2019年上海交通大学自主招生数学考试试题卷（含答案和解析）.pdf

1、 年上海交通大学自主招生试题 年上海交通大学自主招生试题 1.1.已知，且，求 解：解：因为，则 2.2.已知，若，试 比较的大小 解：解：易知当时 则 3.3.已知方程各个实根为，若点均在 直线同侧，求 的取值范围 解：解：因为，则 而函数与相交于和两点，则易知 或 4. 4.已知复数 满足，且，求负实数 的值 解：解：设，因为，则 情形一：当时，则 解得 情形二：当时，则 或 因为，所以此时 无解 综上所述： 5.5.若方程的三个根可以作为三角形的三边长，求的范围 解：解：因为，则，令 且，解得 情形一：当，满足题意，则此时 情形二：当，则只需满足 即 解得，综上所述： 6. 6.对于，若

2、，求的最小值 解：解：因为，所以 时， 又 时， 则 所以 所以时，即时，此时最小，最小值为 7.7.已知数列满足：，若，求 的最小值 解：解：因为，则 而，则 所以 的最小值为 8.8.设展开式中 奇次幂的项的和为，求 解：解：由题意可知 则 9. 9.已知不全为 ，求最大值 解：解：因为求的最大值，不妨设 而，则 所以最大值为，当且仅当，时，等号成立 10.10.已知的面积为 ，在线段上，在线段上，在线段上，且满足 ，若，求的面积的最大值 解：解：设，则 又，所以 而 此时 由三元均值不等式可知 当且仅当时，等号成立 11.11.对定义域内任意的， 若满足， 则称 为凸函数， 下列函 数是

3、凸函数的是（ ） 解：解：易知选 12. 12.已知复数所对应的点为，若，且满足，求 的面积 解：解：设，因为，则 情形一：当，则 而 情形二：当时，同理可得 综上所述：的面积为 13.13.实数满足，求最大值 解：解：因为，则 解得 当且仅当时，等号成立 14.14.在中，满足，求 解：解： 15.15.数列是的末两位数，求 解：解：易知数列的周期为 ，而 所以 16.16.为的外心，到三边的距离分别为，则（ ） 解：解：因为 则 所以 同理可得，故选 17.17.定义平面上两点的折线距离为，若平面上一点到 ，的折线距离之和最小，则点坐标为 解：解：设点，则折线距离之和 由绝对值的几何意义可知 此时，则点坐标为 18. 18.已知， 则的充要条件是 （ ） 解：解：由题意可知当抛物线与圆相切时 整理可得 而，解得 故选