《最短路径问题》优课一等奖教学创新课件.pptx

1、1难点名称：1、将军饮马问题中通过作一个定点的对将同侧点转化为异侧点。2、搭桥建址问题中将两条平行线转化成一条直线。课题学习最短路径 如如图，牧马人图，牧马人从从A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题思考思考1：在直线：在直线l上是否存在一点上是否存在一点C,满足满足AC+BC的值的值最小？最小？实际问题ABl一、导入一、导入NoImageNoImage现在现在假设点假设点A,B分别是直线分别是直线l异侧异侧的两个点，如何在的两个

2、点，如何在l上找到上找到一个一个点点C，满足，满足AC+BC的值最小的值最小？解：连接解：连接AB,与直线与直线l相交于一点相交于一点C.C点就是所求作的点。点就是所求作的点。（二）联想基本模型（二）联想基本模型AlBC若点若点A、B分别是直线分别是直线l同侧同侧的两个点，又应该如何的两个点，又应该如何解决解决所走路径最短的问题？所走路径最短的问题？（三）难点突破（三）难点突破NoImage问题问题1：AlBNoImage（四）指导作法（四）指导作法ABlB C（1）作点作点B 关于直线关于直线l 的对称点的对称点B；（2）连接连接AB，与直线，与直线l 相交于点相交于点C,则点则点C 即为所

3、求即为所求你你能用所学的知识论证能用所学的知识论证AC+BC的值是最小的的值是最小的吗？吗？连接连接AC，BC，在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短NoImage思考思考2：ABlB C（五）论证结论（五）论证结论证明：如图，在直线证明：如图，在直线l 上任取一点上任取一点C(与点与点C 不重合不重合)，CB 根据垂直平分线的性质得：根据垂直平分线的性质得：BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BCC不共线的线段和最小值轴对称同侧点异侧点问题解决两点之间线段最短（六）形成解题思路（六）形成解题思路 变式：如图，变式：如图

4、，A和和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥桥MN.桥造在何处可使从桥造在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短（假定河的两最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）岸是平行的直线，桥要与河垂直）？MNabab.MN作法：作法：1、将点、将点B沿垂直的方向平移一个河沿垂直的方向平移一个河宽的距离到宽的距离到E2、连接、连接AE交河对岸于点交河对岸于点M则点则点M为建桥的位置，为建桥的位置，MN为所建的为所建的桥桥ab.MN.MN用所学的知识论证用所学的知识论证AM+MN+NB的值是最小的的值是最小的.要证明要证明AM+MN+NB是最小，只需证明是

5、最小，只需证明AM+MN+NBAM+MN+NB即可即可 不共线的线段和最小值轴对称同侧点异侧点问题解决两点之间线段最短平移形成解题思路形成解题思路三、拓展三、拓展（湖北咸宁）如图，（湖北咸宁）如图，P(m,n)是抛物线是抛物线 上任意一点，直线是上任意一点，直线是过点（过点（0，-2）且与）且与X轴平行的直线，过点轴平行的直线，过点P作直线作直线PHl,垂足为垂足为H。（2）对任意）对任意m，猜想，猜想OP与与PH的大小关系，并证明你的猜想；（的大小关系，并证明你的猜想；（OP=PH）（4）已知）已知M（1,2）试探究在该抛物线上是否存在点）试探究在该抛物线上是否存在点N，使得，使得MN+NO

6、取得最小取得最小值？若存在，求出点值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。的坐标；若不存在，请说明理由。1412 xyNoImageNoImage 不共线的线段和最小值轴对称 平移同侧点异侧点问题解决两点之间线段最短旋转形成解题思路 在变化的背景中剥离基本图形，抓住不变的核心特征，确定定点和定线，利用轴对称、平移、旋转等图形变换，把同侧点转化为异侧点，实现“折转直”，从而解决线段和最小值问题。ab.MN.MN用所学的知识论证用所学的知识论证AM+MN+NB的值是最小的的值是最小的.AM+MN+NBAM+MN+NBAM+NBAM+NBAM+MEAM+MEAM+MEAE要证明要证明AM+

7、MN+NB是最小，只需证明是最小，只需证明AM+MN+NBAM+MN+NB即可即可分析：分析：C抽象成ABl数学问题实际问题ABl三、解题价值与推广三、解题价值与推广（一）将军饮马历史背景（一）将军饮马历史背景这是古罗马著名的这是古罗马著名的“将军饮马将军饮马”问题，我国唐代诗人李颀的问题，我国唐代诗人李颀的古从军行古从军行“白日白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗句中就隐含这个问题，由于问题自身的趣味性、诗句中就隐含这个问题，由于问题自身的趣味性、实践性被引入人教版八年级教材。实践性被引入人教版八年级教材。BACPABABCMx=2M1、（、（2015年新疆）如图，直

8、线年新疆）如图，直线y=-3x+3与与x轴、轴、y轴分别交于点轴分别交于点A,B.抛物线抛物线y=a(x-2)2+k经过经过A,B两点并与两点并与x轴交于另一点轴交于另一点C,其顶点为其顶点为P.（3）抛物线的对称轴上是否存在一点）抛物线的对称轴上是否存在一点M,使使ABM的周长最小？若存在，求的周长最小？若存在，求ABM的周长；若不存在，请说明理由。的周长；若不存在，请说明理由。（三）中考链接（三）中考链接xyABCDoABxyoABAB 3xy CDCDAB2、（、（2017年乌鲁木齐）如图，点年乌鲁木齐）如图，点A（a,3),B（b,1）都在双曲线）都在双曲线 上上,点点C,D分别是分别是X轴，轴，y轴上的动点，则四边形轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为的周长最小值为（）（9，3）（3,1）