大是下凸上升（快增）；增大是下凸上升

13、（快增）；若若0a1时，图象随时，图象随x增大是上凸上升（慢增）；增大是上凸上升（慢增）；当当a0时时,图象还都过点图象还都过点(0,0)点点.所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+),(0,+),都有定义都有定义,并且函数图象都通过点并且函数图象都通过点(1,1(1,1);a10a1a0a=1a=0一般幂函数的图像和性质一般幂函数的图像和性质(1)所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图都有定义，并且图象都通过点象都通过点(1,1);(2)如果如果，则幂函数图象过原点，并且，则幂函数图象过原点，并且在区间在区间0,+)上是增函数；上是增函数；(3)如果如果，则幂函数图象在区间，则

14、幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向从右边趋向于原点时，图象在于原点时，图象在y轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近y轴，当轴，当x趋向于趋向于+时，图象在时，图象在y轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近x轴；轴；(4)当当为奇数时，幂函数为奇函数；当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶为偶数时，幂函数为偶函数数时，幂函数为偶函数幂函数的性质幂函数的性质从而有从而有 是幂函数，且在区间（是幂函数，且在区间（0，+）内是减函数）内是减函数.例例1.如果函数如果函数是幂函数，且在区间（是幂函数，且在区间（0，+）内是减）内是减函数，求满足条件的实数函数

15、，求满足条件的实数m的值的值.2223()(1)mmf xmmx221 1230mmmm 2m2220230mmmm 221230mmmm 或解：解：由题意有由题意有3()f xx范例讲解范例讲解例例2.利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3)(3)2.5-25与 2.7-25解解:(1)y=x0.8在在(0,)内是增函数内是增函数,5.25.3 5.20.8 5.30.8(2)y=x0.3在在(0,)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0

16、,)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5a10a1a10a1a10a1a0a=1a=0提高训练提高训练练习练习3 如图所示，曲线是幂函数如图所示，曲线是幂函数 y=xa 在第一象限在第一象限内的图象，已知内的图象，已知 a分别取分别取 四个值，则四个值，则相应图象依次为相应图象依次为:_ 11,1,22 一般地，幂函数的图象一般地，幂函数的图象在直线在直线x=1的右侧，大指数在的右侧，大指数在上，小指数在下，在上，小指数在下，在Y轴轴与与直线直线x=1之间正好相反。之间正好相反。C4C2C3C11提高训练提高训练则x且xxx,),0,2121证明幂函数证明幂函数 在在0，+）上是增函数）上

17、是增函数.复习用定义证明函数的单调性的步骤复习用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设设x1,x2是某个区间上任意二值，且是某个区间上任意二值，且x1x2;(2).作差作差 f(x1)f(x2)，变形，变形;(3).判断判断 f(x1)f(x2)的符号；的符号；(4).下结论下结论.例例3证明证明:任取任取xxf)(2121212121)()()(xxxxxxxxxfxf,2121xxxx).()(,0,0212121xfxfxxxx所以幂函数所以幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.xxf)(证法二证法二:任取任取x1,x2 0，+）,且且x1 x2；证明幂函数证明幂函数 在在0，+）

18、上是增函数）上是增函数.1)()(212121xxxxxfxf)()(21xfxf为增函数，在0)(xxf(1)(1)作差法作差法:若给出的函数是有根号的式子若给出的函数是有根号的式子,往往采用有往往采用有理化的方式。理化的方式。(2)(2)作商法作商法:证明时要注意分子和分母均为正数证明时要注意分子和分母均为正数,否则不否则不一定能推出一定能推出(x(x1 1)(x(x2 2)。()f xx即即所以所以XyXy第一象限第一象限k0时时双曲线型双曲线型开口开口向右抛物线型向右抛物线型OOk0画出函数在第一象限的图象后画出函数在第一象限的图象后,再根据函数再根据函数的奇偶性的奇偶性,画出函数在其他象限还有的图象画出函数在其他象限还有的图象K=0,直线型直线型开口向上型抛物线开口向上型抛物线K=1比较各组数的大小3241413121218.0,6.2,5.2)2(1.1,4.1,1.1)1(