2020届皖江名校高三理科数学八月联考试题卷（含答案）.pdf

1、皖江名校大八月联考数学皖江名校大八月联考数学 (理科理科) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 6 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合 A32 ,ln0xxBxxx1-3x2 ，则 AB A.3, 2, 1,0,1B.1,2 C.31xxD.12xx 2.已知复数 1 34 z i ，则下列说法正确的是 A.复数 z 的实部为 3B.复数 z 的虚部为 4 25 i C.复数 z 的共轭复数为 34 2525

2、 iD.复数的模为 1 3.椭圆 22 1 916 xy 的一个焦点坐标为 A.(5,0)B.(0,5)C.(7，0)D.(0,7) 4.已知 0.4 4 logm ， 0.4 4n ， 05 0.4p ，则 A. mnpB. mpnC.pnmD. npm 5.曲线 32 () x yxx e在 x1 处的切线方程为 A. y=7ex-5eB. y=7ex+9eC. y=3ex+5eD. y=3ex-5e 6.设等差数列 n a的前 n 项和为 Sn，若 a411，S1315，则 a2 A.18B.16C.14D.12 7.要得到函数2sin3yx 的图象，只需将函数sin3cos3yxx的图

3、象 A.向右平移 3 4 个单位长度B.向右平移 2 个单位长度 C.向左平移个 4 单位长度D.向左平移个 2 单位长度 8.若 5 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 9.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足，当 x0 时 f(x)ex-e x，则不等式 f(x2-2x)f(3)0 的解集为 A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-，-1)(3，+)D.(-，-3)(1，+) 10.过原点 O 作直线 l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n0 的垂线，垂足为 P，则 P 到直线 x-y+30 的

4、 距离的最大值为 A.2+1B.2+2C.2 2+1D.2 2+2 11.已知圆锥的母线长 l 为 4，侧面积为 S，体积为 V S ，则 V S 取得最大值时圆锥的侧面积为 A.2 2B.3 2C.6 2D.8 2 12.已知点 A 是双曲线 22 22 xy ab 1(a0，b0)的右顶点，若存在过点 N(3a，0)的直线与双 曲线的渐近线交于一点 M，使得AMN 是以点 M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的 离心率 A.存在最大值 3 2 4 B.存在最大值 2 3 3 C.存在最小值 3 2 4 D.存在最小值 2 3 3 第第卷卷 注意事项:第卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题

5、卡上书写作答，若在试题卷上作答，答 案无效 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第23 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上 13.已知向量a (2，3)，b (-1，m)，且a 与ab 垂直，则 m_。 14.已知所有项均为正数的等比数列 n a的前项和为 Sn，若 a11，S4a4+21，则公比 q _。 15.二项式 7 2 () 3 x x 的展开式中，x4的系数为_。 16.已知角 3 ( ,),(0,) 22 ，且满足 1 sin tan

6、 cos ，则_(用表示) 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写 在答题卡上的指定区域内 17.(本小题满分 12 分) 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 cos2C-cos2Bsin2A-sinAsinC (1)求角 B 的值; ()若ABC 的面积为3 3，b13，求 a+c 的值 18.(本小题满分 12 分) 如图所示的多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， EDFB，DE 1 2 BF，ABFB，FB平面 ABCD (I)设 BD 与 AC 的交点为 O，求证:OE平面 A

7、CF; ()求二面角 EAFC 的正弦值 19.(本小题满分 12 分) 抛物线 C:y22px(p0)的焦点是 F，直线 y2 与 C 的交点到 F 的距离等于 2. (1)求抛物线 C 的方程; ()一直线 l:xky+b(b1，k0)交 C 于 A，B 两点，其中点(b，k)在曲线(x-3)2-4y28 上，求 证:FA 与 FB 斜率之积为定值 20.(本小题满分 12 分) 设函数( )sin ,(0,) 2 f xaxx x ，a 为常数 (I)若函数 f(x)在(0， 2 )上是单调函数，求 a 的取值范围; ()当 a1 时，证明 3 1 ( ) 6 f xx 21.(本小题满

8、分 12 分) 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统 G 有 3 个电子元件组成，各个电子 元件能否正常工作的概率均为 1 2 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统 C 中有超 过一半的电子元件正常工作，则 G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为 500 元。 (1)求系统不需要维修的概率;， ()该电子产品共由 3 个系统 G 组成，设 E 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的 分布列与期望; ()为提高 G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件， 每个新元件正常工作的概率均为 p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则

9、 C 可 以正常工作，问:p 满足什么条件时，可以提高整个 G 系统的正常工作概率? 请考生从第 22、23 题中任选一题做答，并用 2 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方 框涂黑，按所涂题号进行评分;多涂、多答，按所涂的首题进行评分;不涂，按本选考题的首 题进行评分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为 2cos 1 cos2 x (为参数)，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为() 3 R (1)求曲线 C2的直角坐标方程; ()求曲线 C1与曲线 C2交点的直角坐标 23.

10、(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数( )124f xxx (1)求不等式 f(x)6 的解集; ()若( )10f xm恒成立，求实数 m 的取值范围 皖江名校大八月联考数学参考答案（理科）皖江名校大八月联考数学参考答案（理科） 题 号 题 号 123456789 10 11 12123456789 10 11 12 答 案 答 案 DCDBABCCAADBDCDBABCCAADB 1.【解析】 |12ABxx，故选 D. 2.【解析】 13434 34252525 i zi i ，所以z的实部为 3 25 ，虚部为 4 25 ，z的共 轭复数为 34 2525 i，模

11、为 22 341 ()() 25255 ，故选 C. 3.【解析】【解析】因为3,4ab，所以7，故双曲线 22 +1 916 xy 的右焦点的坐标是(0, 7). 4.【解析】因为 0.40.5 4 log 0.40,41,00.41mnp，所以mpn. 5.【解析】 232 (32 )() xx yxx exx e ，所以 1 |7 x ye ，又1x 时，2ye，所以所 求切线方程为27 (1)yee x，即75yexe 6.【解析】因为 115 158 15() 1515 2 aa Sa ，所以 8 1a ，又 4 11a ，所以公差 1 115 42 d ，所以 24 211 516

12、aad 7.【解析】因为sin3cos32sin(3) 4 yxxx ， 所以将其图象向左平移 4 个单位长 度，可得2sin3()2sin(2)2sin2 44 yxxx ，故选 C. 8.【解析】【解析】根据题意，分 2 步分析：先从 5 个人里选 2 人，其位置不变，有 2 5 10C 种 选法， 对于剩余的三人， 因为每个人都不能站在原来的位置上， 因此第一个人有两种站法， 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上， 因此三个人调换有 2 种调换方法， 故 不同的调换方法有10 220种.而基本事件总数为 5 5 120A ,所以所求概率为 201 1206 . 9.【解析】由题

13、意可知，当xR时， 1 ( ) x x f xe e ，所以 1 ( )0 x x fxe e 为 R 上的 单调递增函数，故由 2 (2 )(3)0f xxf，得 2 (2 )(3)f xxf，即 2 230xx， 解得13x ，故选 A. 10.【解析】(2)()220mn xmn ymn整理得(22)(2)0xymxyn， 由题意得 220 20 xy xy ， 解得 0 2 x y ， 所以直线l过定点(0,2)Q.因为OPl， 所以点P 的轨迹是以OQ为直径的圆， 圆心为(0,1)， 半径为 1， 因为圆心(0,1)到直线30xy的 距离为 2 2 2 d ，所以P到直线30xy的距

14、离的最大值为21. 11.【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 2222 4 =16rhl， 所以 2 22 1 11162 3 121221223 r h Vrhrh Srl ， 当且仅当2 2rh时取等号.此时 侧面积为 1 22 248 2 2 . 12.【解析】【解析】双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点( ,0)A a，双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 不妨取 b yx a ， 设( ,) b M mm a ， 则(,) b AMmam a ，(3 ,) b NMmam a . 若存在过(3 ,0)Na的直线与双曲线的渐近线交于一点M， 使得NA

15、M是以M为直角顶点 的直角三角形，则0AM NM ，即 2 ()(3 )()0 b ma mam a ，整理可得 2 22 2 (1)430 b mama a ，由题意可知此方程必有解，则判别式 2 22 2 1612(1)0 b aa a ，得 22 3ab，即 222 33aca，解得 2 3 1 3 c e a ，所 以离心率存在最大值 2 3 3 . 13. 11 3 【解析】向量(2,3)a ，( 1,)bm ，(1,3)abm ， a 与ab 垂直，23(3)0m，解得 11 3 m 14. 【答案】 4【解析】 由题意得 44 21Sa， 所以 3 21S ， 又 1 1,a ，

16、 所以 3 3 1 21 1 q S q ， 解得4q 或5q （舍） ，所以4q . 15. 【 答 案 】 28 3 【 解 析 】 7 2 3 x x 展 开 式 的 通 项 公 式 为 13 7 7 22 177 22 33 r r r rrr r TCxxCx ，令 3 74 2 r，解得2r ，故所求系数 为 2 2 7 228 33 C . 16.【答案】 5 2 2 【解析】法一：【解析】法一：由 1 sin tan cos 得 sin1 sin coscos ， 所以sincoscos(1 sin)，即sin()cos. 结合诱导公式得sin()sin() 2 . 因为 3

17、( ,),(0,) 22 ，所以 3 ( ,),(,) 222 . 由诱导公式可得sin()sin2() 2 ，易知 3 2()( ,) 22 ， 因为sinyx在 3 (,) 2 2 上单调递减，所以2() 2 ，即 5 2 2 . 法二：法二：由 1 sin tan cos 得 sincostan1 222 tantan() 24 cossin1tan 222 ， 所以tantan() 24 . 因为 3 ( ,),(0,) 22 ，所以(,) 244 2 . 由诱导公式可得tan()tan，即tan()tan() 24 因为tanyx在(0,) 2 上单调递增，所以 24 ，即 5 2

18、2 . 17 【解析】(1) 由 222 coscossinsinsinCBAAC， 得 222 sinsinsinsinsinBCAAC 由正弦定理，得 222 bcaac，即 222 acbac，3 分 所以 222 1 cos 222 acbac B acac 5 分 因为0 C ，所以 3 B 6 分 （2）由（1）知 3 B， 22222 2cosbacacBacac8 分 又 1 sin3 3 2 SacB，9 分 12ac ，10 分 又13b Q，据解，得7ac12 分 18.【解析】 （1）证明：由题意可知：ED 面ABCD， 从而Rt EDARt EDC，EAEC，又O为A

19、C中点， DEAC，在EOF中，3,6,3OEOFEF， 222 OEOFEF，OEOF又ACOFO ， OE面ACF5 分 （2）ED 面ABCD，且DADC， 如图以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系， 从而(0E，0，1)，(2A，0，0)，(0C，2，0)，(2F，2，2)，(1O，1，0) 由（1）可知(1EO ，1，1)是面AFC的一个法向量，7 分 设(nx ，y，) z为面AEF的一个法向量， 由 220 20 AF nyz AE nxz ，令1x 得(1n ，2，2)，9 分 设为二面角EAFC的平面角， 则 |3 |cos| |cos,| 3| | EO n

20、EO n EOn ， 6 sin 3 二面EAFC角的正弦值为 6 3 12 分 19.【解析】 （1）由| 2PF 知P到准线的距离也是 2， P点横坐标是2 2 p ， 将(2,2) 2 p P代入 2 2ypx，得2p ， 抛物线C的方程为 2 4yx.5 分 （2）证明：联立 2 4yx xkyb 得 2 440ykyb， 设 2 1 1 (,) 4 y Ay， 2 2 2 (,) 4 y By，则 12 4yyk， 12 4y yb .7 分 因为点( , )b k在曲线 22 (3)49xy上，所以代入整理可得 22 461bkb.8 分 则 1212 222222 1212121

21、2 4 1 ()()421 (1)(1)1 441642 FAFB y yy yb kk yyy yyyy ybkb . 12 分 20.【解析】 （1）由( )sinf xaxx得导函数( )cosfxax，其中0cos1x. 当1a 时，( )0fx恒成立， 故( )sinf xaxx在(0,) 2 上是单调递增函数，符合题意； 2 分 当0a 时，( )0fx恒成立， 故( )sinf xaxx在(0,) 2 上是单调递减函数，符合题意；3 分 当01a时，由( )cos0fxax得cosxa， 则存在 0 (0,) 2 x ，使得 0 cosxa. 当 0 0xx时， 0 ()0fx，

22、当 0 2 xx 时， 0 ()0fx，所以( )f x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (,) 2 x 上单调递增， 故( )f x在(0,) 2 上是不是单调函数，不符合题意. 综上，a的取值范围是 (,01,). 6 分 （2）由（1）知当1a 时，( )sin(0)0f xxxf， 即sin xx，故 22 sin( ) 22 xx .9 分 令 33 11 ( )( )sin,(0,) 662 g xf xxaxxxx ， 则 22222 111 ( )cos12sin12( )1 22222 xx g xaxxaxaxa ， 当1a 时，( )10g xa ，所以( )g x在

23、(0,) 2 上是单调递减函数， 从而( )(0)0g xg，即 3 1 ( ) 6 f xx.12 分 21.【解析】 （1）系统不需要维修的概率为 2233 33 1111 ( )( ) 2222 CC.2 分 （2）设X为维修维修的系统的个数，则 1 (3, ) 2 XB，且500X， 所以 3 3 11 (500 )()( )( ),0,1,2,3 22 kkk PkP XkCk . 所以的分布列为 050010001500 P1 8 3 8 3 8 1 8 所以的期望为 1 ( )500 3750 2 E .6 分 （3）当系统G有 5 个电子元件时， 原来 3 个电子元件中至少有

24、1 个元件正常工作，G系统的才正常工作. 若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为 1222 3 113 ( ) 228 Cpp； 若前 3 个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有 1 个正常工作， 则概率为 2212222 323 11113 ( )(1)( )(2) 22228 CCppCppp； 若前 3 个电子元件中 3 个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统G均能正常工作，则概率为 33 3 11 ( ) 28 C . 所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为 22 33131 (2) 88848 pppp， 于是由

25、 3113 (21) 4828 pp知，当210p 时，即 1 1 2 p 时， 可以提高整个G系统的正常工作概率.12 分 22.【解析】 （I）依题意，曲线 2 C的直角坐标方程为3yx.3 分 （II）因为曲线 1 C的参数方程为 2cos , 1 cos2 , x y （为参数） ， 所以曲线 1 C的直角坐标方程为 2 1 2,2 2 yxx ， 7 分 联立 2 3 , 1 , 2 yx yx 解方程组得 0, 0, x y 或 2 3, 6, x y 根据x的范围应舍去 2 3, 6, x y 故交点的直角坐标为(0,0).10 分 23.【解析】 （1）依题意，1246xx， 当2x 时，原式化为1246xx，解得3x ，故3x ； 当21x 时，原式化为1246xx，解得1x ，故无解； 当1x 时，原式化为1246xx ，解得1x ，故1x ； 综上所述，不等式( )6f x 的解集为, 31, ；5 分 （2）因为( )124122123f xxxxxxxx， 当且仅当2x 时，等号成立. 故( )10f xm恒成立等价于13m；即313m ，解得24m 故实数m的取值范围为 2,4.10 分