湖南省部分学校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题及答案.pdf

1、?书书书?高二数学?第?页?共?页?如图?已知双曲线?的左?右焦点分别为?点?与?的焦点不重合?点?关于?的对称点分别为?线段?的中点?在?的右支上?若?则?的实轴长为?台风中心从?地以每小时?的速度向西北方向移动?离台风中心槡?内的地区为危险地区?城市?在?地正西方向?处?则城市?处于危险区内的时长为?槡?二?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的选项中?有多项符合题目要求?全部选对的得?分?部分选对的得?分?有选错的得?分?已知双曲线?则?双曲线?的焦点坐标为?双曲线?的渐近线方程为?槡?双曲线?的离心率为槡?双曲线?的虚轴长为?设直线?与?则?当?时?当?时?当?时?间

2、的距离为槡?坐标原点到直线?的距离的最大值为槡?若关于?的方程?槡?有唯一解?则?的取值可能是?槡?槡?历史上?许多人研究过圆锥的截口曲线?如图?在圆锥中?母线与旋转轴的夹角为?现有一截面与圆锥的一条母线垂直?与旋转轴的交点?到圆锥顶点的距离为?关于所得截口曲线?下列选项正确的是?曲线形状为圆?曲线形状为椭圆?点?为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点?该曲线上任意两点间的最长距离为?书书书?高二数学?第?页?共?页?高二数学试卷?考生注意?本试卷分第?卷?选择题?和第?卷?非选择题?两部分?共?分?考试时间?分钟?请将各题答案填写在答题卡上?本试卷主要考试内容?北师大版选择性必修第一册

3、第一章?第二章第?节?第?卷一?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?倾斜角为?的直线经过点?和?则?槡?槡?椭圆?上的一点到两个焦点的距离之和为?槡?双曲线?上的点?到左焦点的距离为?则?到右焦点的距离为?或?圆?与圆?恰有两条公切线?则?的取值范围是?已知直线?槡?则?直线?的倾斜角为?直线?的斜率为槡?直线?的一个法向量为?槡?直线?的一个方向向量为?槡?已知双曲线?的左?右焦点分别为?是右支上一点?且?则双曲线?的离心率的取值范围是?书书书?高二数学?第?页?共?页?分?已知圆心为?的圆经过?这三个点?求圆?的标准方程?直线?过点

4、?若直线?被圆?截得的弦长为?求直线?的方程?分?已知椭圆?的左?右焦点分别为?离心率为槡?过点?的直线?交椭圆?于?两点?的中点坐标为?求椭圆?的标准方程?求?的面积?分?已知椭圆?过点?分别为左?右焦点?为第一象限内椭圆?上的动点?直线?与直线?分别交于?两点?记?和?的面积分别为?试确定实数?的值?使得点?到?的距离与到直线?的距离之比为定值?并求出?的值?在?的条件下?若?求?的值?分?已知双曲线?的左?右焦点分别为?实轴长为槡?一条渐近线方程为槡?过?的直线?与双曲线?的右支交于?两点?求双曲线?的方程?已知?槡?若?的外心?的横坐标为?求直线?的方程?书书书?高二数学?第?页?共?

5、页?第?卷三?填空题?本题共?小题?每小题?分?共?分?把答案填在答题卡的相应位置?古希腊数学家阿基米德早在?多年前利用?逼近法?得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积?已知椭圆?则该椭圆的面积为?过双曲线?的左焦点作一条直线?当直线的斜率为?时?直线与双曲线的左?右两支各有一个交点?当直线的斜率为槡?时?直线与双曲线的左支有两个不同的交点?则双曲线的离心率可以为?已知圆?则直线?被圆?截得的弦长的最小值为?一条沿直线传播的光线经过点?和?然后被直线?反射?则入射点的坐标为?反射光线所在直线在?轴上的截距为?本题第一空?分?第二空?分?四?解答题?本题共?小题?共?分?解答

6、应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤?分?已知?的顶点?边上的中线所在直线的方程为?边上的高所在直线的方程为?求?的坐标?求直线?的方程?分?曲线?上任意一点到点?的距离与到点?的距离之比为槡?试问曲线?为何种曲线?说明你的理由?过直线?上一点?向曲线?作一条切线?切点为?求?的最小值?高二数学?参考答案?第?页?共?页?高二数学试卷参考答案?由?解得?槡?因为?所以?因为椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为?所以椭圆?上的一点到两个焦点的距离之和为?由题可知?设?的左?右焦点分别为?则?因为?槡?所以?所以?在左支上?所以?故?因为两圆恰有两条公切线?所以两圆相交?则?槡?解得?因为直线?

7、的斜率为槡?倾斜角为?所以?不正确?因为?槡?槡?所以直线?的一个方向向量为?槡?故?不正确?正确?因为?所以?因为?所以?所以离心率?因为双曲线的离心率大于?所以?连接?图略?因为线段?的中点为?为线段?的中点?所以?同理?因为?在?的右支上?所以?即?的实轴长为?如图?建立平面直角坐标系?过点?作?于?以点?为圆心?槡?为半径的圆交?于?连接?在?中?槡?槡?因为?槡?所以?槡?槡?槡?所以?故?城市处于危险区域的时长为?因为?所以?槡?槡?槡?因为焦点在?轴上?所以?的焦点坐标为?槡?渐近线方程为?槡?离心率为槡?虚轴长为槡?若?则?解得?或?当?时?重合?当?时?此时?的方程为?的方程

8、为?所以?间的距离为?槡?槡?故?正确?若?则?解得?或?故?不正确?由?得?所以?恒过点?所以坐标原点到直线?的距离的最大值为?槡?槡?故?正确?由题意可知关于?的方程?槡?有唯一解?即曲线?槡?以原点为圆心的单位圆的上半部分?与直线?有唯一公共点?当直线?经过点?时?当直线?经过点?时?若直线?与曲线?槡?相切?则?槡?得?槡?数形结合可知?的取值范围是?槡?高二数学?参考答案?第?页?共?页?结合圆锥?可知该曲线的形状是椭圆?故?不正确?正确?作出椭圆长轴所在的轴截面的图形?如图所示?因为?所以?所以?所以?因为椭圆上任意两点间的最长距离即椭圆的长轴长?所以点?为该曲线上距离最长的两点确

9、定的线段的三等分点?故?正确?因为?所以?槡?槡?依题意可得该椭圆的面积?槡?答案不唯一?只要写的值在?槡?内即可?由题意可知槡?即?槡?因为双曲线的离心率?槡?所以?槡?槡?因为直线?过定点?且?在圆?内?所以当直线?与?垂直时?直线?被圆?截得的弦长最短?因为圆的半径为?槡?所以弦长的最小值为槡槡?入射光线所在直线的方程为?即?联立方程组?解得?即入射点的坐标为?设?关于直线?对称的点为?则?解得?即?因为反射光线所在直线经过入射点和?所以反射光线所在直线的斜率为?所以反射光线所在直线的方程为?令?得?即反射光线所在直线在?轴上的截距为?解?因为?边上的高所在直线的方程为?且?所以直线?的

10、方程为?即?分因为?边上的中线所在直线的方程为?所以直线?与?的交点即?点?分联立方程组?解得?故?的坐标为?分?设?的坐标为?则?的中点坐标为?分由?得?分所以直线?的方程为?即?分?解?设曲线?上的任意一点为?分则?槡?槡?槡?分整理得?分即曲线?是圆心为?半径为槡?的圆?分?因为圆?的圆心为?所以?到直线?的距离为?槡?槡?分因为?槡?槡?高二数学?参考答案?第?页?共?页?所以当?最小时?取得最小值?分即当?槡?时?取得最小值?且最小值为?槡?槡槡?分?解?因为直线?的斜率?直线?的斜率?分所以?所以直线?与直线?垂直?所以圆?的圆心?为边?的中点?即?分因为半径?槡?槡?分所以圆?的

11、标准方程为?分?当直线?的斜率不存在时?直线?的方程为?在圆?的方程中?代入?得?或?此时弦长为?符合题意?分当直线?的斜率存在时?设直线?的方程为?即?分因为直线?被圆?截得的弦长为?圆?的半径为槡?所以圆心?到直线?的距离为?分由?槡?解得?所以直线?的方程为?分综上所述?所求直线?的方程为?或?分?解?因为离心率?槡?所以?槡?分因为?所以?槡?分所以椭圆?的方程为?设?则?得?所以?分因为?的中点坐标为?所以?分因为直线?过点?所以?得?分从而?槡?槡?故椭圆?的标准方程为?分?由?知直线?的方程为?分联立方程组?得?分设?则?分所以?槡?槡?槡?故?槡?分?高二数学?参考答案?第?页

12、?共?页?解?设椭圆?的焦距为?则?槡?槡?槡?槡?所以椭圆?的方程为?分设?则?因 为?所 以?因为?为定值?所以?解得?槡?分?由?得直线?所以?同理得?分所以?化简得?或?解第一个方程?得?第二个方程无实根?分?方法一?距离公式?因为?槡?槡?槡?槡?所以?分?方法二?相似三角形?因为?所以?所以?所以?分?解?由题知?槡?槡?分所以?分故双曲线?的方程为?分?由?知?当直线?的斜率不存在时?直线?的方程为?则?槡?槡?因为?为等腰三角形?且?外接圆的圆心?的横坐标为?所以?因为?槡?槡?槡?所以?此时不符合题意?分当直线?斜率存在时?设直线?的方程为?联立方程组?得?分设?则?由?分?高二数学?参考答案?第?页?共?页?解得?即?槡?或?槡?分因为?分所以线段?的中点为?且?槡?槡?槡?槡?分设?因为?在线段?的垂直平分线上?所以?得?即?故?分因为?且?所以?化简得?分得?槡?舍去?所以直线?的方程为?即直线?的方程为?或?分