2020届安徽六校高三文科数学（文数）第一次素质测试数学试题卷（含答案）.pdf

1、 文科数学试题 注意事项： 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知复数(1)(3)zii（

2、i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A.2 B.2i C.4 D.4i 2设集合 11Mx x，1Nx x，则MN=( ) A.1x x B.1x x 或2x C.01xx D.0x x 3.已知函数( )f x是定义在R上的奇函数， 当(,0)x 时， 32 ( )2f xxx， 则 A.9 B.-9 C.45 D.-45 4. 若10 , 1bca，则下列不等式不正确的是（ ） A 20192019 loglogab B.loglog cb aa C bc abcabc D. bc acaaca)()( 5. 已知函数 2 1 ( ) 44 f x xx ，则( )f x的大致图象是( )

3、 A B C D 6.甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如 下，若甲、乙两人这 6 次考试的平均成绩分别用x甲、x乙表示， 则下列结论正确的是（ ） A.xx甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 B.xx甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定 C.xx甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 D.xx甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定 (3)f=（） 高三数学试题（文）第 1页共 4 页 考试时间：120分钟试卷分值：150 分 文科数学试题 安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试 文科数学试题 文科数学试题 文科数学试题 文科数学试题 7.如图程序框图是为了求出满足322020 nn 的最小偶数 n，

4、 那么在 和两个空白框中，可以分别填入（ ） A. 2020A和1nn B. 2020A和2nn C. 2020A和1nn D. 2020A和2nn 8.函数 sinf xAx（其中0, 2 A ） 的图象如图所示， 则 f( ) A. 1 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 9.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的 点， 且 4 5 AMAB， 连接AC、MN交于P点， 若 4 11 APAC， 则点N在AD上的位置为（ ） A.AD中点 B. AD上靠近点D的三等分点 C.AD上靠近点D的四等分点 D. AD上靠近点D的五等分点 10 已知椭圆 22 22 :1(

5、0) xy Cab ab 的右焦点为F， 短轴的一个端点为P， 直线:430lxy 与椭圆相交于A、B两点.若| 6AFBF，点P到直线l的距离不小于 6 5 ，则椭圆离心率 的取值范围为（ ） A 9 (0, 5 B 3 (0, 2 C 5 (0, 3 D 13 ( , 32 11某罐头加工厂库存芒果m kg，今年又购进 n kg新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用 于加工为芒果罐头。被加工为罐头的新芒果最多为 1 fkg，最少为 2 fkg，则下列坐标图最 能准确描述 1 f、 2 f分别与n的关系的是（ ） 高三数学试题（文）第 2页共 4 页 12如图， 12 FF、是双曲线 22 22

6、 1:0, 0Ca xy ab b的左、右焦 点， 过 2 F的直线与双曲线C交于A B、两点 若 11 :3:4:5ABBFAF 则双曲线的渐近线方程为（ ） A.2 3yx B2 2yx C3yx D2yx 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若函数( )ln2f xxax的图象存在与直线20xy垂直的切线，则实数a的取值范围 是 14.设等差数列 n a的公差d不为 0， 1 16ad，若 k a是 1 a与 2k a的等比中项，则k等 于 16如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA

7、BC D中，点M是AD 的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界） ，若 1 B P平 面 1 ABM，则 1 C P的最小值是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 10 分）设等比数列 n a满足 13 20aa， 24 10aa， （）令 123nn Ta a aa ，求 n T的最大值； （）令 2 log nn ba，求数列 nn a b的前n项和 n S. 15将函数( )4cos 2 f xx 和直线( )1g xx的所有交点从左到右依次记为 1 A， 2 A，

8、 5 A，若P点坐标为(0, 3)，则 125 .PAPAPA 18（本小题满分 12 分）在ABC中，, ,a b c分别为角,A B C的对边，且 sinsinsin()BCA C, （）求角A； （）若3a ，求2bc的最大值. 高三数学试题（文）第 3页共 4 页 19 （本小题满分 12 分）某商场近 5 个月的销售额和利润额如下表所示： 销售额x/千万元 3 5 6 7 9 利润额y/百万元 1 3 3 4 5 （）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； （）求出利润额y关于销售额x的回归直线方程； （）当销售额为 4 千万元时，利用（）的结论估计该商场的利润额（百

9、万元）. 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ，aybx . 20. （本小题满分 12 分） 如图所示， 三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 11 BBCC为菱形， o 1 60CBB， A在侧面 11 BBCC上的投影恰为 1 BC的中点O （）证明： 1 BCAB； （）若 1 ACAB，且三棱柱 111 ABCABC的体积为 8 3 ，求三 棱柱 111 ABCABC的高. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 2 lnf xxax()aR. （）讨论函数 f x的极值点情况； （）若2a ，存在 1 x， 2 x， 1 , n xe e ，使得 121

10、( )()()() nn f xf xf xf x 成 立，求n的最大值. 22 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，圆O为ABC的内切圆.其中 ( , ), (2, 1), ( 1,3)A m n BC . （）求圆O的方程及A点坐标； （）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有 PAPQ(为常数)？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 高三数学试题（文）第 4页共 4 页 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5

11、分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数(1)(3)zii（i为虚数单位），则z的虚部为（） A.2B.2iC.4D.4i 解：易知复数(1)(3)42ziii，故z的虚部为 2，选 A. 2设集合 11Mx x，1Nx x，则MN=() A.1x x B.1x x 或2x C.01xxD.0x x 解：由 1120Mx xx xx或且1Nx x得0Mnx x，选 D. 3.已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当(,0)x 时， 32 ( )2f xxx，则(3)f=（） A.9B.-9C.45D.-45 解：由(3)( 3)( 27 18)

12、45ff ，选 C. 4. 若10 , 1bca，则下列不等式不正确的是（） A 20192019 loglogabB.loglog cb aa C bc abcabcD. bc acaaca)()( 解：由1,01acb有,0 cb aaac，故有()() cb ac aac a，选 D. 5. 已知函数 2 1 ( ) 44 f x xx ，则( )f x的大致图象是() ABCD 解： 易知当01x时，( )0f x ；01xx或时，( )0f x ， 可排除 A、 C， 又可由 11 32 ( )( )ff 排除 D，故选 B. 6. 甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶

13、图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考试的平 均成绩分别用x甲、x乙表示，则下列结论正确的是（） A.xx 甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 B.xx 甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定 C.xx 甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 D.xx 甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定 解：根据茎叶图中数据可求得82x 甲、83x乙， 2 74 3 S 甲 ， 2 164 3 S 乙 故选 C. 安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试 文科数学参考答案 1 7.如图程序框图是为了求出满足3 22020 nn 的最小偶数 n，那么在 和两个空白框中，可以分别填入 A.202

14、0A和1nn B.2020A和2nn C.2020A和1nn D.2020A和2nn 解：因为要求2020A时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入 “2020A”，又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0，所以“”中 n 依次加 2 可保证其为 偶数，所以 D 选项满足要求，故选：D 8.函数 sinf xAx（其中0, 2 A ） 的图象如图所示， 则 f() A. 1B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 解：由图象知1A ， 7 4 123 T ，则 2 2 T ，此时 sin 2f xx，将 7 , 1 12 代入解析式得 7 sin1 6 ，又 2 ，则 3 ，所以

15、sin 2 3 fxx ， 所以 3 sin 32 f 故选 D 9.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点， 且 4 5 AMAB ，连接AC、MN交于P点，若 4 11 APAC ，则点N 在AD上的位置为 A.AD中点B.AD上靠近点D的三等分点 C.AD上靠近点D的四等分点D.AD上靠近点D的五等分点 解：假设AN AD ， 4 5 AMAB ， 4445154 111111 41111 APACABADAMANAMAN ， 三点 M，N，P 共线， 542 1 11113 ，故选：B. 2 10已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F，短

16、轴的一个端点为P，直线:430lxy 与椭圆相交于A、B两点.若| 6AFBF，点P到直线l的距离不小于 6 5 ，则椭圆离心率的取 值范围为（） A 9 (0, 5 B 3 (0, 2 C 5 (0, 3 D 13 ( , 32 解：设椭圆的左焦点为 F ，P为短轴的上端点，连接,AF BF，如下图所示： 由椭圆的对称性可知，,A B关于原点对称，则OAOB , 又OFOF ,四边形AFBF为平行四边形，AF BF 又26AFBFBFBFa，解得：3a , 点P到直线l距离： 36 55 b d ，解得：2b ，即 222 92acc , 05c , 5 0, 3 c e a 。本题正确选项

17、：C. 11某罐头加工厂库存芒果m kg，今年又购进n kg新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加 工为芒果罐头。被加工为罐头的新芒果最多为 1 fkg，最少为 2 fkg，则下列坐标图最能准确描 述 1 f、 2 f分别与n的关系的是（） 解： 要使得被加工为罐头的新芒果最少， 尽量使用库存芒果， 即当 mn m,n2m 3 时,此时 2 f0， 当n2m时， 2 nmn2m fm 33 ，对照图象舍去 B,D; 要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当 mnm n,n 32 时 1 mn f 3 ，当 mnm n,n 32 时 1 fn，因为 m 2m 2 ，所以选 C. 3

18、 12 如图， 12 FF、是双曲线 22 22 1:0, 0Ca xy ab b的左、 右焦点， 过 2 F的直线与双曲线C交 于A B、两点若 11 :3:4:5ABBFAF 则双曲线的渐近线方程为（） Axy32Bxy22Cxy3Dxy2 解：设 2 ,3AFtABx，则 11 4 ,5BFAFxx，根据双曲线的定义 得： 1221 2AFAFBFBFa,即5342xtxtxa ， 解得： 3 , tx ax 11 :3:4:5ABBFAF ，得 1 ABF是以B为直角的直角三角形. 1 1 |3 cos 5 AB BAF AF ，可得 21 3 cos 5 F AF , 21 F AF

19、中， 222 12121221 |2co|s| |FFAFAFAFAFF AF 222 3 2592 5352 5 ()xxxxx ，可得 12 | 2 13FFx,因 此，该双曲线的离心率 22 13 13 22 cx e ax ，所以渐近线为xy32. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若函数( )ln2f xxax的图象存在与直线20xy垂直的切线，则实数a的取值范围 是 解：由( )ln2f xxax有 1 ( )2fxa x ，则由题意即 11 2 2 a x 在(0,)上有解，由 111

20、2(,) 22 a x 有实数a的取值范围是 1 (,) 4 . 14.设等差数列 n a的公差d不为 0， 1 16ad，若 k a是 1 a与 2k a的等比中项，则k等 于 解：易知 2 16(1)(15) ,16(21)(215) kk adkdkd adkdkd，由 k a是 1 a与 2k a的 等比中项可得 2 16(215)(15)akdkd化简 2 2150kk得，有唯一正整数解为 5. 15将函数( )4cos 2 f xx 和直线( )1g xx的所有交点从左到右依次记为 1 A， 2 A， 5 A， 若P点坐标为(0, 3)，则 125 .PAPAPA _ 解： 4 函

21、数( )4cos 2 f xx 与( )1g xx的所有交点从左往右依次记为 1 A、 2 A、 3 A、 4 A和 5 A， 且 1 A 和 5 A， 2 A和 4 A，都关于点 3 A对称，如图所示；则 1253 .55(1,3)=53)PAPAPAPA （ ，-5，所以 125 .PAPAPA 10. 16如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是AD的中点， 动点P在底面ABCD内（不包括边界） ，若 1 B P平面 1 ABM，则 1 C P的最小 值是_ 解：如图，在 11 AD上取中点Q，在BC上取中点N，连接 11 ,DN NB BQ QD / /DN

22、BM， 1 / /DQAM且DNDQD， 1 BMAMM， 平面 1 / /BQDN平面 1 ABM，则动点P的轨迹是DN（不含,D N两点） ， 又 1 CC 平面ABCD，则当CPDN时， 1 C P取得最小值, 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 10 分）设等比数列 n a满足 13 20aa， 24 10aa， （）令 123nn Ta a aa，求 n T的最大值； （）令 2 log nn ba，求数列 nn a b的前n项和 n S. 解： （）由题 24 12

23、 1 2 aa q aa ，又由 2 11 20aa q可得 1 16a ， 故 1 5* 1 162() 2 n n n anN 2 分 则14n时1,5 n an时1 n a ，6n 时，01 n a， 则4n 或 5 时， 123nn Ta a aa最大为16 8 4 21024 . 5 分 5 （）令 2 log5 nn ban，则 5 (5) 2 n nn a bn 435 4 23 2(5) 2 n n Sn 324 1 4 23 2(5) 2 2 n n Sn 两式相减得 3254 1 64(222)(5) 2 2 nn n Sn 7 分 1 4 1 8 1 ( ) 2 64(5

24、) 2 1 1 2 n n n 14 64 16(21)(5) 2 nn n 544 482(5) 248(3) 2 nnn nn 则 5* 96(3)2() n n SnnN 10 分 18. （本小题满分 12 分）在ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C的对边，且 （）求角A； （）若3a ，求2bc的最大值. 解： （）由.有， 可得,易得.4 分 （）由2 3 sinsinsin abc ABC ，得22 3(sin2sin)bcBC 2 3 sin2sin 1202 3(2sin3cos )BBBB 8 分 2 21sin()B，其中 3 tan,0, 22 . 由 2

25、 0, 3 B ，存在B使得 2 B ，sin()B的最大值为 1， 2bc 的最大值为2 21.12 分 19 （本小题满分 12 分）某商场近 5 个月的销售额和利润额如下表所示： 销售额x/千万元35679 利润额y/百万元13345 （）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； （）求出利润额y关于销售额x的回归直线方程； 6 （）当销售额为 4 千万元时，利用（）的结论估计该商场的利润额（百万元）. 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ，aybx . 解： （）散点图如图所示： 2 分 两个变量正相关，且具有线性相关关系。4 分 （）易求得6,3.

26、2xy5 分 由公式有 2222 3 2.2 1 0.20 1 0.83 1.820 0.65 311313 b 7 分 且3.20.65 60.7a 9 分 则线性回归方程为 0.650.7yx10 分 （）当4x 时，由（）可求得1.9y ，即利润额约为 1.9 百万元。12 分 20 （本小题满分 12 分）解： （）连接 1 BC， 因为侧面 11 BBCC为菱形， 所以 1 BC 1 BC，且 1 BC与 1 BC相交于O点 因为AO 平面 11 BBCC， 1 BC 平面 11 BBCC， 所以 1 BCAO 又 1 BCAOO，所以 1 BC 平面ABO 因为AB平面ABO，所以

27、 1 BC AB4 分 （）由 1 ACAB且AO垂直平分 1 BC可知 1 ACB是等腰直角三角形，则 1 1 2 AOBC， 又 得 11 1BCBCB B 7 分 7 1 2 AO ,且等边 1 BCB中， 3 2 BO , 故Rt AOB中， 2 2 13 1 22 AB , 又 2 2 AC ,易求得等腰ABC中AC边上的高为 14 4 ， 则 12147 2248 ABC S,10 分 由 1 1 1 3 8 ABC A B CABC VSh 有 21 7 h .12 分 21. （本小题满分 12 分）已知函数 2 lnf xxax()aR. （）讨论函数 f x的极值点情况；

28、（）若2a ，存在 1 x， 2 x， 1 , n xe e ，使得 121 ()()()() nn f xf xf xf x 成立， 求n的最大值. 解： （）定义域为0, 2 2 2 axa fxx xx ， 1 分 故当0a 时， 0fx ，所以函数 f x在0,上单调递增，无极值点；2 分 当0a 时，令 0fx ，得 2 2 a x ，所以函数 f x在 2 , 2 a 上单调递增； 令 0fx ，得 2 2 a x ，所以函数 f x在 2 0, 2 a 上单调递减，有极小值点 2 2a ，无极大 值点； 综上，当0a 时，无极值点； 当0a 时，有极小值点 2 2a ，无极大值点

29、.4 分 （）当2a 时，由（）知，函数 f x在 1 ,1 e 上单调递减，在1,e上单调递增.故 min 11f xf，5 分 又因为 2 11 23f ee ， 222 5.292.7222.825.84f ee， 故 2 max 2f xf ee.7 分 8 故 1 ,xe e 时， 2 1,2fxe ， 8 分 由于 2 121 2111 nn ef ef xf xf xf xnfn ， 则 2 17ne . 取 12345 1xxxxx， 则 2 125 52f xf xf xe， 故n的最大值为 6.12 分 22. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，圆O为ABC

30、的内切圆.其中 ( , ),(2, 1),( 1,3)A m n BC. （）求圆O的方程及A点坐标； （） 在直线AO上是否存在异于A的定点Q， 使得对圆O上任意一点P， 都有PAPQ(为 常数)？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 解：（）由(2, 1),( 1,3)BC知直线BC的方程为4350xy， 由于圆O与线段BC相切，所以半径 5 1 5 r ，即圆O的方程为 22 1xy.2 分 由题意 22 1xy与线段AC相切，所以线段AC方程为1x .即1m . 又 22 1xy与线段AB也相切，所以线段AB方程为1y .即1n . 故1, 1A .4 分 （）设 00

31、 (,), ( , )Q xyP x y.则 22 (1)(1)PAxy， 22 00 ()()PQxxyy. 若在直线AO上存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P， 都有PAPQ(为常数),等价于 2222 00 (1)(1)()()xyxxyy 对圆O上任意点( , )P x y恒成立.6 分 即 222222 00 (1)(1)()()xyxxyy. 整理得 22222222 0000 (1)()(22)(22)2()0xyxxyyxy. 因为点Q在直线AO上，所以 00 xy.由于P在圆O上，所以 22 1xy. 故 2222 00 (22)()320xxyx对任意2,2xy 恒成立. 8 分 9 所以 2 0 222 0 220, 320. x x 显然0，所以 0 2 1 x .故 2 2 2 30 ， 因为0，解得 2 或1. 10 分 当1时，( 1, 1)Q ，此时,Q A重合，舍去.11 分 当 2 时， 11 (,) 22 Q ， 综上，存在满足条件的定点 11 (,) 22 Q ，此时 2 .12 分 10