考研高数总复习第九章欧几里得空间第七节(讲解)课件.pptx
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- 考研 高数总 复习 第九 欧几里得 空间 第七 讲解 课件
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1、在解析几何中,两个点 和 间的距离等于向量 -的长度.在欧氏空间中我们同样可引入 不难证明距离的三条基本性质:在中学所学几何中知道一个点到一个平面(或一条直线)上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量的距离也是以“垂线最短”.先设一个子空间 W,它是由向量 1,2,k所生成,即 W=L(1,2,k).说一个向量 垂直于子空间 W,就是指向量 垂直于 W 中任何一个向量.容易验证 垂直于 W 的充分必要条件是 垂直于每个i(i=1,2,k).现在来证明设 是给定的一向量,是 W 中的向量,且满足 -垂直于 W.要证明 到 W 中各向量的距离以垂线最短,就是要证明,对
2、 W 中任一向量,有|-|-|.我们可以画出下面的示意图:-W 图 9-2-=(-)+(-).因 W 是子空间,W,W,则 -W.故 -垂直于-.由勾股定理,有|-|2+|-|2=|-|2,故|-|-|.上述几何事实可以用来解决一些实际问题.其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.先看下面的例子.已知某种材料在生产过程中的废品率 y与某种化学成分 x 有关.下列表中记载了某工厂生产中 y 与相应的 x 的几次数值:y()1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35x()3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2我们想找出 y 对 x 的一个近似公式.把表中数值画出
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