正弦定理(公开课)课件.ppt

1、5.9.1正弦定理正弦定理资中一中资中一中 黄勇黄勇问题问题:两个工程人员在野外作业两个工程人员在野外作业,在一条不知道宽度的湍在一条不知道宽度的湍急的大河边休息急的大河边休息.工程人员甲说工程人员甲说:河对岸有棵椰子树河对岸有棵椰子树.如果你能用测角仪和卷尺测出那棵椰子树到我们这里如果你能用测角仪和卷尺测出那棵椰子树到我们这里的距离的距离,回家以后我请你喝冰镇椰子汁回家以后我请你喝冰镇椰子汁.乙说乙说,那太好了那太好了,我喝定了我喝定了.分析分析:如图假设对岸的椰子树是如图假设对岸的椰子树是C点点.直线直线AB就是河岸的就是河岸的两点两点.我们现在的位置是我们现在的位置是A点点.沿这条河从沿

2、这条河从A点走点走30米到米到B点点.测得测得A=300,B=450 ,现在可以算出现在可以算出AC的长了的长了.已知在已知在ABC中，中，A=30，B=45，AB=30米米求求AC的长？的长？思考思考:如果你是乙你能喝到冰镇椰子汁吗如果你是乙你能喝到冰镇椰子汁吗?你该怎么测你该怎么测?v夹角的范围是：夹角的范围是：0 180 v判断向量夹角时两向量必须移至同一起点判断向量夹角时两向量必须移至同一起点1 1 、向量的数量积向量的数量积(1)、向量的夹角向量的夹角：|co sabab (2)、向量的数量积向量的数量积：(3)、数量积的运算律数量积的运算律：abba1cbcacba)(2BACAB

3、Ccba222cba 90BA(2)、边的关系：、边的关系：(3)、边角关系：、边角关系：2 2 、直角三角形中的边角关系直角三角形中的边角关系:(1)、角的关系：、角的关系：cBbAasin sincaA sincbB sin1sinCAacsinBbcsin.sinCcc CcBbAasinsinsin在等边三角形中在等边三角形中,这个这个等式成立等式成立吗吗?60sin160sin160sin1即即CcBbAasinsinsinABCC=1a=1b=1606060在等腰三角形中在等腰三角形中,这个这个等式成立等式成立吗吗?3aABCC=1b=13012030120sin330sin130

4、sin1此等式能推广到任意的锐角三角形此等式能推广到任意的锐角三角形、钝角钝角三角形三角形吗吗?即即CcBbAasinsinsin 怎么证明怎么证明 呢呢？作作锐角锐角三角形三角形 ABC 的外接圆的外接圆,O 为圆心为圆心.设圆设圆 O 的半径为的半径为 R.OCABabcD连接连接 CO 并延长，与圆交并延长，与圆交于点于点 D,再连接再连接 BD.DA则 所以，所以，a=CDsinD=2RsinA.证法一几何法证法一几何法.2sin,2sinRCcRBb同理，.2sinsinsinRCcBbAa RAa2sin同理可证在钝角三角形中上式也成立同理可证在钝角三角形中上式也成立1、当、当AB

5、C为锐角三角形时，如图为锐角三角形时，如图则则 的夹角为的夹角为_,的夹角为的夹角为_,的夹角为的夹角为_.j 与ACj 与ABj 与CB90O090A-090C-ACBabc)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACjAcCasinsin)90cos()90cos(AcCa即ABCBAC:则可得由向量加法的三角形法ABjCBACj)(即即ABjCBjACjCcAasinsin即即过过A作单位向量作单位向量 垂直垂直,jAC与j证法二证法二:向量法向量法CcBbsinsinCcBbAasinsinsin钝角三角形中又应钝角三角形中又应如何证明呢如何证明呢?CB如果我们过如果我们

6、过C作单位向作单位向量量j 垂直于垂直于 又能又能得到什么结果呢得到什么结果呢?jABCACB则则 的夹角为的夹角为_,的夹角为的夹角为_,的夹角为的夹角为_,j 与ACj 与ABj 与CB90O90AC 9090A2、当、当ABC为钝角三角形时不妨设为钝角三角形时不妨设 ，如图，如图CcBbAasinsinsin同样可证得此式对于锐角三角形、直角三角形、此式对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立钝角三角形均成立.过过A作单位向量作单位向量 垂直垂直,jAC与j公式公式变形变形:AaCcCcBbBbAasinsin;sinsin;sinsin1CBAcbasin:sin:sin:3在一个

7、三角形中在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等各边和它所对角的正弦的比相等 即即RCcBbAa2sinsinsin2 ARasin2BRbsin2CRcsin2（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角）已知两角和任一边，求其它两边和一角（4 4）作用）作用:（2）已知两边和其中一边的对角求另一边的）已知两边和其中一边的对角求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。对角，从而进一步求其它的边和角。例例1 在在 中，已知中，已知 求求b.ABC 30,45,10CAc解：解：且且CcBbsinsin 105)(180CAB30sin105sin10sinsinCBcb【分析】此题属于【分析】

8、此题属于“已知两角和其中一边，求其它两已知两角和其中一边，求其它两边和一角边和一角”的问题，先通过三角形内角和为的问题，先通过三角形内角和为180180求出求出角角B B，再利用正弦定理可求出边。，再利用正弦定理可求出边。6525如果要求保留两个如果要求保留两个有效数字即为例有效数字即为例1 1 1 1 、已知已知ABCABC三边三边a a、b b、c c所对角分别是所对角分别是A A、B B、C C且且 ABCABC是（是（）A A、锐角三角形、锐角三角形 B B、钝角三角形、钝角三角形 C C、直角三角形、直角三角形 D D、不能确定、不能确定 2 2、在在ABC中中,已知已知，则角则角=

9、3 3、在在ABCABC中，已知中，已知 求求c,c,b b 反馈练习：反馈练习：_2,45,3000aCACBA222sinsinsin2 sinbcB c c0015030 或31,2bc 1 1、正弦定理的内容正弦定理的内容:2 、正弦定理的证明方法正弦定理的证明方法:(1)几何法几何法 (2)向量法向量法课堂练习：课堂练习：P144、第、第1题题RCcBbAa2sinsinsin作作 业业 1 、P144 习题习题5.9 1 2 、思考、思考:（1）若）若acosAbcosB判断判断ABC的形状的形状.（2）用等积法证明正弦定理）用等积法证明正弦定理.（3）用正弦定理证明三角形面积公式）用正弦定理证明三角形面积公式.