微分方程模型—传染病课件.ppt

1、引言引言5.1 传染病模型传染病模型5.4 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除（房室模型）（房室模型）5.6 人口预测和控制人口预测和控制 微分方程模型微分方程模型May.05,2003 a disease that has rocked Asian markets,ruined the tourist trade of an entire region,nearly bankrupted airlines and spread panic through some of the worlds largest countries.问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分

2、析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防控制传染病蔓延预防控制传染病蔓延5.1 传染病模型传染病模型三类人三类人已感染者已感染者(Infective,病人病人)未感染者未感染者(Susceptible，易感染者，易感染者)移出者移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等，治愈免疫，隔离，死亡等)已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 MalthusMalthus模型模型假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不

3、能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?短期预测模型短期预测模型sidtdi1)()(titsLogisticLogistic模型（模型（SISI模型）模型）区分区分已感染者已感染者(infective)和未感染者和未感染者(易感染者易感染者susceptible)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例比例分别为分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致

4、病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率AIDS等等teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi1/2tmii010t2111ln01iitm时，tm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm 1itLogistic 模型所有人被感染所有人被感染?t=tm,di/dt 最大最大感染无治愈模型感染无治愈模型LogisticLogistic模型模型SIS模型模型传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设伤风、伤风、痢疾等痢疾等3）病人

5、每天治愈的）病人每天治愈的比例比例为为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的有每个病人的有效接触人数，称为效接触人数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi有治愈无免疫模型有治愈无免疫模型Susceptible Infective SusceptibleSIS的解析解()0()000(1)(1)(1)()1ttiei ei tiit 试试看：解析解怎样求？试试看：解析解怎样求？dsolve(Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y,y(0)=i0,t)1,01,11)(i

6、)11(iidtdiSIS模型模型i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的人数不超过病人数人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(思考：思考：Logistic模型模型(SI模型模型)如何看作如何看作SIS模型的特例？模型的特例？idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 0SIR模型模型传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移出者移出者肝炎、肝炎、SARS等等假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的比例分别

7、为出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率）病人的日接触率 ,日日治愈率治愈率,接触数接触数 =/建模建模1)()()(trtits需建立需建立 的两个方程的两个方程)(),(),(trtsti有治愈有免疫模型有治愈有免疫模型Susceptible Infective RemovedttNittitNstittiN)()()()()(SIR模型模型很小）通常000)0(1rrsi无法求出无法求出 的解析解！的解析解！)(),(tsti在相平面在相平面 上上研究解的性质研究解的性质is ttitNststtsN)()()()(00)0(,)0(ssiisidtdsisidt

8、di思考：思考：r(t)的方程？的方程？R0=S/=S表示平均每表示平均每个病人总传播人数。个病人总传播人数。R01/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0ssss00lnlnSIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01-1/1000ris 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫疫情实证分析(Kermack,P143图)0022022202221000 0,1(1)11)2(),2()2

9、11)2,()rrdsdrdssiisss edtdtdrdrsirrs edtdrrrrsrdtdrr ttdtschsss ith 1时,（解得再求导得其中（19041905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟疫，平均每周死亡1.8万人。r-孟买死亡人数。SARS疫情的实证分析 与Kermack同样的方法 王铎,赵宵飞.SARS疫情的实证分析和预测J.北京大学学报(医学版),2003,5(S):72-74.一句话小结 不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同；不能求得解析解的方程仍可用相轨线办法分析解的性质。进一步的问题 考虑出生和死亡因素的传染病模型 考虑潜伏期的

10、传染病模型SEIR 考虑被动免疫的传染病模型MSIR 考虑随机接触率的传染病模型SSIR 参考http:/en.wikipedia.org/wiki/Epidemic_model补充习题1.理论证明理论证明P143第第13行行。2.在在SIR 模型中考虑出生与死亡的因素。假模型中考虑出生与死亡的因素。假设全体人群以相同出生率生育婴儿，且婴设全体人群以相同出生率生育婴儿，且婴儿为易感人群。死亡率与出生率相等，从儿为易感人群。死亡率与出生率相等，从而人群总数不变。试建立数学模型描述疾而人群总数不变。试建立数学模型描述疾病的流行特征，并分析传染病不蔓延的条病的流行特征，并分析传染病不蔓延的条件。件。

11、房室系统的概念 二房室模型的建立 模型求解 不同给药方式分析 参数估计技巧 进一步推广5.4 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除（药物动力学之房室模型）（药物动力学之房室模型）药物进入机体形成药物进入机体形成血药浓度血药浓度(单位体积血液的药物量单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计给药方案设计 药物在体内吸收、分布和排除过程药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学药物动力学 建立建立房室模型房室模型(Compartmental Models)房室房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布分布(血药浓

12、度为常数血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移，在房室间按一定规律转移 本节讨论本节讨论二室模型二室模型中心室中心室(心、肺、肾等心、肺、肾等)和周边室和周边室(四肢、肌肉等四肢、肌肉等)药物动力学之房室系统药物动力学之房室系统 中心室中心室周边室周边室给药给药排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假设模型假设 中心室中心室(1)和周边室和周边室(2),容积不变容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比与该室血药浓度成正比 药

13、物从体外进入中心室，在二室间药物从体外进入中心室，在二室间相互转移相互转移,从中心室排出体外从中心室排出体外模型建立模型建立2,1)()(iVtctxiii容积浓度药量2211122)(xkxktx复习：常系数齐次线性方程组通解(n=2)dxAxdt|0IA特征方程(1)两个不等的实数特征根,(2)两个相等的实数特征根=,(3)两个共轭复数特征根i,111222()()ttttxtA eB extA eB e111222()()()()ttxtAB t extAB t e111222()(cossin)()(cossin)ttxtAtBt extAtBt etttteBeAtceBeAtc22

14、2111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2,1),()(itcVtxiii线性常系数线性常系数非齐次方程非齐次方程对应齐次对应齐次方程通解方程通解模型建立模型建立可证明：特征可证明：特征方程有两个不方程有两个不相等负根相等负根(习习题题5)()()()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf几种常见的给药方式几种常见的给药方式1.快速静脉注射快速静脉注射t=0 瞬时注射剂量瞬时注射剂量D0的药物进入中心室的药

15、物进入中心室,血血药浓度立即为药浓度立即为D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc12(),()0c t c t 给药速率给药速率 f0(t)和初始条件和初始条件得到利用初始条件和原方程12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(,0)0(,)(2100ccktf2.恒速静脉滴注恒速静脉滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckV

16、Vckktct T,c1(t)和和 c2(t)按指数规律趋于零按指数规律趋于零(解的公式？解的公式？)药物以速率k0进入中心室0Tt tT以后，静脉注射停止TtckckVVtcckVVckktc,)()()(22111221222112113121方程21321012211301)()(VkkkkTcVkkTcT充分大，初值当)(2)(22)(1)(11)()(TtTtTtTteBeAtceBeAtc通解)(,)(,)()(,)()(132121202132121202132112101132112101kkVkkBkkVkkAkkVkkBkkVkkA常数0010 xkf)(0tx吸收室中心室

17、000010)0()(Dxxktx 011()0ktttc tAeBeEetkeDtx0100)(010001()k tf tD k e3.口服或肌肉注射口服或肌肉注射相当于药物相当于药物(剂量剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量吸收室药量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc12(0)0,(0)0,ccA B E书上错！错！怎样确定怎样确定A,B,E?C2(t)的公式？的公式？ttBeAetctc)()(11参数估计技巧参数估计技巧各种给药方式下的各种给药方式下的 c1(t),

18、c2(t)取决于参数取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射快速静脉注射D0,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大设t,由较大的由较大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A,)(,1iitct由较小的由较小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B,)(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101为什么不为什么不4个参个参数一起拟合？数一起拟合？211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk

19、进入中心室的药物全部排除进入中心室的药物全部排除参数估计技巧参数估计技巧房室模型建模小结 分析各房室的关联；建立线性微分方程组模型；写出微分方程组的通解；用初始条件和代入方程求得特解；用观测数据估计模型参数 参数估计可用分解技巧，简化计算，使结参数估计可用分解技巧，简化计算，使结果更可靠。果更可靠。进一步的问题 多房室系统模型 非线性房室模型 随机房室模型 房室模型在其他领域的应用 其他注射方式下的参数估计问题(思考：恒速静脉滴注情形的参数估计技巧？思考：恒速静脉滴注情形的参数估计技巧？)参考阅读 http:/ 周晓芳,陈小全,周鲁,生理房室模型药物动力学的研究进展,预防医学情报杂志 2002

20、年06期 陈增敬,关于血浆中放射性钙C47浓度的计算公式,数理统计与应用概率，1995年 10卷 3期补充习题补充习题3给出给出P155-156口服或肌肉注射情形下二房室口服或肌肉注射情形下二房室模型的解。模型的解。提示：提示：tktttkttFeeBeAtCEeeBeAtC0101222111)()(，补充习题补充习题4在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，安大略湖不仅接受伊利湖来的水，的下游，安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水，已知流入安还要接受非伊利湖流入的水，已知流入安大略的水有大略的水有 5/6 是伊利湖流出的。试建模是伊

21、利湖流出的。试建模描述这两个湖的污染情况。描述这两个湖的污染情况。假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污流入伊利湖和安大略湖的所有污染都染都 暂时被停止了。试计算把安大略净化暂时被停止了。试计算把安大略净化到到 50%以及以及 5%所需要的时间。所需要的时间。人口模型介绍 PDE建模 人口预测 人口控制与计划生育 几个人口发展指数 参考文献5.6 人口预测和控制人口预测和控制(偏微分方程模型偏微分方程模型)研究人口模型的意义 人口控制 人口系统工程 社会保障 寿险精算 种群生态学人口模型概述 宏观模型:总人口,不考虑

22、年龄，Malthus模型,Logistic模型(第一章)微观模型：考虑年龄结构 1930s,Lotka 积分方程模型 1940s,Leslie差分方程模型(第七章)1960s,Verhulst偏微分方程模型 1970s,Pollard随机方程模型)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),(考虑年龄分布考虑年龄分布 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程的人口）年龄人口分布函数rtrF(),(人口密度函数),(trp人口总数)(tN最高年龄)(mr人口人口PDE建模和预测建模和预测),(),(trptrtprp(,)(,)(,)(,)(,)

23、(,),p rdr tdtp r tdtp r tdtp r tr t p r t dtdtdr人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp),(,tr年龄 人数(密度)死亡人数内),(dtttdtdr一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(,)p rdr tdt dr,tdtrdr年龄人数(密度)为什么没有考虑出生率？为什么没有考虑出生率？0),(),0(0),()0,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口预测人口预测已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）出生率（控制人口手段）出生率（控制人口手段）0tr)(0rprt)(tfrt rt(,)()

24、r tr假设死亡率不变rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0解释解释：从现在t=0看，10年以后年龄r小于t=10岁的人的密度由将来的出生率决定；年龄大于10岁的人的密度由现在的人口分布决定证明作为习题证明作为习题21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt出生率出生率f(t)的模型的模型性别比函数女性)(),(trk生育数女性)(),(trb育龄区间,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率（平总和生育率（平均

25、每个均每个育龄妇女生育胎数）育龄妇女生育胎数）h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口预测：发展方程人口预测：发展方程+出生率模型出生率模型0),(),0(0),()0,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp21()()()(,)2rrtf th r p r t dr简化mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/)()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口

26、总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t)计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高 时刻存活时刻存活的比例的比例补充习题5 验证验证P164(7)式为式为P163方程方程(5)的解的解。人口红利制造中国人口红利制造中国30年经济奇年经济奇迹迹人口问题造成中国人口问题造成中国70年的贫年的贫穷穷胡鞍钢胡鞍钢：“一对夫妇一个孩儿一对夫妇一个孩儿”该该结束了结束了“一对夫妇一个孩儿一对夫妇一个孩儿”该结束了该结束了 调整人口生育

27、政策势在必行调整人口生育政策势在必行 少子化少子化.妇女总和生育率的过快下降，明显低于正常的人口生育更替水平。在1995年前后我国0至14岁少儿人口绝对数达到了最高峰，大约为3.34亿人，2008年的时候减少到2.52亿人。老龄化老龄化。根据联合国人口署的预测，到2020年我国60岁以上人口将占到总人口的16.7%，2050年将进一步上升到31.1%，大大高于届时的世界平均水平(21.9%)。劳动人口缺乏劳动人口缺乏.15至59岁劳动人口大约在2015至2020年之间也会达到最高峰，大约9.23亿人，而后开始持续下降。到2050年，中国的15至59岁劳动年龄人口数大约要比印度少2.44亿人。“

28、一对夫妇一个孩儿一对夫妇一个孩儿”该结束了该结束了未来中国人口发展目标未来中国人口发展目标 1、保持少儿人口数量稳定的目标。少儿人口并不是减少越多、越快就越好，而是应该保持在一定规模上。2、保持劳动年龄人口稳定的目标。防止2020年之后的大幅度下降，特别是防止15-29岁青年型劳动人口的大幅度下降。3、保持总人口规模。防止2030年之后总人口规模的大幅度下降。参考阅读 李永胜,人口预测中的模型选择与参数认定,财经科学 2004年02期 张启敏,聂赞坎,一类随机人口发展系统的指数稳定性,控制理论与应用 2004年06期 李冬梅,刘维奇,保险系统损失分布模型新探,系统工程 2004年02期 王静龙,陆俊,上海市年度保险费收入预测的数学模型及分析,上海统计,1999年 9期 胡鞍钢：一对夫妇一个孩儿该结束了胡鞍钢：一对夫妇一个孩儿该结束了，经济参考报，2009年11月26日建模竞赛 CUMCM2007A:中国人口增长预测问题 http:/