矩阵行列式复习课件.ppt

1、 二、三阶行列式二、三阶行列式三阶行列式三阶行列式二阶行列式二阶行列式引入记号引入记号11122122,aaaa称为二阶行列式，它代表数称为二阶行列式，它代表数11221221,a aa a 即即1112112212212122aaa aa aaa对角线法则对角线法则11122122aaaa 1122a a1221a a 引入记号引入记号111213212223313233aaaaaaaaa，称为，称为三阶行列式三阶行列式，即，即111213212223112233122331132132313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa132231122133112332a a a

2、a a aa a a对角线法则对角线法则333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.111212122212nnnnnnaaaaaaaaa DT D11121naaa21222naaa12nnnnaaa称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式.DTD行列式的性质行列式的性质 互换行列式的任意两行（列）互换行列式的任意两行（列）,行列式变号行列式变号.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列

3、式中行与列具有同等的地位,因此行列式因此行列式的性质凡是对的性质凡是对行行成立的对成立的对列列也同样成立也同样成立.用用 表示行列式表示行列式 的第的第 行，用行，用 表示表示 的第的第 列。则列。则 表示交换表示交换 的第的第 行和第行和第 行，行，表示交换表示交换 的第的第 列和第列和第 列。列。irDiDjjcijjirr Djicc Dij例如例如57126685382536156732rr 57126685321cc 825361567 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都有一个公因子有一个公因子 ，则可以把公因子，则可以把公因子 提到行列提到行列式记

4、号之外，即有式记号之外，即有kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 推论推论 如果行列式中有两行（列）对应元素完如果行列式中有两行（列）对应元素完全相同，则此行列式为零全相同，则此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD 用数用数 乘以行列式乘以行列式 等于等于 中某一行（列）中某一行（列）所有元素同乘以数所有元素同乘以数 。kkDD例如：例如：111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaakkakk11121321222

5、3312333aaaaaaaakkak 推论推论3 3：若行列式若行列式 D 的某行的某行(列列)元素全为零，则元素全为零，则 D=0。0002130124推论推论2 2：若行列式若行列式D中有两行中有两行(列列)元素成比例，元素成比例，则则 D=0。例如例如例如例如注意：做题时容易忽略注意：做题时容易忽略。04102094251性质性质4 4若行列式若行列式D的第的第i行（列）各元素都是两行（列）各元素都是两数之和：数之和：，则行列式，则行列式 可可分解为两个行列式分解为两个行列式 与与 的和，即的和，即),2,1(njcbaijijijDDD121211112111121111211221

6、21212iiiniiinnnnnnnnniiinnnnnnnniiinbbbbbaaaaaaaaaaaaaaaaaacccbccc DDD例如：例如：3333abca b ca b cabc abccabca bbcaabbca bbcacca bcabcacabcabababcabcbcabcacabcabcabc()328应有 个0 0性质性质5将行列式将行列式D的某一行（列）各元素的的某一行（列）各元素的k倍倍加到另一行加到另一行(列列)对应的元素上去，行列式的值不对应的元素上去，行列式的值不变变11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa111111212

7、2221()()()ijjnijjnijnninjnjnnaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如行列式的计算行列式的计算计算行列式计算行列式常用方法常用方法：利用运算把行列式：利用运算把行列式化为上三角行列式，从而得到行列式的值化为上三角行列式，从而得到行列式的值jikrr 例例1 计算行列式计算行列式1533201131124131D 解解1533010550161011021911 1533021150161011021911 D21r2r 31r3r 41r4r 1335011250111016011921 13350112500160015 13350112500160

8、0011 55 24cc43rr 32r11r 43rr 余子式与代数余子式余子式与代数余子式 在在n阶行列式阶行列式 中，划去元素中，划去元素 所在的第所在的第i行和第行和第j列列后得到的后得到的n-1阶行列式称为元素阶行列式称为元素 的的余子余子式式，记作，记作 。ijaijaijDa ijM叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式。ija 1ijijijAM 记记 ，例如例如111213212223313233aaaDaaaaaa222311113233aaAMaa1112233132aaMaa2323AM 行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则定理定理 行列式等于它的任一行

9、（列）各元素与其行列式等于它的任一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即1112112112,1,2,nniiinikinnkknnaaaaaaaaDAaain1112112112,1,2,或nnnnnnkjkjkjjnjaaaaDaaa Aaajan11a注：利用该定理可把注：利用该定理可把n阶行列式化为阶行列式化为n-1阶行阶行 列式计算。列式计算。111122233213322313aaaaDaaaaa212311131113122232313331332123aaaaaaaaaaaaaaa 按第二列按第二列展开展开121222223232aAaAaA

10、例如例如111213212223313233Daaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa按第一行按第一行展开展开例例 计算计算3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 利用展开法则计算行列式利用展开法则计算行列式0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 12rr 5028 40 1123131122231101230105000例例.计算计算51123131122231101230122110D解：解：5

11、 212313122(1)521101301 5D53rr1424013017205211021301rrrr0135 172211 170 线性变换线性变换 定义定义 已知已知 个数个数 若变量若变量 能用变量能用变量 线性地表示，线性地表示，即即nm(1,2,;1,2,),ija im jnmxxx,21nyyy,21.,22112222121212121111nmnmmmnnnnyayayaxyayayaxyayayax)(ijaAmxxx,21nyyy,21称之为从变量称之为从变量 到变量到变量 的的线性线性变换变换，其中，其中 称为系数矩阵。称为系数矩阵。例如例如 线性方程组线性方程

12、组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若记若记,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxxbAx 则方程组可以简记为则方程组可以简记为,21mbbbb 矩阵乘法的应用：可以把复杂的问题简化矩阵乘法的应用：可以把复杂的问题简化再例如再例如 若已知线性变换若已知线性变换.,22112222121212121111nmnmmmnnnnyayayaxyayayaxyayayax.,22112222121212121111snsnnnsssszbzbzbyzbzbzbyzbzbzby求求 到到 的线性变换。的

13、线性变换。mxxx,21szzz,21分析：分析：如果直接代入很麻烦，若记如果直接代入很麻烦，若记,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,212222111211nsnnssbbbbbbbbbB,21mxxxxAyx 则这两个线性变换可以简记为则这两个线性变换可以简记为,21nyyyy,21szzzzBzy 则则 到到 变换为变换为zxzABBzAAyx)()(求出求出AB即可。即可。解：解：例例设设0100,00aaaA求求 （其中（其中k是正整数）。是正整数）。kA22220200,00aaaaA设设1000,00kkkkkakaaaA则则111110010(1)000

14、000000000kkkkkkkkkkakaaakaaaaaaaAA A100000kkkkkakaaaA故故例例 已知矩阵已知矩阵1 1(1,2,3),(1,)2 3BC，又矩阵又矩阵A=BTC，TTTTTTT()()()()()()nAB C B CB CBCBCBCBC又又T111123233CB 1T1111232332133312nnnAB C解：解：利用矩阵乘法满足结合律利用矩阵乘法满足结合律求求An。对于对于n阶方阵阶方阵 ，其行列式，其行列式 的各个元素的各个元素 的代数余子式的代数余子式 所构成的如下方阵所构成的如下方阵)(ijaAAdetijAnnnnnnAAAAAAAAA

15、212221212111*A称为方阵称为方阵A的的伴随矩阵伴随矩阵。重要性质重要性质：EAAAAA)(det*113113det1111002011011A 112131122232132333022114112AAAAAAAAA ，113111011A例例 ，判断，判断A是否可逆是否可逆,若可逆求若可逆求A-1。解：解：A可逆可逆。102211142112A 注意注意A*中元素的排序，中元素的排序，Aij前面的正负号；前面的正负号；注：注：可验证结论是否正确；可验证结论是否正确；此方法常用于二、三阶方阵的求逆。此方法常用于二、三阶方阵的求逆。例例已知已知三三阶矩阵阶矩阵A的行列式的行列式 ，

16、则，则2detA)2det(*1AA解解EAAA)(det*由由 ，得，得 ，所以，所以1*2AA1*)(detAAA，所以，所以)3det()4det(111AAA)2det(*1AA227)(det)3(13A线性方程组的有关概念线性方程组的有关概念Cramer法则法则 线性方程组线性方程组利用逆矩阵求解线性方程组利用逆矩阵求解线性方程组线性方程组的消元法线性方程组的消元法代表代表n个个未知数未知数；称为称为i行行j列的列的系数系数；11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式

17、为一、线性方程组的有关概念一、线性方程组的有关概念nxxx,2112,mb bbija或简写为或简写为1(1,2,)nijjija xbim 称为称为常数项常数项或或右端项。右端项。其中其中1 1.齐次与非齐次齐次与非齐次 若常数项若常数项b1=b2=bm=0，则称方程组为，则称方程组为齐次线齐次线性方程组性方程组。若若b1，b2，bm不全为不全为0，则称方程组为，则称方程组为非齐非齐次线性方程组次线性方程组。2.解、有解、无解解、有解、无解 若线性方程组的解存在，则称它是若线性方程组的解存在，则称它是有解有解的或的或相容的，否则称为相容的，否则称为无解无解(或不相容，或矛盾的或不相容，或矛盾

18、的)。若取未知数若取未知数 代入方代入方程组后各方程为恒等式，则程组后各方程为恒等式，则 是是方程方程组的组的解解。1122,nnxc xcxc12,nc cc3.通解、同解通解、同解线性方程组的解的全体称为解集合线性方程组的解的全体称为解集合(可能是空集可能是空集)。能代表解集合中任一元素的表达式称为能代表解集合中任一元素的表达式称为通解通解或或一般解。一般解。如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是们是同解同解的。的。4.零解与非零解零解与非零解 齐次线性方程组必有解，因为齐次线性方程组必有解，因为x1=x2=xn=0就就是它的解，称之为是它的解

19、，称之为零解零解。如果有一组不全为零的数如果有一组不全为零的数 是齐次方是齐次方程组的解程组的解，则称之为，则称之为非零解非零解。12,nc cc11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式的系数行列式 ，则方程组有惟一，则方程组有惟一解解0ijDa()(1,2,)jjDxjnD 其中其中111,111,11()1,1,1jjnjnn jnn jnnaabaaDaabaa 第第 j 列列二、二、Cramer法则法则例例1 1 用用Cramer法则解方程组法则解方程组.0674,

20、522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 276740212560391518)1(D,81 6701215060911582)2(D,108 06041252069311812)3(D,27 0741512090318512)4(D,27,32781)1(1DDx,427108)2(2DDx,12727)3(3DDx.12727)4(4DDx齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的

21、相关定理11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x的系数行列式的系数行列式 D00，则该方程组，则该方程组只有零解只有零解。定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组推论：推论：若齐次线性方程组若齐次线性方程组(见上见上)有非零解，则系数行有非零解，则系数行列式列式 D=0。(系数行列式系数行列式 D=0是齐次线性方程组有是齐次线性方程组有非零解的充要条件非零解的充要条件)证证 易知易知 ，故，故()0jD()0(1,2,)jjDxjnD证毕证毕 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非

22、零解？有非零解？例例2 2 问问 取何值时，齐次线性方程组取何值时，齐次线性方程组 解解由定理的推论知，该线性方程组系数行列由定理的推论知，该线性方程组系数行列式为式为0，即，即 111132421D12cc 13)1(cc001121232312121323)1(231)1)(32()12)(3(265230)2)(3()65(2所以所以 或或 时时,齐次方程组有非零解齐次方程组有非零解.20 ,3 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若记若记,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxxbAx 则

23、方程组可以简记为则方程组可以简记为,21mbbbb三、利用逆矩阵求解线性方程组三、利用逆矩阵求解线性方程组 对于对于n个方程个方程n个未知数的线性方程组个未知数的线性方程组 ，若若 ，则有，则有Axb det0A bAx1其中其中 ，.nnijaAT21nbbbb分析分析nnnnnnnbbbAAAAAAAAA212122212121111det1AbAx所以所以)(det12211nnjjjjbAbAbAxAnxxx21nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121,221,22111,111,111)()(det12211nnjjjjbAbAbAxADDj)(C

24、ramer法则法则例例3 3利用逆矩阵求解线性方程组利用逆矩阵求解线性方程组3252423321321321xxxxxxxxx解解令令112211123A321xxxx354b所以有所以有 ,bAx 又因为又因为 ，所以，所以08detAbAx1571753311811A可求得可求得所以所以321354571753311811bAx四、线性方程组的消元法四、线性方程组的消元法非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组一、非齐次线性方程组一、非齐次线性方程组 ：系数矩阵系数矩阵为为 ijm nAa增广矩阵增广矩阵为为 Axb11112211211222221122nnnnmmm

25、nnma xaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)11121112Anmmmnmaaabaaab(2)这里，非齐次线性方程组（这里，非齐次线性方程组（1）和增广矩阵）和增广矩阵 是是一一对应的。一一对应的。A从求解线性方程组的消元法知消元过程有：从求解线性方程组的消元法知消元过程有：交换某两个方程的位置；交换某两个方程的位置；用一个非零的数乘某一个方程；用一个非零的数乘某一个方程；某一方程的若干倍加到另一个方程上去。某一方程的若干倍加到另一个方程上去。我们可以用矩阵的我们可以用矩阵的初等行变换初等行变换来求解线性方程组。来求解线性方程组。非非Axb增广矩阵A新增广矩阵BBxb同解方程组同

26、解方程组定理定理：对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组(1)，有，有 当当 时，时，(1)无解无解;1rankArankA当当 时，时，(1)有惟一解有惟一解;2rankArankAn当当 时，时，(1)有无穷多解有无穷多解.3rankArankArn推论推论：Ax=b 有解有解 ArankArank二、齐次线性方程组二、齐次线性方程组 Ax=011 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax齐次线性方程组（齐次线性方程组（6）可看作方程组（）可看作方程组（1）的特例，此时）的特例，此时 ArankArank因此恒有解，把

27、定理用于（因此恒有解，把定理用于（6）得）得(6)定理：定理：对于齐次线性方程组（对于齐次线性方程组（6），有），有1当当 时，（时，（6）只有零解）只有零解rankAn2当当 时，（时，（6）有无穷多解）有无穷多解,通解中含有通解中含有nr 个自由变量。个自由变量。rankArn推论：推论：齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解0 Ax rankAn例例6 6当当取何值时，线性方程组取何值时，线性方程组1231231233 2 1 3133xxxxxxxxx无解、有惟一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求无解、有惟一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求通解。通解。解：解：系数行列式为系数行列式为3121231211110113133333D123120210110330112211133111111 于是（于是（1）当）当 且且 时，方程组有惟一解时，方程组有惟一解;1（2）当）当=0时，对时，对 进行初等行变换进行初等行变换A31201011A01100110303300032A3rankArank方程组无解。方程组无解。0（3）当）当=1时，时，41211011A10110123614300002A3rankArank方程组有无穷多解，且通解为方程组有无穷多解，且通解为123132 xkxkkRxk