江苏省13市2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：数列（含答案）.pdf

1、 江苏省 13 市 2020 届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编 数列数列 一、填空题一、填空题 1、 （常州市 2020 届高三上学期期末考试）等比数列中，若成等差数列，则 2、 （淮安市 2020 届高三上学期期中考试）已知等比数列满足4，则该 数列的前 5 项和为 3、 （南京、盐城市 2020 届高三上学期期末考试）若数列an是公差不为 0 的等差数列， lna1、 lna2、 lna5 成等差数列， 则 的值为_. 4、 （南通、泰州市 2020 届高三上学期期末考试）已知等差数列an 的公差 d 不为 0 ，且 a1，a2， a4 成等比数列，则的值为_. 5、 （苏北四市（

2、徐州、宿迁、淮安、连云港）2020 届高三上学期期末考试）已知等差数列的 前 项和为，则的值为_. 6、 （无锡市 2020 届高三上学期期末考试）等差数列（公差不为 0） ，其中，成等 比数列，则这个等比数列的公比为_. 7、 （徐州市 2020 届高三上学期期中考试）已知等差数列的公差为 d，若 a1，a4，a13成等比 数列，则的值为 8、 （盐城市 2020 届高三上学期期中考试）设 Sn 为等差数列的前 n 项和，若 S3S5，且公差 d0，则的值为 9、 （盐城市 2020 届高三上学期期中考试）若数列淢，2，则数列 是等比数列，则数列的前 19 项和的值为 10、 （扬州市 20

3、20 届高三上学期期末考试）等差数列的公差不为零，是和的等 比中项，则 n a 1234 1,4,2,aaa a 17 a a n a 21 2aa 2 35 aa 2 1 a a 1 a d n a n n S 29 8aa 5 5S 15 S n a 1 a 2 a 6 a n a 1 a d n a 1 a d n a 12 1aa 3 a 1nn a a n a n a 12 1,aa 1 a 3 a 159 246 aaa aaa 11、 （镇江市 2020 届高三上学期期末考试）等比数列的前三项和，若， 成等差数列，则公比 q 参考答案：参考答案： 1、64 2、31 3、3 4、

4、1 5、135 6、4 7、 8、 9、1534 10、 11、2 或 二、解答题二、解答题 1、 （常州市 2020 届高三上学期期末考试）设为正整数，若两个项数都不小于的数列， 满足：存在正数 L,当时，都有，则称数列，是“接近的” 。 已知无穷数列满足，无穷数列的前 n 项和为，且 （1） 求数列的通项公式； （2） 求证：对任意正整数 m,数列，是“接近的” ； （3） 给定正整数 m(m5),数列，（其中）是“接近的” ， 求 L 的最小值，并求出此时的 k(均用 m 表示)。 （参考数据） 2、 （淮安市 2020 届高三上学期期中考试） 给定数列 ，若满足（a0 且 a1） ，对

5、于任 意的 n，mN ，都有 a m + nanam 则称数列为“指数型数列” 。 （1）已知数列的通项公式为，试判断数列是不是“指数型数列”？ （2） 已知数列 满足， 证明数列 为等比籹，并判断数列是否“指数型数列” ，若是给出证明，若不是说明理由； n a 3 42S 1 a 2 3a 3 a 3 2 7 2 9 7 1 2 mm n A n B nm nn ABL n A n B( , )m L n a 32 841aa n b 1 ,1 n S b 1 1 ()1 ,*. 2 nnn nn S bb nN b b n a n a 2 1 n a ( ,1)m 1 n a 2 n bk

6、kR( , )m L ln20.69 n a 1 aa n a n a4n n a n a n a （3）若数列是“指数型数列” ，且，证明数列中任意三项都不 能构成等差数列。 3、 （南京、盐城市 2020 届高三上学期期末考试）定义： 若无穷数列an满足an1 an是公比 为 q 的等比数列， 则数列an为“ M (q) 数列” ， 设数列bn中b1 1，b3 7. （1） 若 b2 4 ， 且数列bn是“ M (q) 数列” ， 求数列bn的通项公式； （2） 设数列bn的前 n 项和为 Sn ， 且 ，请判断数列bn是否为“ M (q) 数列” ， 并说明理由； （ 3） 若数列bn是

7、“ M (2)数列” ， 是否存在正整数 m， n 使得 ? 若存在， 请求出所有满足条件的正整数 m， n ； 若不存在， 请说明理由. 4、 （南通、泰州市 2020 届高三上学期期末考试）已知数列an满足： a1 1， 且当 n 2 时， （1）若 1， 证明：数列a2n1是等差数列； （2）若 2. 设 ，求数列bn 的通项公式； 设，证明：对于任意的 p， m N *，当 p m， 都有 p Cm. 5、 （苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2020 届高三上学期期末考试）已知数列的首项 ，对任意的,都有，数列是公比不为 1 的等比数列. （1）求实数 的值； （2）设，数列的前

8、项和为，求所有正整数的值，使得 恰好为数列中的项. 6、 （苏州市 2020 届高三上学期期末考试）已知数列满足，其中是 n a n a n a 1 3a *nN 1 1 nn aka (0)k 1 n a k 4, 1, n n n n b an 为奇数 为偶数 n bn n Sm 2 21 m m S S n b n a 1 2 nn Snaa 3 4a n S 数列的前 n 项和 （1）求和的值及数列的通项公式； （2） 设()若，求 k 的值；求证： 数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积 7、 （无锡市 2020 届高三上学期期末考试）已知，均为正项数列， 其前 项和分别为，

9、 ，且，当，时，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前 项和. 8、 （徐州市 2020 届高三上学期期中考试） 已知等比数列 满足，0， 各项均不为 0 的等差数列的前 n 项和为 Sn，b11，。 （1）求数列与的通项公式； （2）设集合，若 M 只有两个元素，求实数 t 的取值范围。 9、 （盐城市 2020 届高三上学期期中考试） 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和， 形成新的数列， 这样的操作叫做该数列的一次拓展。 如数列 1，2，经过第 1 次拓展得到数列 1，3，2；经过第 2 次 拓展得到数列 1，4，3，5，2；设数列 a，b，c 经过第 n 次拓展后所得数列

10、的项数记为，所有项 的和记为 Sn。 （1）求 P1，P2，P3； （2）若2019，求 n 的最小值； （3）是否存在实数 a，b，c，使得数列Sn为等比数列，若存在，求 a，b，c 满足的条件；若不 存在，请说明理由。 n a 1 a 2 a n a 123 1111 2462 n n T SSSSn Nn 32T TTk n T n a n bn n S n T 1 1 2 a 1 1b 2 2b 2n *nN 1 12 nn Sa 22 1 1 11 2() 2 nn nn nn TT bT bb n a n b 2 (2) nn n nn ba c bb n cn n P n a 2

11、46 a aa 321 44aaa n b 1, * nnn Sb bnN n a n b n P n P 10、 （扬州市 2020 届高三上学期期末考试） 对于项数为的有穷正项数列，记 ， 即为中的最小值， 设由组成数 列称为的“新型数列”. （1）若数列为 2019,2020,2019,2018,2017，请写出的“新型数列” 的所有项； （2）若数列满足且其对应的“新型数列” 的项数，求 的所有项的和； （3） 若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积， 求符合条件的及其对应的 “新 型数列” . 11、 （镇江市 2020 届高三上学期期末考试）已知，数列的前 n 项和为，且

12、；数列的前 n 项和为，且满足，且 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设，问：数列中是否存在不同两项，（1ij，i，j） ，使仍是 数列中的项?若存在，请求出 i，j；若不存在，请说明理由 参考答案：参考答案： 1、 (*,1)m mNm n a 12 min,(1,2,) kk ba aakm k b 12 , k a aa 12 , m b bb n b n a n a n a n b n a 10 1 ,6, 2 22,7, n n n a n n n b21,30m n b n a n a n b Nn n a n S 11nn Saa n b n T 1 (1

13、) 2 nnn Tbnnb 12 ab n a n b n n n a c b n c i c j cN i c j c n c 2、 3、解：（1），且数列是“数列”， ，2 分 故数列是等差数列，公差为， 故通项公式为，即. 4 分 （2）由得，故. 方法一：由得， 两式作差得，即， 又，对恒成立，6 分 2 4b n b M q 32 21 74 1 4 1 bb q bb 1 1 1 nn nn bb bb 11nnnn bbbb n b 21 3bb 1 (1) 3 n bn 32 n bn 1 1 2 2 nn bSn 2 3 2 b 3 437b1 1 1 21 2 nn bSn

14、 21 1 2(1) 1 2 nn bSn 211 1 2 2 nnn bbb 21 1 3 2 nn bb 2 5 2 b 21 1 3 2 bb 1 1 3 2 nn bb nN 则，而， 是等比数列， 8 分 ， ， 是公比为的等比数列，故数列是“数列”.10 分 方法二：同方法一得对恒成立， 则，两式作差得，而， ，以下同方法一. 10 分 （3）由数列是“数列”得， 又， 当时， ， 当时上式也成立，故 ， 12 分 假设存在正整数使得，则， 由可知，又为正整数， 又， ， ， 故存在满足条件的正整数，. 16 分 4、 1 11 3() 44 nn bb 1 13 0 44 b 1

15、 0 4 n b 1 1 4 3 1 4 n n b b 1 4 n b 1 111 (1) 33 444 nn n b 11 3 44 n n b 21 21 1 1 1111 (3)(3) 4444 3 1111 (3)(3) 4444 nn nn nn nn bb bb 1nn bb 3 n b M q 1 1 3 2 nn bb nN 21 1 3 2 nn bb 211 3() nnnn bbbb 21 3 0 2 bb 1 0 nn bb 21 1 3 nn nn bb bb n b 2M 1 121 () 2n nn bbbb 32 21 2 bb bb 2 2 7 2 1 b

16、b 2 3b 21 2bb 1 2n nn bb 2n 112211 ()()() nnnnn bbbbbbbb 12 222 121 nnn 1n 21 n n b ,m n 40394040 20192019 m n b b 4039214040 2019212019 m n 214039 1 212019 m n 2121 mn mn,m n1mn 212(21)21214040 2 2121212019 mm nnm nm n m n nnn 4040 23 2019 m n 1mn 211 2 2121 m nn 403914040 2 2019212019 n 20202 2 20

17、21 n 10n 11m ,m n11m 10n 5、解：（1）由，可知， 因为为等比数列，所以， 即，即，解得或，2 分 当时，所以，则， 所以数列的公比为 1，不符合题意； 当时，所以数列的公比， 所以实数的值为 4 分 （2）由（1）知，所以 则 ，6 分 则， 因为，又， 且，所以，则， 设，8 分 则或 为偶数，因为不可能，所以或 为偶数， 当时，化简得， 即，所以可取值为 1，2，3， 验证得，当时，成立12 分 当 为偶数时， 设，则， 由知，当时，； 1 1 nn aka 1 3a 2 31ak 2 3 31akk 1 n a 2 213 (1)(1)(1)aaa 22 (32

18、)2(32)kkk 2 31080kk2k 4 3 k 4 3 k 1 4 3(3) 3 nn aa 3 n a 12 n a 1 n a 2k 1 12(1) nn aa 1 n a 1 1 2 1 n n a q a k2 12n n a 4 n n nn b n 为奇数, 为偶数, 2 2 (41)4(43)44(21)4m m Sm 2 (41)(43)4(21)444mm 1 44 (4) 3 m mm 2122 44 (4) 3 m mmm SSbmm 22+1 324m mm bbm 222+322+1 ()()3 420 m mmmm bbbb 23 50bb 1 30b 21

19、 0 m S 2 0 m S 2 21 0, m t m S bt S * N 1,3t t 3 1b 1t t 2 1 21 = m m S b S 1 44 (4) 3 3 44 (4) 3 m m mm mm 2 624844 m mm 2 42mm0m 624 135 787 ,3, 323 SSS SSS 2m 4 1 3 S b S t 1 2 2 21 44 (4) 33 1 443124 (4)1 3 4 m m m m m mm S S mm mm 2 3124 4 m m mm c 2 1 1 94221 4 mm m mm cc 3m 4m 54 5 3 0 4 cc 当

20、时，所以，所以的最小值为， 所以，令，则， 即，无整数解 综上，正整数 m 的值16 分 6、 【解答】 （1）令 n=2 代入，得到，即为。令 n=3 代入 ，得到，即为。下面求通项公式。 与上下相减，整理后得到，即 （n1） ，由此递推，有，因此(n1)。 当 n=1 时，满足。故通项公式。 （2）。因此。 所以=。=，解之得 k=1。 证明：对数列中的任意一项恒成立。 即数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积证明完毕。 7、 4m 1 0 mm cc 456 ccc m c 5 19 1024 c 2 21 3 015 19 1 1024 m m S S 2 2 21 4 m m

21、 S b S 2 3 14 3124 1 4m mm 2 31240mm 2 1 2anaS nn 1212 2)(2aaaa0 1 a 1 2anaS nn 43)4(2 2 a2 2 a 111 ) 1(2aanS nn 1 2anaS nn nn naan 1 ) 1( 1 1 n a n a nn 2 1221 21 a n a n a nn 22 nan 0 1 a22 nan22 nan ) 1(2 2 )22( 2 2 nnnnn nn nSn 1 11 ) 1( 1 2 1 nnnnnSn 1 11 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 nn Tn 1 1 1 n 32T T

22、Tk 2 1 1 1 1 k n T 122 ) 22 1 1)( 12 1 1 ( 1 1 1 jjj TT jjj T n T 8、 （1）因为，所以，所以， 又0，所以，0，即，所以，q2， 所以，4， 246 a aa 24 222 a a qa q 2 2 aq 321 44aaa 2 22 4 4 a a qa q 2 440qq 2 a 2 2 n n aa q 2n 9、解：（1）因原数列有 3 项，经第 1 次拓展后的项数； 经第 2 次拓展后的项数； 经第 3 次拓展后的项数. 3 分 （2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项， 由数列经第次拓展后的项数为，则经

23、第次拓展后增加的项数为， 所以， 5 分 所以， 由（1）知，所以， .7 分 由，即，解得， 所以的最小值为 10. 8 分 （3）设第次拓展后数列的各项为， 所以， 因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以， 1 325P 2 549P 3 9817P n n P1n1 n P 1 (1)21 nnnn PPPP 1 1222(1) nnn PPP 1 14P 11 14 22 nn n P 1 21 n n P 1 212019 n n P 1 22018 n 10n n n 123 , m a a a aac 123nm Saaaaac 11112223 ()()()() nmm Saaaaaaaaaaacc 即，所以， .12 分 得， 因为数列为等比数列，所以，可得， .14 分 则，由得， 反之，当且时，所以数列为等比数列， 综上，满足的条件为且. .16 分 10、 11、 112 23332 nm Saaaac 1 3() nn SSac 1 232Sabc 2 5155Sabc 3 144514Sabc n S 32 12 SS SS 0ac 1 2323Sabcb 1 0S 0b 0ac0b 1 3 nn SS 0 n S 1 3 n n S S n S , ,a b c0ac0b