几何概型复习-通用课件.ppt

1、第3课时 几何概型1几何概型的定义几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成该事件区域的 (或或 )成成比例，则称这样的概率模型为几何概比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为率模型，简称为 基础知识梳理基础知识梳理长度长度面积面积体积体积几何概型几何概型2几何概型的概率公式几何概型的概率公式在几何概型中，事件在几何概型中，事件A的概率的的概率的计算公式如下：计算公式如下：基础知识梳理基础知识梳理P(A)=构成事件构成事件A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面

2、积或体积）基础知识梳理基础知识梳理古典概型与几何概型的区古典概型与几何概型的区别？别？【思考思考提示提示】古典概型古典概型与几何概型中基本事件发生的可与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个要求基本事件有无限个1在区间在区间1,3上任取一数，则这上任取一数，则这个数大于等于个数大于等于1.5的概率为的概率为()A0.25B0.5C0.6 D0.75答案：答案：D三基能力强化三基能力强化2如图，向圆内投镖，如果每如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域次都投入圆

3、内，那么投中正方形区域的概率为的概率为()答案：答案：A三基能力强化三基能力强化3如图，矩形长为如图，矩形长为6，宽为，宽为4，在矩形内随机地撒在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为约为()A7.68 B16.32C17.32 D8.68答案：答案：B三基能力强化三基能力强化4(教材习题改编教材习题改编)如图，有一杯如图，有一杯1 L的水，其中含有的水，其中含有1个细菌，用一个小杯个细菌，用一个小杯从这杯水中取出从这杯水中取出0.1 L水，则小杯水中含水，

4、则小杯水中含有这个细菌的概率为有这个细菌的概率为_答案：答案：0.1三基能力强化三基能力强化5.(2009年高考辽宁卷改编年高考辽宁卷改编)ABCD为长方形，为长方形，AB2，BC1，O为为AB的的中点，在长方形中点，在长方形ABCD内随机取一点，内随机取一点，取到的点到取到的点到O的距离小于的距离小于1的概率为的概率为_三基能力强化三基能力强化1如果试验的结果构成的区域的几何如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为度量可用长度表示，则其概率的计算公式为课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一 与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型2将每个基本事件理解为从某将每个基本

5、事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解何概型来求解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练公交车站点每隔公交车站点每隔15分钟有一辆汽分钟有一辆汽车通过，乘客到达站点的任一时刻是车通过，乘客到达站点的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过等可能的，求乘客候车不超过3分钟分钟的概率的概率【思

6、路点拨思路点拨】在任一时刻到达在任一时刻到达站点都是一个基本事件，基本事件有站点都是一个基本事件，基本事件有无限个又在任一时刻到达站点是等无限个又在任一时刻到达站点是等可能的，故是几何概型可能的，故是几何概型课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】这里的区域长度理解为这里的区域长度理解为“时间时间长度长度”，总长度为，总长度为15分钟，设事件分钟，设事件A候车候车时间不超过时间不超过3分钟分钟，则，则A的长度为的长度为3分分课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】解题时，首先要解题时，首先要判断是古典概型还是几何概型判断是古典概型还是几何概型“几几何概型何概型”的难点在于怎样把随机事件的难点在于怎

7、样把随机事件的总体和随机事件的总体和随机事件A都转化为与之对都转化为与之对应的区域的测度应的区域的测度课堂互动讲练课堂互动讲练1如果试验的结果所构成的区域的几何如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二与面积与面积(或体积或体积)有关的几何概有关的几何概型型2如果试验的结果所构成的区域的几何如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练已知已知|x|2，|y|2，点，点P的坐标

8、为的坐标为(x，y)(1)求当求当x，yR时，时，P满足满足(x2)2(y2)24的概率；的概率；(2)求当求当x，yZ时，时，P满足满足(x2)2(y2)24的概率的概率【思路点拨思路点拨】本题第本题第(1)问为几问为几何概型，可采用数形结合的思想画出何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第求解，第(2)问为古典概型只需分别求问为古典概型只需分别求出出|x|2，|y|2内的点以及内的点以及(x2)2(y2)24的点的个数即可的点的个数即可课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)如图，点如图，点P所在的区域所在的区域为正方形为正方形

9、ABCD的内部的内部(含边界含边界)，满足，满足(x2)2(y2)24的点的区域为以的点的区域为以(2,2)为为圆心，圆心，2为半径的圆面为半径的圆面(含边界含边界)课堂互动讲练课堂互动讲练(2)满足满足x，yZ，且，且|x|2，|y|2的点的点(x，y)有有25个，满足个，满足x，yZ，且，且(x2)2(y2)24的点的点(x，y)有有6个，个，所求的概率所求的概率课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】几何概型与古典概型的几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，其特点区别在于它的试验结果不是有限个，其特点是它的试验结果在一个区域内均匀分布，所是它的试验结果在一个区域内均匀分

10、布，所以几何概型的概率的大小与该事件所在区域以几何概型的概率的大小与该事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有的形状和位置无关，只与该区域的大小有关利用几何概型的概率公式关利用几何概型的概率公式P(A)求解思路一样，都属于求解思路一样，都属于“比例解法比例解法”课堂互动讲练课堂互动讲练例例2的条件不变，求当的条件不变，求当x，yR时，点时，点P(x，y)满足满足x2y24的概率的概率课堂互动讲练课堂互动讲练解：解：如图，当如图，当P所在的区域为正方所在的区域为正方形形ABCD的内部的内部(含边界含边界)，满足，满足x2+y24的点的区域为以原点为圆心，的点的区域为以原点为圆心，2为半径

11、为半径的圆的外部的圆的外部(含边界含边界)故所求概率故所求概率生活中的几何概型常见的有人生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、等车等问约会问题、船停码头、等车等问题，解决时要注意：题，解决时要注意：(1)要注意实际问题中的可能性要注意实际问题中的可能性的判断；的判断；课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三生活中的几何概型生活中的几何概型(2)将实际问题转化为几何概型中将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的对应的几何图形，利用几何图形的度量来求

12、随机事件的概率，根据实际度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域点，便可构造出度量区域课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)两人约定在两人约定在20 00到到21 00之间之间相见，并且先到者必须等迟到者相见，并且先到者必须等迟到者40分分钟方可离去，如果两人出发是各自独钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在立的，在20 00至至2

13、1 00各时刻相见各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率间内相见的概率【思路点拨思路点拨】两人不论谁先到都要等两人不论谁先到都要等课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】设两人分别于设两人分别于x时和时和y时到达约见时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，地点，要使两人能在约定时间范围内相见，两人到达约见地点所有时刻两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种的各种可能结果可用图中的单位正方形内可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻的所有时刻(x，

14、y)的各种可能结果可用图中的的各种可能结果可用图中的阴影部分阴影部分(包括边界包括边界)来表示来表示.8分分课堂互动讲练课堂互动讲练因此阴影部分与单位正方形的面积因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为的可能性的大小，也就是所求的概率为课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)甲、乙两艘轮船甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的如果甲船的停泊时间是等可能的如果

15、甲船的停泊时间是1小小时，乙船是时，乙船是2小时，求它们中的任何一小时，求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率艘都不需要等待码头空出的概率课堂互动讲练课堂互动讲练解：解：设甲、乙两船到达码头的时设甲、乙两船到达码头的时刻分别为刻分别为x，y，则，则0 x24,0y24.3分分两船不能会面，两船不能会面，必须甲比乙必须甲比乙早到早到1小时以上，即小时以上，即yx1，或者乙，或者乙比甲早到比甲早到2小时以上，即小时以上，即xy2，如，如图建立平面直角坐标系，则图建立平面直角坐标系，则(x，y)的的所有可能结果是边长为所有可能结果是边长为24的正方形，的正方形，而两船不可能会面的时间由图中阴影

16、而两船不可能会面的时间由图中阴影部分表示，记部分表示，记A表示表示“两船都不需等两船都不需等课堂互动讲练课堂互动讲练即它们中的任何一艘都不需等待即它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率为码头空出的概率为0.879.12分分课堂互动讲练课堂互动讲练1几何概型的两个特点：一是几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几何概型求解的是均等的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同概率问题和古典概型的思路

17、是相同的，同属于的，同属于“比例解法比例解法”即随机事件即随机事件A的概率可以用的概率可以用“事件事件A包含的基本事包含的基本事件所占的图形面积件所占的图形面积(体积、长度体积、长度)”与与“试验的基本事件所占的总面积试验的基本事件所占的总面积(总体总体积、长度积、长度)”之比来表示之比来表示规律方法总结规律方法总结2对于一个具体问题能否应用对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率，关键几何概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础数，建立适当的

18、坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域构成一个可度量区域规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄

19、的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早

20、点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情

21、我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们

22、谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的

23、情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时

24、光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明

25、白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而

26、对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老

27、吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水

28、电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭

29、。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂

30、的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相

31、处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩

32、这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓特务游戏。到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。老吴也有的时候去老李家里看京戏，他一边看着京戏一边嘴里还不停地哼哼着京戏。一天嘴里哼着京戏特别愉悦和快乐，

33、就是这样又过了几年。他们的孩子都出去有的工作了，有的到了外地上学去了。一年就是过年放假回来一个月，或者暑假才能回来看看。有的时候家里有了什么急事，他们才会请假来几天看看。到了改革开放的八十年代，老李的儿子在外地混得很好，有了一定的实力，就把一家人都接走了，到了廊坊买了大房子。刚开始老李住在大房子里还可以，可是过了没有多久就不喜欢说话了，一天也没有精神一样，总感觉生活没有一点意思。老石呢，也是退了休一天没有人说话了，就整天出去钓鱼，钓鱼自己又很少吃。但是新搬来的年轻人他就是看不惯，基本很少和这些年轻人来往。那些年轻人一点不安静，休息时不是喝酒划拳，就是唱卡拉OK，一折腾就是半夜。老石也不好说他们

34、什么。有一年他的孩子也把老石接到了外地，呆了半年多，老石实在难受就回来了。老赵的两个孩子都在上海打工也不回来了，他就在上海给他的孩子带孩子了。二零零五年，他们因为特别想当年的老邻居，他们的孩子就帮他们联系这些当年的老邻居，没有几个月他们联系好了，在当年的国庆节，他们终于在故地汉中见面了。一见面感觉彼此还是和当年一样的亲切，他们这几家人好好在西安玩了一周，然后就各自回家了，临走的时候他们还照了一张大合影，当做彼此的留念。又过了一年，老李去世了；老吴突然得了心脏病；老赵得了糖尿病。这两位老邻居知道他们自己的情况后，就在西安的郊区买了一块地，要求孩子们在他们死后就都埋在这里。二零一零年，老吴也走了，儿子小吴就把老吴的骨灰埋在了那里。现在老石、老赵还健在，他们常说，“我们以后也要团聚在那里，永远不会再分离！”这句话深深震撼着我，也许这就是我们现在这个时代所缺失的宝贵财富吧！