闽粤赣三省十二校2020届高三上学期联合调研考试数学（理） 含答案.doc

1、 数学（理科）试题 （考试时间：150 分钟 总分：150 分） 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1. 已知集合 2 20AxR xx，1 , 0 , 1B，则AB （ ） A 1,0,1 B1,0 C0,1 D 0 2.已知izi43为虚数单位i,则复数z在复平面上所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D

2、.第四象限 3. 4 log 0.4m, 0.4 4n , 0.5 0.4p ，则( ) .A mnp .B mpn .C pmn .D npm 4如图，为等腰直角三角形，为斜边的高，为线段的中 点，则（ ） A B C D 5某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网 行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形 图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前 出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20

3、 C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 6.已知 , ,A B C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，AB经过原点O，AC经过右 焦点F，若BFAC且2 AFCF，则该双曲线的离心率是（ ） A. 3 5 B. 3 17 C. 2 17 D. 4 9 7.函数 2 2 ( )logf xxx，则不等式0)3() 1(fxf的解集为（ ） ), 4() 1,.(A ), 1 ()4,.(B )2 , 1() 1, 4.(C )4 , 1 () 1 , 1.(D 8.已知函数 2sin0,

4、2 f xx 的两条相邻对称轴的距离为 2 ，把 f x的图象向右平移 6 个单位得函数 g x的图象，且 g x为偶函数，则 f x的单调增 区间为（ ） A. 4 2,2, 33 kkkZ B. 4 , 33 kkkZ C. 2,2, 63 kkkZ D. , 63 kkkZ 9 已知直三棱柱 111 ABCABC， 的各顶点都在球 O 的球面上， 且32, 2BCACAB， 若球 O 的体积为 3 5160 ，则这个直三棱柱的体积等于（ ） A24 B38 C 8 D54 10在ABC中，内角 , ,A B C所对的边分别为, , ,a b c S为ABC的面积， sin A C 22

5、2S bc ，且, ,A B C成等差数列，则C的大小为（ ） A 3 B 3 2 C 6 D 6 5 11已知函数 2 ,0 ( ) e ,0 x x x f x x ，( )exg x （e是自然对数的底数） ，若关于x的方程 ( ( )0g f xm 恰有两个不等实根 1 x、 2 x，且 12 xx，则 21 xx的最小值为（ ） A 1 (1ln2) 2 B 1 ln2 2 C1ln2 D 1 (1ln2) 2 12.设M，N是抛物线 2 yx上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的 斜率之积为 1 2 ，则（ ） A| 4 2OMON B以MN为直径的圆的面积大于4 C.

6、直线MN过抛物线 2 yx的焦点 DO到直线MN的距离不大于 2 第第 IIII 卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横 线上。 13已知 1 1 211 2 3 2 2 ， ， ，若幂函数 a f xx为奇函数，且在0 ，上递 减，则a_ 14. 函数( )cos x f xex的图象在点(0, (0)f 处的切线的倾斜角为_ 15. 有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游， 假设 每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率

7、为 _ 16如图，三棱锥 ABCD 中，ACADBCBD10，AB 8， CD12， 点 P 在侧面 ACD 上， 且到直线 AB 的距离为21， 则 PB 的最大值是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。 17已知公差不为 0 的等差数列 n a满足9 3 a， 2 a是 71,a a的等比中项. (1)求数列 n a的通项公式； (2)数列 n b满足 )7( 1 n n an b,求数列 n b的前n项的 n S. 18 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形，1PAAB，2PBPD .

8、（1）证明：BD 平面PAC； （2）若E是PC的中点，F是棱PD上一点，且/BE平面ACF，求二面角FACD 的余弦值. 19. 已知椭圆 22 22 :1(0) 5 xy Cb bb 的一个焦点坐标为(2,0) （）求椭圆C的方程； （）已知点(3,0)E，过点(1,0)的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于,M N两点，直 线ME与直线5x 相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行 20一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种植户对一 块地的 * ()n nN个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 1 2 ，且每粒 种子是否发芽相互独立 对每一个

9、坑而言， 如果至少有两粒种子发芽， 则不需要进行补播种， 否则要补播种 （1）当n取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望 21.（本小题 12 分） 已知函数 1 ( )sinln1 22 m f xxxx，( )fx 是 ( )f x的导函数. （1）证明：当2m时，( )fx 在(0,)上有唯一零点； （2）若存在 12 ,(0,)x x ，且 12 xx时， 12 f xf x，证明： 2 12 x xm. 请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时

10、请写清题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题 号。号。 22（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为6cos.以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 2cos 1sin xt yt (t 为参数). （）若 2 ，求曲线C的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程; （）设点1, 2 P，曲线C与直线 l 交于BA、两点，求 22 PAPB的最小值. 23(本小题满分本小题满分 10 分分)选修 45：不等式选讲 已知函数 1 3 f xxa aR （1）当

11、2a 时，解不等式 1 1 3 xfx； （2）设不等式 1 3 xfxx的解集为M，若 1 1 , 3 2 M ，求实数a的取值范围 数学（理科）答案 一、选择题：一、选择题： 题题 号号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B B D B C D B C A D 二、填空题 131 14. 4 15 9 16 16 57 三、解答题： 17 （1）设等差数列的公差为 ，则 解得 或 （舍去） ， . （2）, . 18 （1）证明：1PAABAD，2 PBPD . 222 PAABPB ， 222 PAADPD ， PAAB，PAAD，ABADA，,AB A

12、D 平面ABCD PA 平面ABCD，而BD 平面ABCD PABD 又ABCD为正方形， ACBD，PAACA，,PA AC 平面.PAC BD 平面PAC （2）解：如图，连接ED，取ED的中点M， 设ACBDO，连接OM，则BEOM， 从而BE平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F 以OB、OC、OE为 , ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， 2 0,0 2 OC ， 1 0,0, 2 OE ， 2 ,0,0 2 OD ， 21 ,0, 244 OEOD OM ， 平面ACF即平面ACM，设其法向量为, ,nx y z， 则 0, 0, n OC n OM 即 0

13、, 20, y xz 令1x ，得 1,0, 2n ， 易知平面ACD的一个法向量为0,0,1m， 26 cos, 33 m n m n m n . 因为二面角FACD为锐二面角，故所求余弦值为 6 3 19 （）由题意可知 22 2, 5. c ab 所以 22 5,1ab.所以椭圆C的方程为 2 2 1 5 x y. （）当直线l的斜率不存在时，此时MNx轴.设1,0D，直线5x 与x轴相交于 点G，易得点3,0E是点1,0D和点5,0G的中点，又因为MDDN， 所以FGDN，所以直线 /FN x轴. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 10yk xk 1122 ,M x yN x y

14、. 因为点3,0E，所以直线ME的方程为 1 1 3 3 y yx x . 令5x ，所以 11 11 2 53 33 F yy y xx . 由 22 1 , 55 yk x xy 消去y得 2222 1 510510kxk xk.显然 0 恒成立. 所以 2 2 1212 22 51 10 ,. 5151 k k xxx x kk 因为 211211 1 22 111 3213212 333 F yxyk xxk xy yyy xxx 2 2 22 1212 11 51 10 35 5151 35 33 k k k kk k x xxx xx 222 2 1 51 651 0 513 kk

15、kk kx ， 所以 2F yy.所以直线/FN x轴.综上所述，所以直线/FN x轴. 20 （1）当5n或6n时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 5 16 ； （2）见解 （1）将有 3个坑需要补种表示成 n的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值 时有 3 个坑要补播种的概率最大 （2）n4 时，X的所有可能的取值为 0，1，2，3，4分 别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可 （1）对一个坑而言，要补播种的概率 33 01 33 111 222 PCC ， 有 3 个坑要补播种的概率为 3 1 2 n n C . 欲使 3 1 2 n n C 最

16、大，只需 1 33 1 1 33 1 11 22 11 22 nn nn nn nn CC CC ， 解得56n，因为 * nN，所以 5,6,n 当5n时， 5 3 5 15 216 C ；当6n时， 6 3 6 15 216 C ； 所以当5n或6n时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 5 16 . （2）由已知，X的可能取值为 0，1，2，3，4. 1 4, 2 XB ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X的数学期望 1 42 2 EX . 21（1）证明：当2m时， 1 ( )sinln1 2 f xxxx， 11 (

17、 )1cos 2 fxx x . 当(0, )x时，( )fx 为增函数，且 1333 10 344 f ， 31 ( )0 2 f ，( )fx 在(0, )上有唯一零点； 当 ,)x时， 11 ( )1cos 2 fxx x 1111 10 22x 厖， ( )fx 在 ,)上没有零点. 综上知，( )fx 在(0,)上有唯一零点. （2）证明：不妨设 12 0xx，由 12 f xf x得 111 1 sinln1 22 m xxx 222 1 sinln1 22 m xxx， 212121 1 lnlnsinsin 22 m xxxxxx. 设( )sing xxx，则( )1 cos

18、0g xx ，故( )g x 在(0,)为增函数， 2211 sinsinxxxx，从而 2121 sinsinxxxx， 21 lnln 2 m xx 212121 11 sinsin 22 xxxxxx， 21 21 lnln xx m xx ， 下面证明： 21 12 21 lnln xx x x xx . 令 2 1 x t x ，则1t ，即证明 1 ln t t t ，只要证明 1 ln0 t t t .（*） 设 1 ( )ln t h tt t ，则 2 1 ( )0 2 t h t t t ，( )h t在(1,)单调递减. 当1t 时，( )(1)0h th，从而（*）得证

19、，即 21 12 21 lnln xx x x xx . 12 mx x，即 2 12 x xm. 22.（1）曲线 C: 2 6 cos，将cos ,sinxy.代入得 x2+y2-6x0 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y29. 直线 l: 2 1 x yt ，(t 为参数)，所以 x2，故直线 l 的极坐标方程为cos25 分 （2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得 22 ( cossin)( sin1)9tt 即 2 2 (cossin)70tt 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 121 2 2(cossin),7tttt 因为 22 2222 12121 2

20、 ()24(cossin)144sin21814PAPBttttt t 当sin21时取等号，所以 22 PAPB的最小值为 14.-10 分 22解：（1） 依题意，直线 1 l的直角坐标方程为 3 3 yx， 2 l的直角坐标方程为 3yx 2 分 由=2 3cos2sin得 2=2 3 cos 2 sin， 因为 222, cos,sinxyxy，3 分 所以 22 (3)(1)4xy， 4 分 所以曲线C的参数方程为 32cos 12sin x y （为参数）5 分 （2）联立6 =2 3cos2sin 得 1 4OA，6 分 同理， 2 2 3OB7 分 又 6 AOB ，8 分 所以 111 sin4 2 32 3 222 AOB SOA OBAOB ，9 分 即AOB的面积为2 3 10 分