2.2 基本不等式ppt课件-2022新人教A版(2019)《高中数学》必修第一册.ppt
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1、2.2 2.2 基本不等式基本不等式 2002 2002年国际数学家年国际数学家大会大会(ICM-2002)(ICM-2002)在北京在北京召开召开,会标是根据中国会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图古代数学家赵爽的弦图设计的设计的.该图形有何特点该图形有何特点?你能从这个图中找出一你能从这个图中找出一些不等关系吗?些不等关系吗?几何引入几何引入ab22ab ABCDE(FGH)ba重要不等式重要不等式222abab 一般地,对于一般地,对于任意实数任意实数a,b,我们有,我们有 当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立222abababa bab若若用用,分分别别代代替替上上式式的的,可可
2、得得到到什什么么结结论论?此此时时、应应满满足足思思考考:什什么么条条件件?222abab 变形变形重要不等式重要不等式2abab (0,0)ab当且仅当当且仅当a=b时,等号成立时,等号成立注意:注意:(1)两个不等式的两个不等式的适用范围适用范围不同不同,而而等号成立的条件相同等号成立的条件相同;(2)称为称为正数正数 a、b 的算术平均数;的算术平均数;称为称为正数正数 a、b的几何平均数的几何平均数.2ab ab两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.(均值不等式)(均值不等式)变形变形22abab 基本不等式基本不等式2abab证明:要证
3、证明:要证 只要证只要证_ab要证要证,只要证,只要证_0ab要证要证,只要证,只要证2(_)0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法22(0,0,(),()abaabb2abab )0,0(ba证明不等式:证明不等式:2 ab2 abba基本不等式的代数证明:基本不等式的代数证明:几何意义:几何意义:半弦不大于半径。半弦不大于半径。ABDCababO2ab探究探究:在右图中,在右图中,AB是圆的直径,点是圆的直径,点C是是AB上的一点,上的一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接,连接AD、BD.你能利
4、用这个图形得出基本不等式的几何解释吗你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?E基本不等式的几何意义:基本不等式的几何意义:基本不等式几何意义.gsp例题讲解例题讲解 例例1.若若 ,求求 的最小值的最小值.40 xyxx00,1:100,.已已知知,求求的的最最小小变变值值xyxyxy 变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.0 baabyab结论结论1 1:两个正数积为定值两个正数积为定值,则和有最小值则和有最小值 (即积定和最小即积定和最小)00,2:2(),.已已知知,求求的的最最大大值值例例xyxyaxy 变变:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 结论
5、结论2 2:两个正数和为定值两个正数和为定值,则积有最大值则积有最大值 (即和定积最大即和定积最大)例题讲解例题讲解 练习练习:下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错,如果,如果 错了,错了,那么那么错错在哪里?在哪里?:.2原式有最小值12xxx,21:解x;,0)1(的最值求已知 1xxx基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用-求最值求最值各项皆为各项皆为正数正数21(2),1;2xx已知求的最小值222:1212,1,1,.xxxxx 解当且仅当即时 等号成立2122.xx有最小值为基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用-求最值求最值和或积为和或积为定值定值4(3)3,.x
6、xx已知求的最小值44:24,4.4,2,.xxxxxxx解原式有最小值当且仅当即时 等号成立基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用-求最值求最值注意注意等号等号成立的条件成立的条件各项皆为各项皆为正数正数;和或积为和或积为定值定值;注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时利用基本不等式求最值时,要注意要注意:结论结论1 1:两个正数两个正数积为定值积为定值,和有最小值和有最小值结论结论2 2:两个正数两个正数和为定值和为定值,积有最大值积有最大值【归纳总结归纳总结 】思考:思考:222abab 22(1)2abab变形变形22ab
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