高中高考理科数学知识点总结（理数）.pdf

1、高中数学知识点总结【理】 目录目录 第一部分集合与简易逻辑 1 第二部分不等式的解法2 第三部分函数3 第四部分导数8 第五部分三角函数10 第六部分数列14 第七部分平面向量16 第八部分不等式性质18 第九部分直线和圆18 第十部分圆锥曲线21 第十一部分立体几何24 第十二部分空间向量与立体几何27 第十三部分复数29 第十四部分概率与统计29 第十五部分排列、组合和二项式定理、数学归纳法32 第十六部分极坐标与参数方程34 第一部分集合与简易逻辑 1. 数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N* ；整数集 Z；有理数集 Q、实数集 R 2.是任何集合的子集，条件为AB时不要遗忘了A

2、的情况 3.对于含有n个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依 次为 2n, 2n-1, 2n-1, 2n-2 4.理解集合的意义抓住集合的代表元素。如:x|y=f(x) 表示 y=f(x)的定义域，y|y=f(x) 表 示 y=f(x)的值域，(x,y)|y=f(x) 表示 y=f(x)的图像 5. A 是 B 的子集ABAB=BAB=A， 6.四种命题及其相互关系:若原命题是“若 p 则 q”，则逆命题为“若 q 则 p”；否命题为“若 p 则q” ；逆否命题为“若q 则p”。互为逆否关系的命题是等价命题.对于条件或 结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价

3、关系“ABBA ”判断其真假 7.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题 的否定仅对命题的结论否定；命题“p或q”的否定是“p且q”； “p且q”的否定是“p 或q” 8、逻辑联结词：命题pq真假判断：两真才真，一假则假；命题pq真假判断：两假才假， 一真则真；命题p真假与 P 相反 9、全称量词“所有的”、“任意一个”等，用“”表示； 全称命题p：xM,P(x)； 全称命题p的否定p:xM,P(x)。 存在量词“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示； 特称命题p：xM, P(x)； 特称命题p的否定p：xM,P(x)； 10.充要条件:由 A 可推

4、出 B，A 是 B 成立的充分条件；B 是 A 成立的必要条件。 从集合角度解释，若BA，则 A 是 B 的充分条件；B 是 A 的必要条件；小充分 大必要 第二部分不等式的解法 11.一元二次方程的基础知识：求根公式：根的判别式：=b2-4ac根与系数关系： x1+x2=b a , x1x2=c a 根的分布：方程 ax2+bx+c=0 有两正根的条件是： 1212 0,0,0xxx xg； 有两负根的条件是： 1212 0,0,0xxx x g；有一正一负两根的条件是：0, x1x20， 再转化为整式不等式 f(x)g(x)0 求解，注意最高次项的系数要为正,分母是否有等于 0 15. 绝

5、对值不等式的解法：单绝对值不等式用公式法：|xaxaxa 或. |xaaxa ;双绝对值不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解 16. 指数不等式、对数不等式的解法：先将不等式两边转化为同底的指对数式，再利用单调 性转化为整式不等式求解。注意对底数的讨论，对数不等式还要注意真数要大于 0 第三部分函数 17. 函数定义：函数是定义在两个非空数集 A，B 上的一种特殊对应关系，对于 A 中每一个 数 x，在 B 中都有唯一的数与之对应。函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点 18.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一 致 (两点必须同时具备) 19.定义域求

6、法:使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数的真数0,底数 0且1；零指数幂的底数0)；实际问题有意义；若( )f x定义域为 , a b,复合函数 ( )f g x定 义域由( )ag xb解出；若 ( )f g x定义域为 , a b,则( )f x定义域相当于 , xa b时( )g x的值域. 20.求函数值域（最值）的方法： （1）二次函数区间最值：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对关系）， （2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函 数解析式含有根式或三角函数公式模型， 如 2 2sin3sin1yxx，211yxx （运用

7、换元法时， 要特别要注意新元t的范围） （3）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， （4）导数法：一般适用于高次多项式函数或其他复杂函数，求导解导数为 0 的根计 算极值和区间端点函数值比较大小，得出最值 21. 求函数解析式的常用方法： （1）代换法：已知形如 f(g(x)的表达式，求 f(x)的表达式。可设 g(x)=t,用 t 表示 x,再代回 原式即可 （2） 转化法： 若根据函数奇偶性求解析式， 则设 x所求区间， 利用 f(x) = f(x)或 f(x) = f(x)求解析式 （3）方程的思想已知条件是含有( )f x及另外一个函数的等式，可抓住等式

8、的特征对等 式的进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。通过解方程组得到 f(x)解析式。如已知( )2 ()32f xfxx，求( )f x的解析式 22.函数的单调性。 （1）定义：设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意两个自 变量x1，x2，当x11 增；00 , a1) 名称指数函数y=ax(a0且a1)对数函数 y=logax (a0 , a1) 定义域(-,+ )(0,+ ) 值域(0,+ )(-,+ ) 过定点（，1）（1，） 图象 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a1)图象关于y=x 对称 单调性 a

9、1,在(-,+ )为增函数 0a1, 在(-,+ )为减函 数 a1,在(0,+ )为增函数 aa 型不等式，应先画出正余弦函数在0,2的图像，根据取值 要求找出对应角的范围，再加上周期 2k即可，如果角的区间不连续，则平移使之相连。 tanxa 问题要注意加周期 k 第六部分数列 54.a nn S 与关系应用：Sna1a2an； (1)已知 n S求 n a，用作差法： 1 1 ,(1) ,(2) n nn Sn a SSn 。已知 12 ( ) n a aaf nL求 n a，用作商法： (1),(1) ( ) ,(2) (1) n fn f na n f n 。检验当n1 时，若a1适

10、合SnSn1，则n1 的情况可并入n2 时的 通项an；当n1 时，若a1不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示 (2)由an与Sn的关系求an，通常用n1 代替n，两式作差将SnSn1用an替换，转化为 an与an1的关系，然后求解 (3)由an与Sn的关系求Sn.通常利用anSnSn1(n2)将已知关系式转化为Sn与Sn1的关 系式，然后求解 55.等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法：定义法 1 ( nn aad d 为常数）或 11( 2) nnnn aaaan 。 （2）等差数列的通项： 1 (1) n aand或() nm aanm d。 （3）等差数列的前n项和： 1

11、 () 2 n n n aa S ， 1 (1) 2 n n n Snad 。. （4）等差中项：若, ,a A b成等差数列，则 A 叫做a与b的等差中项，且 2 ab A 。 56.等差数列的性质： （1）当 m+n=p+q 时,则有 qpnm aaaa，特别地，当 m+n=2p 时，则有2 mnp aaa. (2) 若an成等差数列,则 232 , nnnnn SSSSS，也成等差数列 57.等比数列的有关概念： （1）等比数列的通项： 1 1 n n aa q 或 n m nm aa q 。 （2）等比数列的前n和：当 q=1 时， 1n Sna；当1q 时， 1(1 ) 1 n n

12、aq S q 1 1 n aa q q 。 （3）等比中项：若, ,a A b成等比数列，那么 A 叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数 都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。 58.等比数列的性质： （1）当 m+n=p+q 时，则有 mnpq aaaagg，特别地，当 m+n=2p 时，则有 2 mnp aaag. (2) 若an是等比数列，且公比1q ，则数列 232 , nnnnn SSSSS也是等比数列。 (3)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列 n a是非零常数数列，故常数数列 n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 59.递

13、推数列的通项求法： (1)若 1 ( ) nn aaf n 求an用累加法： 11221 ()()() nnnnn aaaaaaa L 1 a。 (2)已知 1 ( ) n n a f n a 求an，用累乘法：12 1 121 nn n nn aaa aa aaa L (3)已知a1且an1AanB，则an1kA(ank)(其中k可由待定系数法确定)，转化为等 比数列ank (4)形如an1 Aan BanC 的数列，可通过两边同时取倒数方法构造新数列求解 60.数列求和的常用方法： （1）分组求和法：等差数列与等比数列对应项相加而成的新数列的求和问题 (2)错位相减法：一个等差数列与一个等

14、比数列对应项相乘而成的新数列的求和问题；如 基本步骤如下：乘上公比、错位书写；上下相减、末项为负；中间求和、注意项数，右 式整理、高次化低；去除系数、代 2 检验。 (3)裂项相消法：解决通项公式是等差数列相邻两项乘积的倒数的新数列的求和问题 常用裂项形式有： 111 (1)1n nnn ； 11 11 () ()n nkk nnk ； 第七部分平面向量 61向量的有关概念与表示 (1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量 cba,AB 自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的 向量都看成是相等的向量 (2)向量的模：向量的长度，记作：|AB | (3)

15、向量的夹角：两个非零向量a，b，作 baOBOA, ，则AOB称为向量a，b的夹角， (4)零向量：模为 0，方向任意的向量，记作：0 单位向量：模为 1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是： )0( | a a a 相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量 相反向量：长度相等，方向相反的向量 向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称 为平行向量记作ab 62向量的几何运算 (1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则 (2)减法：三角形法则共起点；差向量方向指向被减向量 (3)数乘：记作：a它的长度是：aa它的方向：当0 时，a与a同向当

16、0 时，a与a反向当0 时，a0 (4)数量积： 定义：ababcosa，b 性质：设a，b是非零向量，则：ab0ab 当为锐角时，a b0，且a，b不同向，0a b 是为锐角的必要非充分条件；当为钝 角时，a b0，且a，b不反向，0a b 是为钝角的必要非充分条件； 特殊地：aaa2或 aaa |夹角： | ,cos ba ba ba 63向量的坐标运算 若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2) (1)加法：ab(x1x2，y1y2)(2)减法：ab(x1x2，y1y2) (3)数乘：a(x1，y1)(4)数量积：abx1x2y1y2 (5)若a(x，y)，则 22 |yx

17、 a (6) 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 | ,cos yxyx yyxx ba ba ba (7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2 21 2 21 )()(|yyxxAB (8)a在b方向上的正射影的数量为 2 2 2 2 2121 | ,cos| yx yyxx b ba baa 64重要定理 (1)平行向量基本定理： 若ab，则ab，反之：若ab，且b0，则存在唯一的实数使得ab (2)平面向量基本定理： 如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一 对实数a1，a2使aa1e1a2e2 (3)向量共线和垂直的充要条件： 若在

18、平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2) 则：abx1y2x2y10，abx1x2y1y20 (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 21 21 yy xx ba 65、ABC中中向量一些常用的结论： 0GA GB GCG 为ABC的重心； ,OAOCOCOBOBOAO 为ABC的垂心； 向量()(0) | ACAB ABAC 所在直线过ABC内心(是BAC角平分线所在直线)； 向量,OC OA OB uuu r uur uu u r 中三终点 A,B,C 共线存在实数 x,y 使得OByOAxOC且 x+y=1. 特别的，若 C 是 A,B 中点，则有 11 22 OCO

19、AOB uuu ruuruu u r 第八部分不等式性质 66、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；不可以相减： （2）同向正数不等式可以相乘，但不能相除； （3）同向正数不等式两边可以同时乘方或开方：若0ab，则 nn ab或 nn ab； （4）若0ab ，ab，则 11 ab ；若0ab，ab，则 11 ab 。 67. 均值不等式定理： 若0a ，0b ，则2abab，即 2 ab ab 68. 常用的重要不等式： 22 2abab； 2 2 ab ab ； 69.含参不等式的解法： 求解的通法是 “定义域为前提， 函数增减性为基础， 分类讨论是关键 ” 注意解完之后要写上：“综

20、上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数 取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集. 集合的形式表示结果 第九部分直线和圆 70、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0. 倾 斜角的值范围： 0180. 71、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜 率k，即ktan(90)；倾斜角为 90的直线没有斜率；当0，90)时，越大，l 的斜率越大；当(90，180)时，越大，l的斜率越大 （

21、2）斜率公式：经过两点 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy的直线的斜率为 21 21 21 xx xx yy k ； 72、直线的方程： (1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直 线，过定点 00 (,)P xy的直线要设成 x=x0和)( 00 xxkyy）； (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等直线的斜率为-1 或直线 过原点； 直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点； 直线两截距绝对值相等 直线的斜率为1或直线过原点。 73、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点 00 (,)P xy到直线Ax

22、ByC0 的距离 00 22 AxByC d AB ； （2）两平行线 1122 :0,:0lAxByClAxByC间的距离为 12 22 CC d AB 。 74、直线 1111 :0lAxB yC与直线 2222 :0lA xB yC的位置关系： （1）平行 1221 0ABA B（斜率相等）且 1221 0BCB C（在y轴上截距不等）； （2）直线Ax1B1yC10 与直线Ax2B2yC20 垂直 1212 0A AB B。 75、对称问题： （1）中心对称 点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足x=2a-x,y=2b-y 直线关于点的对称可能转化为点关于点的对称问题来

23、解决 (2)轴对称 点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)， 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 76、简单的线性规划： （1）二元一次不等式表示的平面区域：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直 线l，有等号时用实线表示包含直线l； （2） 求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式； 作出 可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。 （3）在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时注 意作图规范；注意直线的斜率正负对最值取

24、点的影响。 （4） 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得， 所以对于一般的线性 规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从 而确定目标函数的最值。 77、圆的方程： 圆的标准方程： 22 2 xaybr。 圆的一般方程： 2222 0(DE4F0)xyDxEyF， 圆的参数方程： cos sin xar ybr （为参数），其中圆心为( , )a b，半径为r。 78、直线与圆的位置关系：直线:0l AxByC和圆 22 2 C：xaybr 0r 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方

25、程组的解的情况）：0 相交；0 相 离；0 相切； （2） 几何方法 （比较圆心到直线的距离与半径的大小） ： 设圆心到直线的距离为d， 则dr 相交；dr相离；dr相切。 79、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为 12 OO，半径分别为 12 ,r r，则（1）当 1212 |O Orr时，两圆外离；（2）当 1212 |O Orr时， 两圆外切；（3）当 121212 b0)，焦点在y轴上时y 2 a2 x 2 b2 1.(ab0)， （2）双曲线：焦点在x轴上：x 2 a2 y 2 b2 1，焦点在y轴上：y 2 a2 x 2 b2 1。 （3）

26、 抛物线： 开口向右时y22px， 开口向左时 2 2(0)ypx p ， 开口向上时 2 2(0)xpy p， 开口向下时 2 2(0)xpy p 。 83.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F1，F2的位置， 是椭圆、 双曲线的定位条件， 它决定椭圆、 双曲线标准方程的类型， 而方程

27、中的两个参数, a b， 确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先 要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大， 222 abc，在双曲线中，c最大， 222 cab。 84.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以1 2 2 2 2 b y a x （0ab）为例）：范围：,axabyb ；离心率： c e a ，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以 22 22 1 xy ab （0,0ab）为例）：范围：xa 或,xa yR；当实 轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0xyk k；离心率： c e a ，双

28、 曲线1e ，等轴双曲线2e ，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线： b yx a 。 （3）抛物线（以y22px为例）：准线： 2 p x ；离心率：抛物线1e 。 85、点 00 (,)P xy和椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ab）的关系：（1）点 00 (,)P xy在椭圆 外 22 00 22 1 xy ab ；（2）点 00 (,)P xy在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1；（3）点 00 (,)P xy在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 86直线与圆锥曲线的位置关系： 相交：0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线

29、相交不 一定有0 ， 当直线与双曲线的渐近线平行时， 直线与双曲线相交且只有一个交点， 故0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛 物线相交不一定有0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交 点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 87、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用定义和正 弦、余弦定理求解。在椭圆1 2 2 2 2 b y a x 中， 2 0 tan| 2 Sbc y ，对于双曲线 22 22 1 xy ab 的焦 点三角形有： 2 cotsin 2 1 2 21

30、brrS。 88、弦长公式：若直线 y=kx+b 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 12 ,x x分别为 A、B 的横坐 标，则AB 2 12 1kxx ，若 12 ,y y分别为 A、B 的纵坐标，则AB 21 2 1 1yy k ， 89解析几何常用结论 （1）双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 0 2 2 2 2 b y a x ； （2）以x a b y为渐近线（即与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线）的双曲线方程为x 2 a2 y 2 b2 t。 （3）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 2 2b a ，抛物线的通径为2p， （4

31、）若抛物线y22px的焦点弦为 AB， 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 |ABxxp； 2 2 1212 , 4 p x xy yp 90求轨迹的常用方法 (1)直接法： 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，只需把这种关 系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程 (2)定义法： 其动点的轨迹符合某一圆锥曲线的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动 点的轨迹方程 (3)代入 （相关点） 法： 动点( , )P x y依赖于另一动点 00 (,)Q xy的变化而变化， 并且 00 (,)Q xy 又在某已知曲线上， 则可先用, x

32、 y的代数式表示 00 ,xy， 再将 00 ,xy代入已知曲线得要求的轨迹 方程； (4)参数法：当动点( , )P x y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考 虑将, x y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程 特别提醒：求点的轨迹与轨迹方程是不同的需求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根 据方程说明轨迹的形状、位置、大小等 第十一部分立体几何 91、空间几何体的结构特征 （1） 直棱柱： 指的是侧棱垂直于底面的棱柱， 当底面是正多边形时， 这样的直棱柱叫正棱柱； （2）正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥。 特别地，各

33、条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体； （3）平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱。 92、旋转体的面积和体积公式： （1）S圆柱侧=2rl，S圆锥侧=rl，S圆台侧=(r1+r2)l，S球=4R2，V柱=sh, V锥 =1/3sh, V球=4/3R3 （2）球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离 d 与球的半 径 R 及截面圆半径 r 之间的关系是 r 22 dR 。 93、直线和平面的平行关系 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条 直线和这个平面平行。 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面

34、和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。 94平面和平面的平行关系 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个 平面平行。 两个平面平行的性质 （1） 如果两个平面平行， 那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 95直线和平面的垂直关系 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条 直线垂直于这个平面。 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 线面垂直定义应用：如果一条直线l和一个平面垂直，则l和平面内的任意一条

35、直线都垂 直， 96平面和平面的垂直关系 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂 直。 两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 交线的直线垂直于另一个平面。 97、两直线平行的判定：（1）公理 4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行 的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交 线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么 这两条直线平行。（5）平面图形中常用中位线

36、及平行四边形的判定（一组对边平行且相 等） 98、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直，尤其是两直线无交点时；（2）平面图形 中常用等腰三角形三线合一性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边一半的逆定 理 99、空间中的角 （1）、异面直线所成角的求法：（1）范围：(0 ,90 ；（2）求法：计算异面直线所成 角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体， 如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直 线的夹角。 （2）直线和平面所成的角：（1）范围：0 ,90 ；（2）求法：作出直线在平面上的射影； （4）斜线与

37、平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角 【理】（3）二面角：（1）平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面 内；角的两边与棱都垂直。（2）二面角的范围：0, ；（4）二面角的求法：转化为求 平面角；法向量法。 100、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二 证，三计算”的原则） （1） 异面直线的距离： 直接找公垂线段而求之； 转化为求直线到平面的距离， 即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分 别作相互平行的两个平面。 （2）点到直线的距离：一般作出垂线再求解。 （3）点到平面的距离：垂面

38、法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知 面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。 （4） 直线与平面的距离： 前提是直线与平面平行， 利用直线上任意一点到平面的距离都相等， 转化为求点到平面的距离。 （5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。 （6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点 A、 B 间的距离的步骤：计算线段 AB 的长；计算球心角AOB 的弧度数；用弧长公式计 算劣弧 AB 的长。 101立体几何常用结论 （1）棱长为a的正四面体的高： ah 3 6 ；内切球半径： a 12 6 外接球半径： a 4

39、6 （2）在三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心； 侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；顶点到底面三角形各边的 距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影 为底面内心.提醒：若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁 心。 第十二部分空间向量与立体几何 102、空间向量及其运算设 111 ,ax y z， 222 ,bxyz， 则（1） 12121 2 a bx xy yz zg （2）若 a、b 为非零向量，则 12121 2 00aba bx xy yz z （3）若0b ，则 12

40、1212 / /,ababxxyyzz （4） 222 111 aa axyz （5） 12121 2 222222 111222 cos, x xy yz za b a b a b xyzxyz （6） 111 ,x y z， 222 ,xyz ，则 222 212121 dABxxyyzz （7）共面向量定理：, ,( ,)p a bpxayb x yR共面； P、A、B、C 四点共面 (1) APxAByAC OPxOAyOBzOCxyz uuu ruuu ruuu r uuu ruuruuu ruuu r 其中 103、平行问题：（a,b 是直线 a,b 的方向向量，n 是平面的法向量

41、） 线线平行：/ /ab / /ab 线面平行：/ /aan 或/ /ab ，b 面面平行： 12 / /nn 104、垂直问题： 线线垂直：ab0aba b 线面垂直：/ /aan 面面垂直： 12 nn 105、夹角问题 (1)两条异面直线所成的角 设异面直线a，b的方向向量为a，b，直线a与b的夹角为，a与b的夹角为，则有 cos|cos|（注意异面直线夹角范围(0， 2 (2)直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为 ，则有 sin|cos| （注意线面角范围0， 2 ） (3)二面角求法：设n1，n2分别是二面角l的两个面，的

42、法向量，则 12 |cos| |cos,|n n u r u u r （一般步骤求平面的法向量；计算法向量夹角；回答二面角（空间想象二面角为锐 角还是钝角确定余弦值的正负） （4）点到平面的距离：已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面 的距离为|BO |AB n| |n| . 第十三部分复数 106复数概念： （1）复数的分类 复数abi （a，bR） 实数（b0） 虚数（b0） 纯虚数（a0） 非纯虚数（a0） （2）a+bi=c+dia=c 且 c=d(a,b,c,dR)； （3）z=a+bi 的共轭复数是z=a-bi 107复数的代数形式及其运算：设 z1= a + b

43、i , z2= c + di (a,b,c,dR)，则： （1） z1 z2= (a + b) (c + d)i； z1.z2= (a+bi)(c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)i； z1z2= )( )( dicdic dicbia i dc adbc dc bdac 2222 (z20) ; （4）复数z abi 的模（或绝对值）| |z =| |abi = 22 ab 108几个重要的结论： （1）ii2)1 ( 2 ； （2）; 1 1 ; 1 1 i i i i i i （3）i性质： T=4；iiiiii nnnn 3424144 , 1, 1； ; 0 3424144 n

44、nn iiii 第十四部分概率与统计 109 算法初步的常见题型及解题策略 (1)已知程序框图，求输出的结果可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果可以在 条件判断框的入口处列表判定此时各变量的取值情况 (2)完善框图添加条件问题。结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件 或累加、累乘的变量的表达式注意临界点的变量值的分析 110、随机抽样需借助于随机数表（先对总体逐一编号），分层抽样的关键是“按比例”： 总体中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中，每一个个体被抽到的概率相等。 系统抽样要注重等距性的理解 111、“读懂”样本频率分布直方图：直方图的高=频率/组距，直方

45、图中小矩形框的面积是 频率；频率样本个数=频数。由频率分布直方图计算中位数时要根据中位数两侧频率各为 0.5 计算横坐标值。 由频率分布直方图计算平均数时可以用每个小组的中位数乘上本组频率的 累加和得出 112、线性回归方程 线性回归方程：abxy （最小二乘法）其中， 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx. 113相关系数（判定两个变量线性相关性）： n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 11 22 1 )()( )( 注：r0 时，变量yx,正相关；rb0) cos sin xa yb （参数方程，其中为参数），